分析圖象面積，巧解相關問題

四川 陳澤勇

函數圖象在中學物理中的應用廣泛，它能形象、直觀地描述物理過程，也能反映物理量間的函數關系，應用數學圖象解決實際物理問題是一種重要的研究方法，有利于在中學物理課程教學中培養學生跨學科的學習思維品質。本文通過實例分析函數圖象與坐標軸圍成的“面積”所反映出的物理量，巧解相關問題。

一、利用速度時間圖象，求解質點的位置

在速度—時間圖象中，圖線與時間軸所圍成的面積表示物體的位移，t軸上方的面積表示質點沿正方向運動的位移，t軸下方的面積表示質點沿負方向運動的位移。如果已知質點的初位置，可以根據質點運動位移求出質點的末位置。

【例1】一質點沿x軸做直線運動，其v-t圖象如圖1所示。質點在t=0時位于x=5 m處，開始沿x軸正向運動。當t=8 s時，質點在x軸上的位置為

( )

A．x=3 m B．x=8 m

C．x=9 m D．x=14 m

二、利用速率時間圖象，比較質點運動時間

在速率—時間圖象中，圖線與時間軸所圍成的面積表示質點運動的路程。如果已知時間相等，初位置相同，可以根據圍成的面積判斷末位置；如果已知質點運動路程相等，可以根據圖象判斷質點運動時間。

【例2】如圖3所示游樂場中，從高處A到水面B處有兩條長度相同的光滑軌道，甲、乙兩小孩沿不同軌道同時從A處自由滑向B處，下列說法正確的有

( )

A.甲的切向加速度始終比乙的大

B.甲、乙在同一高度的速度大小相等

C.甲、乙在同一時刻總能到達同一高度

D.甲比乙先到達B處

【例3】一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度v的大小與距老鼠洞中心的距離s成反比，當老鼠到達距老鼠洞中心距離s1=1 m的A點時，速度大小為v1=20 m/s，問當老鼠到達距老鼠洞中心s2=2 m的B點時，其速度大小v2為多少？老鼠從A點到達B點所用的時間t為多少？

【解析】由于老鼠速度大小與其離洞口的距離成反比，

四、利用a - t圖象，求質點速度

根據Δv=at，在加速度—時間圖象中，圖線與橫軸圍成的面積表示質點運動速度的變化量。如果已知初速度，可以求出質點的末速度。

【例4】某物體從足夠高處由靜止開始下落，測得其加速度a隨時間t變化的關系圖象如圖7所示。已知重力加速度g=10 m/s2,下列說法正確的是

( )

A.在0～2 s內，物體所受阻力與下落的速度成正比

B.在0～2 s內，物體所受阻力與下落的時間成正比

C.在0～2 s內，物體下落的速度與下落時間成一次函數關系

D.物體下落的最終速度為10 m/s

五、利用P - t圖象，求變力做功

根據W=Pt，在功率-時間圖象中，圖線與橫軸圍成的面積表示牽引力對質點做的功。

【例5】二十一世紀，能源問題是全球關注的焦點問題。從環境保護的角度出發，電動汽車在近幾年發展迅速。下表給出的是某款電動汽車的相關參數：

參數指標整車質量0～100 km/h加速時間最大速度電池容量制動距離(100 km/h～0)數值2 000 kg4.4 s250 km/h90 kW·h40 m

請從上面的表格中選擇相關數據，取重力加速度g=10 m/s2，完成下列問題：

(1)求汽車在(100 km/h～0)的制動過程中的加速度大小(計算過程中100 km/h近似為30 m/s)；

(2)若此電動汽車的速度從5 m/s提升到20 m/s需要25 s，此過程中電動汽車獲得的動力功率隨時間變化的關系簡化如圖10所示，整車在行駛過程中的阻力仍約為車重的0.05倍，求：此加速過程中汽車行駛的路程。

(2)如圖11所示，由P-t圖象圍成的面積可知牽引力在25 s內做功：

代入數據解得：x=265 m

六、利用F - t圖象，求質點的動量

根據I=Ft，在力—時間圖象中，圖線與橫軸圍成的面積表示力對質點產生的沖量，t軸上方的面積表示力對質點產生正方向的沖量，t軸下方的面積表示力對質點產生負方向的沖量。如果已知質點的初動量，可以根據動量定理求出末動量。

【例6】一質量為2 kg的物塊在合外力F的作用下從靜止開始沿直線運動。F隨時間t變化的圖線如圖12所示，則

( )

A．t=1 s時物塊的速率為1 m/s

B．t=2 s時物塊的動量大小為4 kg·m/s

C．t=3 s時物塊的動量大小為5 kg·m/s

D．t=4 s時物塊的速度為零

七、利用I - t圖象，求電荷量

根據q=It，在電流-時間圖象中，圖線與橫軸圍成的面積表示電荷量。

【例7】按照圖17甲連接電路，電源用直流8 V左右，電容器可選幾十微法的電解電容器，先使開關S與1端相連，電源向電容器充電，這個過程可在瞬間完成。然后把開關S擲向2端，電容器通過電阻R放電，傳感器將電流信息傳入計算機，屏幕上顯示出電流隨時間變化的I-t曲線，一位同學測得I-t圖象如圖17乙所示，它的電源電壓是8 V。

(1)在圖中畫出一個豎立的狹長矩形(在圖17乙最左邊)，它的面積的物理意義是什么?

(2)根據圖乙估算電容器在全部放電過程中釋放的電荷量Q=________C。

(3)根據以上數據估算的電容C=________。

【解析】(1)豎立的狹長矩形面積的物理意義代表：電容器在0.1 s內釋放的電荷量。

(2)如圖18所示，根據橫軸與縱軸的數據可以知道，一個格子的電量為 0.08×10-3C，由大于半格算一個，小于半格舍去，因此圖象所包含的格子個數為45，所以釋放的電荷量是：Q=0.08×10-3C×45=3.6×10-3C。

八、利用E - x圖象，比較電勢高低

根據U=Ed，在E-x圖象中，圖線與時間軸圍成的面積表示電勢差。

【例8】如圖19甲，真空中有一半徑為R、電荷量為+Q的均勻帶電球體，以球心為坐標原點，沿半徑方向建立x軸。理論分析表明，x軸上各點的電場強度隨x變化關系如圖19乙，則

( )

A．x2處電場強度和x1處的電場強度大小相等、方向相同

B．球內部的電場為勻強電場

C．x1、x2兩點處的電勢相同

D．假設將一個帶正電的試探電荷沿x軸移動，則從x1移到R處電場力做的功大于從R移到x2處電場力做的功

【解析】根據題圖所示的x軸上各點的電場強度隨x變化關系，x2處電場強度和x1處的電場強度大小相等、方向相同，球內部的電場為非勻強電場，選項A正確，B錯誤。根據電場強度隨x變化關系圖象與橫軸所圍面積表示電勢的變化可知，x1點處的電勢大于x2點處的電勢，選項C錯誤。根據電場強度隨x變化關系圖象與橫軸所圍面積表示電勢的變化(電勢差)，如圖20所示，由電場力做功公式可知，假設將一個帶正電的試探電荷沿x軸移動，則從x1移到R處電場力做的功大于從R移到x2處電場力做的功，選項D正確。

九、利用F - x圖象，求電阻上的焦耳熱

根據W=Fx，在F-x圖象中，圖線與橫軸圍成的面積表示力對質點做的功。在電磁感應中，根據題設條件與相關物理知識構建安培力F與x函數關系，然后利用F-x圖象求安培力所做的功，進而求出電阻上的焦耳熱。

( )

A.金屬棒做勻加速直線運動

B.金屬棒與導軌間因摩擦產生的熱量為10 J

C.通過電阻R的感應電荷量為0.5 C

D.電阻R產生的焦耳熱為0.5 J