利用全反角求解力學難題

天津 竇云勝

在動態分析物體受力的過程中，常常涉及到包含重力、彈力、滑動摩擦力三力在內的物體四個力的平衡問題或有加速度的三個力的非平衡問題，而大多數學生使用矢量法或正交分解法時，無法確定彈力和滑動摩擦力的大小關系，因此無法得出結果。如果抓住滑動摩擦力與彈力之間的夾角不變的特點，將滑動摩擦力與彈力等效成一個力：全反力(彈力FN和摩擦力Ff的合力R為全反力，全反力R和彈力FN之間的夾角為全反角α，也叫摩擦角)，就可根據矢量關系圖，快速求解出物理問題。

一、物體平衡中的問題

【例1】如圖1 - 1所示，在水平面上放有一質量為m、與地面的動摩擦因數為μ的物體?，F用力F拉物體，使其沿地面勻速前進，求F的最小值及方向。

【解析】對物體進行受力分析，設全反力為R，代替彈力FN和摩擦力Ff，作出矢量圖，如圖1 - 2所示。發現當外力F與全反力R垂直時，F最小。得：

Fmin=mgsinθ

根據摩擦角概念μ=tanθ，建立三角函數關系，如圖1 - 3所示，得：

【例2】水平地面上有一木箱，木箱與地面之間的動摩擦因數為μ(0<μ<1)。現對木箱施加一拉力F，使木箱做勻速直線運動。設F的方向與水平面夾角為θ，如圖 2 - 1，在θ從0逐漸增大到90°的過程中，木箱的速度保持不變，則

( )

A.F先減小后增大

B.F一直增大

C.F的功率減小

D.F的功率不變

【解析】作出矢量動態分析圖，如圖2 - 2所示。當夾角θ=arctanμ時，F為最小，由圖2 - 2可知,力F先減小后增大,故此答案A正確。根據功率的表達式P=Fvcosθ，考慮到F先減小后增大，夾角θ的cosθ值一直減小，可判斷出功率開始階段是減小的，至于后面過程的功率無法判斷。將功率表達式變為P=(Fcosθ)v，根據圖2 - 2發現，雖然力F先減小后增大，但其水平分量Fcosθ隨角度θ增大而減小。故此，答案C正確。

【例3】如圖3 - 1所示，質量為m的物體放在一個固定斜面上，當斜面的傾角為30°時，物體恰能沿斜面勻速下滑。對物體施加一個大小為F的水平向右的恒力，物體可沿斜面勻速向上滑行。已知最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。當斜面傾角增大并超過某一臨界角θ0時，不論水平恒力F為多大，都不能使物體沿斜面向上滑行，試求：

(1)物體與斜面間的動摩擦因數；

(2)這一臨界角的大小。

考慮到當斜面傾角增大并超過某一臨界角θ0時，不論水平恒力F為多大，都不能使物體沿斜面向上滑行，那么，肯定是全反力與水平推力反向，大小相等。如圖3 - 3所示，有：30°+θ0=90°即：θ0=60°

【例4】拖把是由拖桿和拖把頭構成的擦地工具(如圖4 - 1)。設拖把頭的質量為m，拖桿質量可以忽略；拖把頭與地板之間的動摩擦因數為常數μ，重力加速度為g，某同學用該拖把在水平地板上拖地時，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ。

(1)若拖把頭在地板上勻速移動，求推拖把的力的大小。

(2)設能使該拖把在地板上從靜止剛好開始運動的水平推力與此時地板對拖把的正壓力的比值為λ。已知存在一臨界角θ0，若θ≤θ0，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開始運動。求這一臨界角的正切tanθ0.

【解析】對物體進行受力分析，并做出力的矢量關系，如圖4-2所示，由牛頓第一定律得：

由物體平衡得：水平推力大小等于摩擦力的大小，根據運動的水平推力分量與此時地板對拖把的正壓力的比值為λ，得：摩擦力與正壓力的比值為λ。而摩擦力與正壓力的比值為摩擦角θ0的正切值，即tanθ0=λ。

即當θ≤θ0時，不管沿拖桿方向用多大的力，如圖4 - 2所示的矢量圖都成立，都不能推動拖把。

小結：對于物體平衡問題，物體的矢量合為零，只要將全反力替代彈力和摩擦力，就可以使物體的受力個數減少一個，如將物體受到四個力的情況變成物體受三個力的情況，使求解題目變得簡單。

二、物體存在加速度的問題

【例5】某學校組織趣味課外活動：拉重物比賽，如圖5 - 1 所示。設重物的質量為m，重物與地面間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g。某同學拉著重物在水平地面上運動時，能夠施加的最大拉力為F，求重物運動時的最大加速度。

【解析】對重物做受力分析如圖5 - 2，以重力mg的上端為圓心，以最大拉力F為半徑作圓弧，考慮到全反力R與豎直方向的摩擦角θ確定，故當最大拉力F與全反力R相垂直時，合力ma最大。

根據牛頓第二定律得：

Fcosθ-(mg-Fsinθ)·tanθ=ma

考慮到摩擦角μ=tanθ

(1)求物塊加速度的大小及到達B點時速度的大小。

(2)拉力F與斜面的夾角多大時，拉力F最??？拉力F的最小值是多少？

【解析】由物體的勻變速直線運動學公式得：

v=v0+at

解得：a=3 m/s2，v=8 m/s

對物體建立矢量受力圖，如圖6 - 2所示。由于合力ma已經確定，當拉力F與全反力R垂直時，其值F為最小。此時，角度α為全反角。

所以，當拉力F與斜面的夾角為30°時，有拉力F的最小值。

【例7】如圖7 - 1所示，在勻強電場中，一個帶正電的物體沿水平方向的絕緣天花板平面做勻速直線運動。從某時刻(設為t=0)起，電場強度從E0均勻增大。若物體與天花板平面間的動摩擦因數為μ，電場線與水平方向的夾角為θ，物體所受的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且電場空間和天花板平面均足夠大，下列判斷正確的是

( )

A．在t=0之前，物體可能向左勻速直線運動，也可能向右勻速直線運動

B．在t=0之前，物體受到的摩擦力大小可能為0

C．在t=0之后，物體做勻減速運動，最后要掉下來

D．在t=0之后，物體做減速運動，且加速度越來越大，直到停止

【解析】對物體進行受力分析，并作出受力矢量圖，如圖7 - 2所示。原先物體在做勻速直線運動時，電場力Eq、重力mg、支持力N與滑動摩擦力f的合力R，恰好組成矢量三角形(圖中實線部分)。而當電場力增大時，電場力Eq與全反力R變化并不共線(圖中虛線部分)，會出現了方向向左的合力ma，致使物體向前做減速運動，故答案為D選項。

小結：對于物體的非平衡問題，物體的矢量合不為零，考慮到合力ma，物體本身往往受到的四個力，相當于涉及到五個力。在做矢量圖時，既要將全反力替代彈力和摩擦力以使受力個數減少一個，同時也要考慮到加速度的方向，而更重要的是作圖技巧。