一類勻變速直線運動模型的拓展應用

陜西 劉秉哲

一切物體的運動都必須經歷加速啟動和減速停止兩個運動過程。可以將這兩個運動過程簡化為“質點從靜止開始，先以加速度a1做勻加速直線運動，達到最大速度vm后，立即以加速度a2做勻減速直線運動直到停止”，即“0—vm—0”的運動學模型。該模型及其拓展模型是運動學的常見模型，也是高考中力與運動綜合問題考查的重點。下面結合自己的體會，對該運動學模型進行總結和拓展應用。

一、模型的建立和規律

勻變速直線運動“0—vm—0”的運動學模型中各物理量的方向及其對應關系如圖所示：

模型分為兩個勻變速直線運動過程，涉及位移、速度、加速度以及時間四個描述運動的物理量。其中最大速度vm是該模型最重要的物理量，它既是勻加速段的末速度又是勻減速段的初速度，起到銜接兩個運動過程的作用，是解決問題的關鍵。圍繞最大速度vm，此運動模型的規律總結為：九個重要關系式和一個運動圖象。

1.初速度為零的勻加速直線運動過程的重要關系式

(1)速度時間關系：vm=a1t1①

2.末速度為零的勻減速直線運動過程的重要關系式(將勻減速運動過程逆向視為勻加速運動)

(1)速度時間關系：vm=a2t2④

3.全過程的重要關系式

(1)①④兩式聯立得總時間：

(2)②⑤或③⑥兩式聯立得總位移：

(3)由⑧式得總位移與總時間的關系：

4.速度圖象

二、模型的拓展及應用

【例1】一個小球從斜面頂端無初速度下滑，接著又在水平面上做勻減速運動，直至停止，它共運動了10 s，斜面長4 m，在水平面上運動的距離為6 m。求：

(1)小球在運動過程中的最大速度；

(2)小球在斜面和水平面上運動的加速度。

【解析】(1)設小球運動過程中的最大速度為vm，則小球的總路程為

解得vm=2 m/s

將勻減速運動過程逆向視為勻加速運動

【例2】跳傘運動員做低空跳傘表演，他在離地面224 m高處，由靜止開始在豎直方向做自由落體運動，一段時間后，立即打開降落傘，以12.5 m/s2的平均加速度勻減速下降，為了運動員的安全，要求運動員著地速度最大為5 m/s(g取10 m/s2)。求：

(1)運動員展開傘時，離地面高度至少為多少；

(2)運動員從開始下落到著地的時間。

【解析】(1)設運動員運動過程中的最大速度為vm，將勻減速直線運動過程逆向勻加速，則有

解得vm=50 m/s

(2)運動員從開始到落地的時間為

【總結感悟】對于物體由某一速度勻加速運動到最大速度，再勻減速運動到另一速度；或由某一速度先以加速度a1勻加速到最大速度，再以加速度a2繼續勻加速到另一速度等由兩個勻變速直線運動組成的運動學問題，均可緊緊抓住銜接速度參照“0—vm—0”的運動學模型的規律進行解答。

【例3】如圖是上海中心大廈，小明乘坐大廈快速電梯，從底層到達第119層觀光平臺僅用時55 s。若電梯先以加速度a1做勻加速運動，達到最大速度18 m/s，然后以最大速度勻速運動，最后以加速度a2做勻減速運動恰好到達觀光平臺。假定觀光平臺高度為549 m。

(1)若電梯經過20 s勻加速達到最大速度，求加速度a1及上升高度h；

(2)求電梯勻速運動的時間。

【解析】(1)對勻加速直線運動過程：

vm=a1t1

解得a1=0.9 m/s2

h=180 m

(2)方法一：公式法

設運動總時間為t，勻速運動的時間為t勻，勻減速運動的時間為t2，則對全過程可得：

t=t1+t勻+t2

聯立得t勻=6 s

方法二：圖象法

解得t勻=6 s

【總結感悟】本題相比較“0—vm—0”的運動學模型，多出了勻速運動過程，更加符合實際物體的運動情況，解答時結合勻速運動的關系式s=vt即可。

三、模型的綜合應用

【例4】如圖，質量m=2 kg的物體靜止于水平地面的A處，A、B間距L=20 m。用大小為30 N，沿水平方向的外力拉此物體，經t0=2 s拉至B處。(已知cos37°=0.8，sin37°=0.6。取g=10 m/s2)

(1)求物體與地面間的動摩擦因數μ；

(2)用大小為30 N，與水平方向成37°的力斜向上拉此物體，使物體從A處由靜止開始運動并能到達B處，求該力作用的最短時間t。

由牛頓第二定律得F-μmg=ma

聯立以上兩式可得μ=0.5

(2)設F作用的最短時間為t，小車先以大小為a1的加速度由靜止勻加速t秒，撤去外力后，再以大小為a2的加速度勻減速到達B處，速度恰為0。對兩個過程由牛頓第二定律得

Fcos37°-μ(mg-Fsin37°)=ma1

μmg=ma2

代入數據解得a1=11.5 m/s2

a2=5 m/s2

將勻減速運動過程逆向視為勻加速運動，全運動過程由運動學公式可得

解得v=11.8 m/s

對勻加速運動過程由v=a1t得

t=1.03 s

【總結感悟】對于“0—vm—0”的運動學模型及其拓展模型的綜合問題，如果涉及時間和加速度，則優先選擇力與運動觀點解答，如傳送帶與板塊模型。

( )

A.打到下極板上

B.在下極板處返回

【解析】帶電粒子在重力作用下下落，此過程中重力做正功，當帶電粒子進入平行板電容器時，電場力對粒子做負功。若帶電粒子在下極板處返回，全過程應用動能定理可得

【總結感悟】對于“0—vm—0”的運動學模型及其拓展模型的綜合問題，如果不涉及時間和加速度，則優先選擇功能觀點解答。