Kalman 濾波在ECT 圖像重建中的應(yīng)用

文/霍啟正

ECT 技術(shù)發(fā)展于上個世紀(jì)80年代，根據(jù)電容在通電時可以產(chǎn)生電磁場原理對工業(yè)管道中多相流體進行在線監(jiān)測，在不接觸管道內(nèi)部流體情況下能夠進行監(jiān)測而且成本低的優(yōu)點，為現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中多相流體的在線測量提供了一種新的測量方式。

ECT 技術(shù)主要分為兩個問題：正問題和反問題。解析法及數(shù)值計算法為求解前者的主流方法。反問題是ECT 圖像重建最為關(guān)鍵的問題，這是比較突出的病態(tài)求解問題，該問題制約了ECT 的發(fā)展。ECT 圖像重建算法主要包括兩大類：代數(shù)法和迭代法。代數(shù)法主要有線性反投影算法(LBP)、Tikhonov 正則化算法等；迭代算法包括Landweber 迭代算法、Kalman 濾波迭代算法等。代數(shù)類算法可以保證圖像重建的實時性，迭代類算法可以增強圖像重建精度。為提高ECT 圖像重建質(zhì)量，本文提出了一種在采集的原始數(shù)據(jù)中添加5%、10%和15%的高斯白噪聲，然后分別使用Landweber 算法和Kalman 濾波算法進行圖像重建。

1 成像原理

電容層析成像技術(shù)是近年來一種成本低，操作簡單具有很高實用性的成像技術(shù)。ECT系統(tǒng)如圖1所示。

ECT 系統(tǒng)可以分為三部分：

（1）電容傳感器，一般有8 電容，12 電容和16 電容空間敏感陣列電極；

圖1：ECT 系統(tǒng)原理框圖

圖2：加入5%的噪聲成像

（2）數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，采集系統(tǒng)進行測量域的電容值獲取，并將模擬信號轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號，發(fā)送至計算機處理端；

（3）圖像重建系統(tǒng)，采用相適的圖像重建算法，對被測對象某一截面的圖像有針對性的重建。圖像在重建過程中可以進行進一步的分析調(diào)整，并實現(xiàn)對其它參數(shù)的測量記錄。

2 圖像重建算法

ECT 系統(tǒng)模型如式（1）所示：

式中，C 為電容測量值，S 為靈敏度系數(shù)矩陣，G 為圖像灰度矩陣，M 為獨立測量數(shù)，N 為場域內(nèi)剖分網(wǎng)格單元數(shù)，ε 為系統(tǒng)以及環(huán)境所存在的噪聲。

2.1 Landweber算法

Landweber 迭代算法基于最速下降法選擇負(fù)梯度方向為迭代方向，其法迭代公式為：

式中，Gk為第k 步迭代的圖像灰度值，G0即為圖像灰度原始值（該值經(jīng)由靈敏度系數(shù)法得出），α 為迭代因子。

2.2 Kalman濾波算法

Kalman 濾波是一種最優(yōu)估計方法，準(zhǔn)則依據(jù)是選取最小均方誤差為標(biāo)準(zhǔn)，在此基礎(chǔ)上建立狀態(tài)空間模型，模型與信號、噪聲相關(guān)聯(lián)，通過前一時刻的狀態(tài)預(yù)測值和當(dāng)前時刻的測量值來實現(xiàn)對當(dāng)前時刻狀態(tài)值的估計。將Kalman 濾波算法應(yīng)用到ECT 圖像重建上所建立的狀態(tài)方程如式（3）所示：

式中，Gk為第k 步迭代的圖像灰度值，Gk-1為前一步迭代圖像灰度值。

由式（1）可以了解到圖像灰度與電容測量值的狀態(tài)方程如式（4）所示：

Ck為k 時刻的歸一化電容測量值，Gk為k 時刻的圖像灰度值，εk為作為k 時刻監(jiān)測到的噪聲，在實驗環(huán)境中一般用協(xié)方差矩陣R表示，可以近似認(rèn)為不變。Kalman 濾波算法的ECT 圖像重建方程組為：

表1：空間成像誤差（SC）

表2：相關(guān)系數(shù)（CC）

圖3：加入10%的噪聲成像

圖4：加入15%的噪聲成像

式（5-7）中，P 為最小均方誤差矩陣，K為濾波增益矩陣。

在已知R 的情況下，給定初始值G0和P0，根據(jù)k 時刻的觀測矩陣Ck遞推出k 時刻的狀態(tài)估計值。一般將非迭代算法的成像結(jié)果作為初始值G0，或者簡單的取0。由于對第一次估計的估計均方誤差P0沒有先驗值，一般取一個較大的常數(shù)矩陣。

Kalman 濾波算法的ECT 圖像重建有兩個過程：預(yù)測和校正。預(yù)測過程估計當(dāng)前公式（5）的圖像灰度值和公式（8）的誤差方差矩陣，作為下一時刻的先驗估計信息；核對糾正過程建立在先驗估計的基礎(chǔ)上，校正時也會會對比當(dāng)前時刻電容值。通過兩個數(shù)值的對比可以推出圖像灰度最優(yōu)時的預(yù)測值。

3 仿真實驗及結(jié)果分析

本文采用Landweber 算法以及Kalman 濾波算法進行ECT 圖像重建。仿真過程中，以油/氣兩相流為研究對象，設(shè)定了三種典型流型進行仿真實驗，并分別命為名流型a、流型b 流型c。第一種考察重點在探究重建算法對位于管道壁和中心單一流型的重建效果，第二種考察對于復(fù)雜流型的重建效果，最后一種則重點考察對于在有其他流型影響下的管道中心靈敏度的成像效果。搜集參考數(shù)據(jù)可知油、氣的相對介電常數(shù)（油為2.6、氣為1），輸入相關(guān)參數(shù)使用COMSOL 有限元軟件測得測量電容值的相關(guān)數(shù)據(jù)，再使用MATLAB 進行ECT 圖像重建，實現(xiàn)可視化的觀測。

仿真過程中，Landweber 算法和Kalman濾波算法迭代次數(shù)取50 次，選取分別選取5%、10%和15%的噪聲添加，仿真實驗重建圖像如圖2，3，4 所示。

為定量評價重建圖像質(zhì)量，引入空間成像誤差（SC）及相關(guān)系數(shù)（CC）進行評價，其定義為：

式中，Gsi，Gri分別為仿真原型和重建圖像電常數(shù)分布矩陣，和分別為其均值，N 為剖分的正方形網(wǎng)格像素，N=812。

對圖2，3，4 的重建圖像，計算其對應(yīng)的圖像評價指標(biāo)，如表1、2 所示。

從圖1、2 以及表1、2 可以很明顯的看出對于三種流型在相同迭代步數(shù)下，對數(shù)據(jù)采取歸一化處理，并向電容值中加入相同的噪聲后，Kalman 濾波算法重建圖像質(zhì)量更好，空間成像誤差（SC）更小，相關(guān)系數(shù)（CC）更大。加入合適的噪聲可以在一定程度上可以提高重建圖像的質(zhì)量。然而當(dāng)加入15%的噪聲時，Landweber 算法重建的流型a 和b 出現(xiàn)更多的偽影，流型c 出現(xiàn)較為嚴(yán)重的失真。盡管如此Kalman濾波算法仍能重建出較高質(zhì)量的圖像。重建后的圖像先對于原圖相似性也比較大。

4 總結(jié)

本文研究Landweber 算法和Kalman 濾波算法在ECT 圖像重建的效果，并對結(jié)果進行對比。即分別研究了Landweber 算法和Kalman濾波算法在加入不同噪聲的重建效果。仿真實驗的數(shù)據(jù)以及結(jié)論表明：Kalman 濾波算法能夠有效地過濾掉噪聲在重建圖像中的影響，當(dāng)加入適當(dāng)?shù)脑肼晻r，重建圖像質(zhì)量更高，空間成像誤差更小，圖像的相關(guān)系數(shù)更大；當(dāng)噪聲較大時，其依然能夠重建出較高質(zhì)量的圖像，且圖像與原始圖像更相似。