都是細繩惹的“禍”

重慶 楊天才

細繩是應用廣泛的一種工具，以其為素材的問題，在歷年高考物理題中都有體現，也是廣大考生的難點。細繩按不同標準有不同的分類，按有無質量可分為輕繩和有質量的繩；輕繩按有無約束，可分為自由繩和約束繩；約束繩按約束方式可分為滑輪約束和結點約束；從受力角度看，輕繩所處的狀態可分為松弛(FT=0)、繃直(FT≥0)、繃緊(FT>0)、斷裂(拉力從較大突變為零)。在不同分類里，與繩相連的物體的受力情況、運動情況有不同的特點，現舉例歸納如下。

一、同一輕繩各處的張力大小均相等

(1)若輕繩上有“活結”，如滑輪、光滑掛鉤，“活結”把繩子分成兩段，但可以沿繩子移動。實際上是同一根繩，所以由“活結”分開的兩段繩子上張力的大小一定相等。

(2)若輕繩上有“死結”，“死結”把繩子分成兩段，且不可以沿繩子移動。兩側的繩因結而變成了兩根獨立的繩，因此由“死結”分開的兩段繩子上的彈力大小不一定相等。

【例1】如圖1甲所示，細繩AD跨過固定的水平輕桿BC右端的定滑輪，掛住一個質量為M1的物體，∠ACB=30°；圖乙中輕桿HG一端用鉸鏈固定在豎直墻上，另一端G通過細繩EG拉住，EG與水平方向也成30°夾角，輕桿的G點用細繩GF拉住一個質量為M2的物體，求：

(1)細繩AC段的張力FTAC與細繩EG的張力FTEG之比；

(2)輕桿BC對C端的支持力；

(3)輕桿HG對G端的支持力。

(2)圖2甲中，三個力之間的夾角都為120°，根據平衡條件有FNC=FTAC=M1g，方向與水平方向成30°夾角，指向右上方。

二、輕繩兩端連接的物體沿繩方向速度大小相等，方向不同

【例2】(多選)如圖3所示，做勻速直線運動的小車A通過一根繞過定滑輪的長繩吊起一重物B，設重物和小車速度的大小分別為vB、vA，則

( )

A.vA>vB

B.vA

C.繩的拉力等于B的重力

D.繩的拉力大于B的重力

【解析】小車A向左運動的過程中，小車的速度是合速度，可分解為沿繩方向與垂直于繩方向的速度，如圖4所示，輕繩兩端連接的物體沿繩方向速度大小相等。由圖可知vB=vAcosθ，則vB

三、繩繃緊，輕繩兩端沿繩方向連接的物體瞬間達到共速，此時滿足動量守恒，一般機械能有損失

1.繩端兩物體共速為零

【例3】如圖5所示，將一質量為m的小球用長為L的輕繩系住，繩的另一端固定在天花板上O點，現讓繩子剛好繃直且與水平方向成30°夾角，松手釋放后，求小球運動到最低點時繩的拉力大小。

v2=v1cos30°

從B到C，由機械能守恒定律，有

在C點，對m由合外力提供向心力，有

2.繩端兩物體共速且不為零

3.定滑輪約束輕繩后，繩端兩物體速度大小相等方向相反

【例5】(2017年天津卷第10題)如圖8，物塊A和B通過一根輕質不可伸長的細繩連接，跨放在質量不計的光滑定滑輪兩側，質量分別為mA=2 kg、mB=1 kg。初始時A靜止于水平地面上，B懸于空中。先將B豎直向上再舉高h=1.8 m(未觸及滑輪)然后由靜止釋放。一段時間后細繩繃直，A、B以大小相等的速度一起運動，之后B恰好可以和地面接觸。取g=10 m/s2。空氣阻力不計。求：

(1)B從釋放到細繩剛繃直時的運動時間t；

(2)A的最大速度v的大小；

(3)初始時B離地面的高度H。

(2)設細繩繃直瞬間B速度大小為v0，有v0=gt=6 m/s，細繩繃直瞬間，細繩張力遠大于A、B的重力，總動量守恒：mBv0=(mA+mB)v，繩子繃直瞬間，A、B系統獲得的速度：v=2 m/s，之后A做勻減速運動，所以A的最大速度為2 m/s；

4.輕繩自由移動，繩端兩物體滿足動量守恒和機械能守恒。

【例6】如圖9，質量為M的小車放在光滑的軌道上，長為L的輕繩一端系在小車上另一端拴一質量為m的金屬球，將小球拉開至輕繩處于水平狀態由靜止釋放。求：

(1)小球擺動到最低點時兩者的速度；

(2)此時小球受細繩的拉力是多少。

【解析】(1)由動量守恒定律0=mvm-MvM

(2)當小球運動到最低點時，受到豎直向上的拉力FT和重力作用如圖10，根據向心力的公式

四、繩拉斷，輕繩兩端沿繩方向連接的物體速度不一定相等，此時滿足動量守恒，機械能有損失

【例7】光滑水平面上放著質量mA=1 kg的物塊A與質量mB=2 kg的物塊B，A與B均可視為質點，A靠在豎直墻壁上，A、B間夾一個被壓縮的輕彈簧(彈簧與A、B均不拴接)，用手擋住B不動，此時彈簧彈性勢能Ep=49 J。在A、B間系一輕質細繩，細繩長度大于彈簧的自然長度，如圖11所示。放手后B向右運動，繩在短暫時間內被拉斷，之后B沖上與水平面相切的豎直半圓光滑軌道，其半徑R=0.5 m,B恰能到達最高點C。g=10 m/s2，求：

(1)繩拉斷后瞬間B的速度vB的大小；

(2)繩拉斷過程繩對B的沖量I的大小；

(3)繩拉斷過程繩對A所做的功W。

【解析】(1)設B在繩被拉斷后瞬間的速度為vB，到達C點時的速度為vC，有

代入數據得vB=5 m/s。

代入數據得I=-4 N·s，其大小為4 N·s。

(3)設繩斷后A的速度為vA，取水平向右為正方向，有

代入數據得：W=8 J。

五、有質量的繩不再滿足上述輕繩的系列結論，因研究對象會隨著繩長的改變而發生改變

【例8】(多選)如圖12所示，一根長度為2L、質量為m的繩子掛在定滑輪的兩側，左右兩邊繩子的長度相等。繩子的質量分布均勻，滑輪的質量和大小均忽略不計，不計一切摩擦。由于輕微擾動，右側繩從靜止開始豎直下降，當它向下運動的位移為x時，加速度大小為a，滑輪對天花板的拉力為FT，繩子動能為Ek。已知重力加速度大小為g，下列a-x、Ek-x、FT-x關系圖線正確的是

( )

六、輕繩中張力的大小隨狀態不同而改變

【例9】物體A的質量為2 kg，兩根輕細繩b和c的一端連接于豎直墻上，另一端系于物體A上，在物體A上另施加一個方向與水平線成θ角的拉力F，相關幾何關系如圖13所示，θ=60°。若要使兩繩都能伸直，求拉力F的大小范圍。(g取10 m/s2)

【解析】作出物體A的受力分析圖如圖14所示，由平衡條件得

Fsinθ+F1sinθ-mg=0

Fcosθ-F2-F1cosθ=0

要使兩繩都伸直，則有F1≥0，F2≥0

七、輕繩中張力的大小發生突變

【例10】如圖15所示，一質量為m的物體系于長度分別為L1、L2的兩根細繩OA、OB上，OB一端懸掛在天花板上，與豎直方向夾角為θ，OA水平拉直，物體處于平衡狀態，現在將OA剪斷，求剪斷瞬間物體的加速度。

【解析】剪斷瞬間，繩OA產生的拉力F1消失，對繩來說，其伸長量很微小，可以忽略不計，不需要形變恢復時間，因此，繩子中的張力也立即發生變化，這時F2將發生瞬時變化，mg與F2的合力將不再沿水平方向，而是沿小球下一時刻做單擺運動的圓弧的切線方向，與繩垂直，如圖16所示，F合=mgsinθ，所以a=gsinθ。

八、彈性輕繩等效于輕彈簧，受力時發生明顯的彈性形變

【例11】蹦極是一項既驚險又刺激的運動，深受年輕人的喜愛。如圖17所示，蹦極者從P點由靜止跳下，到達A處時彈性繩剛好伸直，繼續下降到最低點B處，B離水面還有數米距離。蹦極者(視為質點)在其下降的整個過程中，重力勢能的減少量為ΔE1，繩的彈性勢能的增加量為ΔE2，克服空氣阻力做的功為W，則下列說法正確的是

( )

A.蹦極者從P到B的運動過程中，速度一直增大

B.蹦極者與繩組成的系統從A到B的運動過程中，機械能守恒

C.ΔE1=W+ΔE2

D.ΔE1+ΔE2=W

【解析】蹦極者下降過程中，速度先增大后減小，A錯誤；由于空氣阻力做功，故機械能減少，B錯誤；由功能關系得W=ΔE1-ΔE2，解得ΔE1=W+ΔE2，C正確，D錯誤。

綜上所述，細繩在高中物理試題中扮演著重要的角色，理清不同細繩的特點，具體問題具體分析是解題的關鍵。對一端松弛，僅另一端連接物體的輕繩，繩中受力為零不再舉例。