圓在高中物理中的應用

湖北 榮萬軍

用數學知識解決物理問題貫穿整個高中物理，尤其是高三的復習教學中。圓是解析幾何中的重要圖形，很多物理問題要用圓的知識來解決。本文從圓的組成要素出發，初步歸類高中遇到的有關用圓的幾何知識來解決的物理問題。

圓的組成要素有軌跡、圓心、直徑、半徑、切線，可以延伸的有圓周角、圓心角、弦切角等等。

一、利用圓的軌跡來解決問題

1.等時圓

【例1】如圖1所示，ad、bd、cd是豎直面內三根固定的光滑細桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為最低點。每根桿上都套有一個小滑環(圖中未畫出)，三個滑環分別從a、b、c處釋放(初速度為0)，用t1、t2、t3依次表示各滑環到達d所用的時間，則

( )

A.t1t2>t3

C.t3>t1>t2D.t1=t2=t3

【解析】任選一桿上的環為研究對象，受力分析并建立坐標如圖2所示。

由牛頓第二定律得，mgcosθ=ma①

由幾何關系得細桿長度L=2Rcosθ②

可見下滑時間與細桿傾角無關，所以D正確。

【變式訓練】如圖3所示，在傾角為α的傳送帶的正上方，有一發貨口A。為了使貨物從靜止開始，由A點沿光滑斜槽以最短的時間到達傳送帶，則斜槽與豎直方向的夾角β應為多少？

【解析】如圖4所示，首先以發貨口A點為最高點作一個圓O與傳送帶相切，切點為B，然后過圓心O畫一條豎直線AB′，而連接A、B的直線，就是既過發貨口A，又過切點B的唯一的弦。

2.等勢圓

【例2】如圖5所示，直角三角形的斜邊傾角為30°，底邊BC長為2L，處在水平位置，斜邊AC是光滑絕緣的。在底邊中點O點處放置一正電荷Q，一個質量為m，電荷量為q的帶負電的質點從斜面頂端沿斜邊滑下，滑到斜邊上的垂足D時速度為v。試求該質點滑到非常接近斜邊底端C點時速率vC為多少？

【解析】由幾何關系知OB=OC=OD，則以O點為圓心，OB為半徑畫圓，如圖6，故B、C、D在圓周上，則由點電荷的等勢圓可知φD=φC，故從D到C由動能定理得

其中h=CDsin30°=BCcos30°sin30°

3.解析圓

【例3】圖7為“快樂大沖關”節目中某個環節的示意圖。參與游戲的選手會遇到一個人造山谷OAB，OA是高h=3 m 的豎直峭壁，AB是以O點為圓心的弧形坡，∠AOB=60°，B點右側是一段水平跑道。選手可以自O點借助繩索降到A點后再爬上跑道，但身體素質好的選手會選擇自A點直接躍上跑道。選手可視為質點，忽略空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2。若選手以v=4 m/s的水平速度跳出落到弧形坡，求該選手在空中的運動時間。

水平距離：x=vt

又由圓的知識可知：x2+y2=h2

聯立可得t=0.6 s

【例4】如圖8所示，坐標原點O處有一粒子源，向y≥0側沿Oxy平面內的各個不同方向發射帶正電粒子，粒子的速率都是v，質量均是m，電荷量均是q。有人設計了一方向垂直于Oxy平面，磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向外的勻強磁場區域，使上述所有帶電粒子從該磁場區域的邊界射出時，均能沿x軸正向運動。試求出此邊界的方程，畫出此邊界線的示意圖，并計算該磁場區域的最小面積。

【解析】由題知，入射點固定，出射速度都平行x軸正方向，是“磁發散”模型。設粒子做勻速圓周運動的半徑為R，有：

以其中任意一個粒子為研究對象，設其速度方向與x負軸成θ角，過點O作速度的垂線，并以O為圓心，以R為半徑畫圓交速度垂線于O1點，則此粒子軌跡圓的圓心為O1，再通過圓心O1作y軸的平行直線，并以O1為圓心，以R為半徑畫圓交直線于P點，如圖9所示。

粒子運動到P點時其速度方向恰好是沿x軸正方向，故P點就是磁場區域邊界上的一點。而對于不同入射方向的粒子，對應的P點的位置不同，所有這些P點的連線就是所求磁場區域的邊界線。設P點的坐標為(x，y)，則有幾何關系：

x=Rsinθ③

y=R+Rcosθ④

上述是磁場區域邊界的參數方程，消去參數θ，得

x2+(y-R)2=R2⑤

故該磁場區域邊界是半徑為R，圓心O2坐標為(0，R)的圓，其磁場區域的邊界線如圖所示，其邊界方程為

故磁場區域最小面積為

二、利用圓的直徑來解決問題

1.用最大的弦(直徑)確定邊界

【例5】如圖10所示，S處有一電子源，可向紙面內任意方向發射電子，平板MN垂直于紙面，在紙面內的長度L=4d，OM=d且O與S間的距離為d，MN與SO直線的夾角為θ，板所在平面有電子源的一側區域有方向垂直于紙面向外的勻強磁場，不計電子重力。電子源發射的電子做勻速圓周運動的半徑都為d，設電子打在板上可能位置的區域的長度為l，則正確的是

( )

根據山羊的體重，分大、中、小3種。小羊按15 mL、中等羊17 mL、大羊按20 mL灌服。根據所需的藥量，按整袋計算，倒入桶中，加相應數量的水。將羊分群趕入固定在活動保定欄中，人員進行分工：2人抽藥，1人用自噴漆標記，2人保定羊，2人用注射器向羊口中推藥。280只羊大約需要1 h。

SC=dsin60°

SC2+BC2=(2d)2

又O1D2+[d(1-sin60°)]2=d2得

2.用最大的弦(直徑)確定時間

【例6】如圖14所示，半徑為r的圓形區域內有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，磁場邊界上A點有一粒子源，能在紙面內源源不斷地向各個方向發射速度大小均為2kBr的帶正電的粒子(重力不計)，其中k為粒子的比荷，則粒子在磁場中運動的最長時間為

( )

三、利用圓的半徑來解決問題

1.以矢量大小為半徑畫圓

【例7】已知船在靜水中的速度為v1=4 m/s，而河水的流速為v2=5 m/s，要使船渡河的路徑最短，則船頭與河岸的夾角是多少？

【例8】兩個共點力大小分別為F1=10 N，F2=5 N，兩力方向夾角可在0～180°連續變化，求：合力與F1的最大夾角。

2.以線段長度為半徑畫圓

【例9】一根長為L的易斷的均勻細繩，兩端固定在天花板上的A、B兩點。若在細繩的C處懸一重物，已知AC>CB，如圖所示，則下列說法正確的是

( )

A.增加重物的重力，BC段先斷

B.增加重物的重力，AC段先斷

C.將B端往左移時繩子容易斷

D.將B端往右移時繩子容易斷

【解析】對C點受力分析如圖19所示，因AC>CB，由幾何關系可知α<β，則由正弦定理可知BC段繩子上的拉力FT2大于AC段繩子上的拉力FT1，故BC段先斷，A選項正確。以AC為半徑畫圓，B端往右移后以BC為半徑畫圓，兩圓的一個交點就是C端，如圖20所示，此時兩分力的夾角變大，而合力等于物體的重力不變，故兩分力增大,因此,將B端往右移時,繩子容易斷,D正確。

四、利用圓的圓周角來解決問題

( )

A．MN上的張力逐漸增大

B．MN上的張力先增大后減小

C．OM上的張力逐漸增大

D．OM上的張力先增大后減小

【解析】由題意，保持夾角α不變，則可利用同一根弦所對應的圓周角不變來構建矢量圓。對M點受力分析如圖22所示，再將FT1、FT2、G構成一個封閉的矢量三角形并作出其外接圓如圖23所示，可知OM上的張力FT1先增大后減小，MN上的張力FT2逐漸增大，則AD選項正確。