帶電粒子在磁場中做圓周運動的磁場種類

福建 連彬星

帶電粒子在磁場中的運動問題是高考的熱點與難點，對考生的空間想象能力、作圖能力、物理過程分析能力以及物理規(guī)律的綜合應用能力都有很高的要求。不僅涉及動力學知識，還要用到數(shù)學平面幾何中的解析幾何知識。本類題目通常為大的計算題，分值大，難度大，必須處理好。難點之一，就是如何畫出運動軌跡，如何找到圓心，如何找到旋轉半徑與已知長度、角度的數(shù)量關系。難點之二，就是極限條件的取得。本文就五種常見的磁場種類可能出現(xiàn)的臨界問題進行整理歸類，供大家參考。

一、單邊界磁場

【例1】如圖1所示S為電子射線源，能在圖示紙面上和360°范圍內向各個方向發(fā)射速率相等的質量為m、帶電-e的電子，MN是一塊足夠大的豎直擋板且與S的水平距離OS=L，擋板左側充滿垂直紙面向里的勻強磁場；①若電子的發(fā)射速率為v0，要使電子一定能經過點O，則磁場的磁感應強度B的條件？②若磁場的磁感應強度為B，要使S發(fā)射出的電子能到達擋板，則電子的發(fā)射速率多大？③若磁場的磁感應強度為B，從S發(fā)射出的電子的速度為meBL2，則擋板上出現(xiàn)電子的范圍多大？

【解析】電子從點S發(fā)出后受到洛倫茲力作用做勻速圓周運動，由于電子從點S射出的方向不同將使其受洛倫茲力方向不同，導致電子的軌跡不同，過射出點作速度的垂線—半徑垂直于速度(速度沿圓的切線方向)，試著把8個對稱方向射出的粒子軌跡工工整整畫出來，如圖3所示，分析知只有從點S向與SO成銳角且位于SO上方發(fā)射出的電子才可能經過點O。由于粒子從同一點向各個方向發(fā)射，粒子的軌跡構成繞S點旋轉的動態(tài)圓，動態(tài)圓的每一個圓都是順時針旋轉，這樣可以作出打到最高點與最低點的軌跡，如圖2所示，最低點為動態(tài)圓與MN相切時的交點，最高點為動態(tài)圓與MN相割，且SP2為直徑時的交點，P2為最高點。

本題利用了動態(tài)圓法尋找滿足范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑R0”，然后利用粒子運動的實際軌道半徑R與R0的大小關系確定范圍。

二、雙邊界磁場

【例2】如圖4甲所示，A、B為一對平行板，板長為L，兩板距離為d，板間區(qū)域內充滿著勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里，一個質量為m，帶電量為+q的帶電粒子以初速度v0，從A、B兩板的中間，沿垂直于磁感線的方向射入磁場。求在什么范圍內，粒子能從磁場內射出？

【例3】如圖5所示，寬度為d的有界勻強磁場，磁感應強度為B，MM′和NN′是它的兩條邊界。現(xiàn)有質量為m，電荷量為q的帶電粒子沿圖示方向垂直磁場射入。要使粒子不能從邊界NN′射出，則粒子入射速率v的最大值是多少？

【解析】粒子射入磁場后受到洛倫茲力的作用，將做勻速圓周運動，但是沒有說明是正電荷還是負電荷，所以會有向兩個方向偏轉的可能。過入射點作速度的垂線—半徑垂直于速度(速度沿圓的切線方向)，圓周運動的圓心在入射點的左上方(圖6)和右下方(圖7)。要想使粒子不從NN′射出，兩種情況下半徑r都必須小于某個值。利用數(shù)形結合可以得到兩種情況下的臨界半徑大小，通過半徑和速度的關系，從而得到速度的最大值。

三、圓形邊界磁場

(1)粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度；

(2)所有粒子不能穿越磁場的最大速度。

【解析】本題屬于臨界類問題，尋求“臨界軌跡”是解題的關鍵。要粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場，則粒子的臨界軌跡必須要與外圓相切(圖9)；要使所有粒子都不穿越磁場，應保證沿內圓切線方向射出的粒子不穿越磁場，即運動軌跡與內、外圓均相切(圖10)。

四、三角形邊界磁場

【例5】如圖11所示，左邊有一對平行金屬板，兩板的距離為d，電壓為U，兩板間有勻強磁場，磁感應強度為B0，方向平行于板面并垂直紙面朝里。圖中右邊有一邊長為a的正三角形區(qū)域EFG(EF邊與金屬板垂直)，在此區(qū)域內及其邊界上也有勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里。假設一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板間的區(qū)域，并經EF邊中點H射入磁場區(qū)域，不計重力。已知這些離子中的離子甲到達邊界EG后，從邊界EF穿出磁場，求離子甲的質量。

【解析】本題也屬于臨界類問題，尋求“臨界軌跡”是解題的關鍵。要粒子垂直EF中點方向射入磁場，不能穿出EG邊，則粒子的臨界軌跡必須要與EG邊相切，再回到EF邊。過進入點作速度的垂線—半徑垂直于速度(速度沿圓的切線方向)，圓心在EH上，圓心到HG的距離和EG的距離要相等(圖12)。

【解析】本題也屬于臨界類問題，尋求“臨界軌跡”是解題的關鍵。電子進入磁場后會向上偏轉做圓周運動，磁感應強度越大，運動軌跡半徑越小。電子從C點離開時運動軌跡半徑最小，即磁感應強度最大。作AB邊的垂線和BC邊的垂線，兩者相交于一點即為軌跡圓心(圖14)，通過角度關系可求出臨界半徑，然后得到磁感應強度的大小。

五、未知邊界磁場

(1)勻強電場的電場強度E的大小；

(2)勻強磁場的磁感應強度B的大小和電子在磁場中運動的時間t；

(3)矩形有界勻強磁場區(qū)域的最小面積Smin。

【解析】(1)設電子在電場中運動的加速度大小為a，時間為t，離開電場時，沿y軸方向的速度大小為vy。

(2)設軌跡與x軸的交點為D，O、D間的距離為xD，則

所以DQ平行于y軸，電子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡圓心在DQ上，電子運動軌跡如圖16所示。設電子離開電場時速度大小為v，在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑為r，周期為T。

電子在磁場中偏轉的角度為120°

(3)以切點F、Q的連線為矩形的一條邊，與電子的運動軌跡相切的另一邊作為FQ的對邊，此時有界勻強磁場區(qū)域面積最小

【例8】在xOy平面內有許多電子(質量為m、電荷量為e)，從O點不斷以相同速率v0沿不同方向射入第一象限。現(xiàn)加一個垂直于xOy平面向內、磁感強度為B的勻強磁場，要求這些電子穿過磁場后都能平行于x軸向x正方向運動，求符合該條件磁場的最小面積。

【總結】這類問題的解題步驟可歸納為：

(1)明確軌跡。帶電粒子在磁場中的運動為圓周運動，需要首先確定好運動軌跡。有些情境是沒有明確告訴軌跡的，需要分析、畫圖(草圖)，有時候畫出來圖還要經過修改。一般過進入點作速度的垂線，半徑垂直于速度(速度沿圓的切線方向)或者作進出點連線的中垂線。

(2)找圓心。確定了大致的運動軌跡后找圓心。圓心一般是兩個點的速度的垂線交點。

(3)數(shù)形結合。結合題意條件，求出偏轉半徑R。