考慮雷諾數和形狀影響的壩岸根石水平水流拖曳力系數修正

蘭 雁，沈細中，鄒 瑞，楊昌明，蔣思奇，羅立群

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考慮雷諾數和形狀影響的壩岸根石水平水流拖曳力系數修正

蘭 雁1，沈細中1，鄒 瑞2，楊昌明3，蔣思奇1，羅立群1

（1. 黃河水利委員會黃河水利科學研究院，鄭州 450003；2. 華北水利水電大學土木與交通學院，鄭州 450045；3. 南昌大學土木工程與建筑學院，南昌 330000）

對于水利工程壩岸散拋根石沖揭失穩，水流作用下根石的拖曳力是重要的力學分析參數。該文基于黃河壩岸散拋根石的形狀參數特征，利用水槽試驗量測球體及不同形狀塊體受水流作用的水平拖曳力，研究雷諾數、物體形狀指標與拖曳力相關關系及變化規律，明確影響因素，率定雙因素影響下塊體的拖曳力系數函數。結果表明，水下球體或近似球狀物體的拖曳力系數，基本不受水流及物體形態影響，拖曳力系數趨于0.40～0.56；有棱角塊體的水流拖曳力系數，塊體雷諾數小于3×104的影響區域，系數函數呈雙曲線趨勢變化；塊體雷諾數大于3×104的影響區域，迎水面寬高比不大于側立面長高比，拖曳力系數趨于0.80～0.90，迎水面寬高比大于側立面長高比，拖曳力系數趨于1.00～1.10。進一步通過試驗修正了水流作用下不同形態物體的水平拖曳力系數，提出了塊體雷諾數、形狀參數雙因素影響下物體水平拖曳力系數函數，得到了以不同物體來流方向投影響面積為基準的水平拖曳計算公式，經擬合公式的合理性分析與驗證，拖曳力系數擬合優度達到0.90以上，平均相對誤差為8.7%；修正后拖曳力平均相對誤差僅為7.5%，公式計算效果良好，更準確地反映散拋根石的水下受力特征，為分析水下拋石受水流沖擊離散形態提供理論依據。

雷諾數；壩；拖曳力系數；根石；形狀；球體；塊體

0 引 言

散拋根石沖揭走失是壩岸工程失穩的主要原因之一[1-6]，對于水利工程壩岸散拋根石沖揭失穩，水流作用下根石的拖曳力作用是重要力學分析參數[7-11]。水流拖曳力是作用在顆粒上的水流繞流阻力，目前球體或二維圓柱體水平拖曳力有較為成熟的計算公式，其水平拖曳力與作用流速的平方、垂直水流方向的投影響面積成正比，拖曳力系數采用經驗值或試驗值[12-17]。對于有棱角的塊狀物體，往往借鑒該公式，來計算塊體的拖曳力，如緱元有[18]利用球體水平拖曳力公式分析河道整治工程根石受力狀態, 建立了根石走失的物理模型；陳小莉等[19]在球體水平拖曳力、上舉力等計算公式的基礎上，對塊石進行受力分析簡化求解了漩渦對塊石的吸附作用力，導出了受漩渦作用的水下塊石的起動流速。龐啟秀等[20-21]通過水槽試驗測量了水流作用下不同尺度大顆粒塊體受到的水平拖曳力，研究了塊體形狀對水流拖曳力的影響，并提出了考慮塊體形狀影響的拖曳力計算公式。

若采用單位面積拖曳力表征不同形狀塊體的水流作用力，拖曳力系數的大小直接影響著不同形狀的物體在相同水流作用下的受力狀態。但不同形狀的物體拖曳力系數C目前研究得還很不充分，多將塊體近似為等體積球體[19]，采用球體拖曳力系數的經驗值[18, 22]。對于泥沙或球形物體，基于斯托克斯公式，根據球體沉速與粒徑的實測資料，當沙粒雷諾數Re>1 000時，球體下沉屬于紊動狀態，即拖曳力系數C與沙粒雷諾數Re無關，而接近常數值0.45[12]。李貞儒等[23]通過光滑床面單顆球體試驗得到，在Re>2 000、=/2（為球體的/2高度處，為球體直徑）時，C值為0.70。對于近似長方體或正方體物體，不同于球體或流線型體的流體分離，流經具有折角的塊體的流體分離形式由塊體形狀決定。Hoerner[24]綜合了不同研究者關于長方體的拖曳力系數隨長高比（/）變化關系的研究成果表明，在04.0后，隨長高比的增加，壓強作用力系數緩慢減小，但由于塊體長度的增加，摩擦阻力持續增大，在/數值較大（/>4.0）時，由摩擦力和壓強作用力組成的合力系數將略微增加，拖曳力系數與塊體長高比的關系表現為有一定斜率（斜率為正值）的直線。Evett等[25]直接引用Raymond Binder (1973)的數據資料，給出塊體形狀雷諾數Re>1 000時的拖曳力系數隨寬高比/變化關系，兩者呈正比。在/=1.0時，C=1.05；/趨于無窮大時，C=2.05。張磊等[26]分析水中塊體穩定性時，拖曳力的計算采用與石塊形狀及雷諾數有關的函數修正，但未說明函數公式。

與上述研究成果不同，筆者通過模擬散拋根石受力的水槽試驗發現，塊體拖曳力實測值遠大于等體積球體的實測值，特別是流速強度較大時，差異可達1.5～2倍，如將水下塊石近似球體計算拖曳力往往小于實測值；且塊體拖曳力反映出塊體雷諾數、塊體形狀影響較大，拖曳力系數表現為塊體雷諾數、塊體形狀多因素影響的函數曲線，而不僅僅是單因素影響的范圍值。因此，為了真實反映散拋根石受水流沖擊的作用力，本文基于黃河壩岸散拋根石的形狀參數，利用水槽試驗測試球體及不同尺寸塊體受水流作用的水平拖曳力，計算相應的拖曳力系數，研究水平拖曳力系數的影響因素，提出不同形狀參數物體拖曳力系數取值范圍及根石受水流作用的拖曳力公式，為模擬沖揭失穩的水力學邊界提供理論依據。

1 材料與方法

1.1 供試材料

1.1.1 黃河壩岸散拋根石形狀及迎水面參數調查結果

黃河壩岸散拋根石以近似長方體或正方體的形態堆積，就地取材為石灰巖、砂巖、花崗巖、閃長巖等堅硬巖石，按塊石的穩定堆積狀態及長度大小順序，將塊石定義長（）、寬（）、高（）3個形狀參數，如圖1所示，實地量測黃河花園口險工122#壩、馬渡險工25#壩及九堡險工118#壩根石尺寸30組及重度15組，統計如表1。由表1可見，根石塊體的寬高比分布在1.01～2.55之間，長高比分布在1.29～3.40之間，重度分布在17.70～26.20 kN/m3。

圖1 黃河壩岸散拋根石堆積體及塊體形態

1.1.2 散拋根石尺寸取值依據

統計散拋根石堆積形態，根石體多以大尺寸為底面，小尺寸為立面形式堆積。根據表1中尺寸定義，根石的寬高比（）及長高比（）均大于或等于1，水下根石受水流沖擊迎水面有2種形式：1）以為迎水面，<或=；2）以為迎水面，>。由此可見，根石迎水面受力形態參數可概化為2個組合：組合1為迎水面小于或等于側面；組合2為迎水面大于，其中組合1是根石受力主要形式，制備樣品形態參數可以此為依據，散拋根石尺寸組合統計如表2。

表1 黃河壩岸散拋根石形狀參數及重度

表2 散拋根石迎水面及側面尺寸組合

1.2 試驗系統

水流作用下塊體拖曳力量測系統由變坡水槽、流速儀、電阻式壓力傳感器（拖曳力及垂直力）、滑輪支架、四通道信號轉換器、wifi無線傳輸器等設備組成，該系統可實現塊體周邊流速、塊體受水流的水平與垂直壓力、各點水壓力的實時在線量測與傳輸。滿足水流流速與塊體受力的同步不間斷量測，獲取水流瞬時流速、時均流速、塊體水平壓力與垂向壓力的數據要求。測試系統組成如圖2，變坡水槽（長×寬×高50 m×0.6 m× 1.2 m）主要控制水流流量、流速及水位；旋漿式流速儀測量流速，啟動流速2.16 cm/s，最小量程0.01 cm/s；電阻式壓力傳感器測量塊體壓力，靈敏度（2.0±0.1）mV/V，最小量程1 g；滑輪支架的作用為通過鋼絲轉換壓力方向，直徑2.2 cm；wifi信號無線傳輸，四通道信號轉換器為將流速及壓力信號轉換，流速測點頻率為每2 s 1點次，壓力測點頻次為10點次/s。

圖2 塊體拖曳力量測試驗系統

1.3 試驗方案

試驗目的是對比球體與塊體水平拖曳力系數的差異，宏觀上探究塊體水平拖曳力系數影響因素，提出塊體水平拖曳力計算公式，為此本次試驗根據黃河壩岸散拋根石塊體形狀、重度等參數，制備3組球體、18組塊體，測量不同水流強度下球體與塊體水平與垂直壓力，具體的試驗方案如下。

黃河壩岸散拋根石塊體尺寸范圍為寬高比1.01～2.55，長高比1.29～3.40，重度17.70～26.20 kN/m3，通過塊體參數比選測試，邊長為2～3 cm的塊體尺寸小，試驗結果近似球體，邊長大于10 cm，水流振蕩影響較大。因此，結合護岸根石實際參數比例，考慮試驗效果，選用迎水面高度為4 cm的塊體為基準，采用預制混凝土材料制備3組球體、18組塊體，如圖3所示，試驗塊體寬高比1.00～2.50，長高比1.00～3.75，重度22.40～23.90 kN/m3，具體試塊參數如下表3。

注：單位為cm。

表3 試樣尺寸參數

試驗過程中水槽水位設置為25 cm，含沙量10 kg/m3左右，控制水槽流量，尾門自動調節開啟度，試驗水流平均流速強度分別控制在25、35、45、55、65、75、85、95、105、115 cm/s的10個階段瞬時與時均流速，分別量測21組尺寸不同的試塊水平與垂直水流作用力。

1.4 測量及計算方法

1.4.1 流速及拖曳力測量方法

1）利用安裝有定滑輪的測力支架，通過鋼絲線將試驗塊體懸浮在變坡水槽一定水深位置（距水槽底部10 cm），以試塊參數的寬、高方向為迎水面。2）將流速儀放置于試塊中心同一深度，通過微轉子式流速傳感器測量水流瞬時流速，計算不同流量階段的時均流速。3）水平拖曳力通過定滑輪改變至垂直方向壓力傳感器實時采集。4）流速、壓力傳感器信號通過電纜傳輸到四通道信號轉換器，繼而將數據通過wifi無線傳輸器傳至電腦。量測方法如圖4。

圖4 拖曳力量測系統

1.4.2 拖曳力及雷諾數計算方法

1）水平拖曳力公式

對于淹沒于水中的球體或二維圓柱體受到的水平拖曳力，Evett等[25]提出的水平拖曳力公式為

式中F為水平拖曳力，N；C為拖曳力系數；為渾水重度，N/m3；為球體或圓柱體中心作用的水流流速，m/s；為球體或圓柱體在垂直于來流方向的投影面積，m2；為重力加速度，m/s2。

對于球體或近于球體的泥沙、卵石等物體，垂直于來流方向的投影面積是定值，而對于近似于長方體或正方體塊石等物體，垂直于來流方向的投影面積與迎水面的塊體長度與高度密切相關，如分析不同形狀物體的水下受力情況，在式（1）的基礎上，將水平拖曳力變換為單位面積的水平拖曳力公式[18]如下：

式中f為單位面積的水平拖曳力，N/m2；為塊體中心作用的水流時均流速，m/s。

2）塊體雷諾數計算公式

雷諾數是描述流體動規律的無量綱數群，表征流動中流體慣性力和黏性力之比[27-28]。流體流動、沉降、傳熱、吸收、干燥等，雷諾數的表達式和臨界值各有不同[29]，塊體形狀雷諾數（Re）常用于表征流體澆流經過塊體情況的無量綱，主要與流場的特征速度、塊體的主要尺寸相關[20,30]，計算公式如下：

式中為流體密度，kg/m3；為流體動力黏滯系數，Pa·s。

1.5 曲線擬合優度計算公式

式中把殘差平方和與相對誤差有機地結合在一起，幾何意義清晰，越接近于1，表示曲線的擬合優度越好。

2 結果與分析

2.1 球體與塊體的拖曳力系數分析

以迎水面投影面積及形狀參數相似為原則，對比5 cm球體與4 cm×4 cm×4 cm塊體、6 cm球體與5 cm×5 cm×5 cm的塊體雷諾數與拖曳力關系曲線，以及7.5 cm球體的球體雷諾數與拖曳力關系曲線如圖5。

由圖5可知：1）球體水平拖曳力系數在0.40～0.56之間，隨形狀及球體雷諾數變化影響不大；2）塊體水平拖曳力系數在雷諾數0.76×104～2.62×104時，水平拖曳力系數隨著塊體雷諾數增加而增加，雷諾數>2.62×104后，水平拖曳力系數趨于恒定，平均值為0.82；3）塊體拖曳力系數隨塊體雷諾數增長有上升到穩定的過程，不同尺寸的塊體趨勢有差異，由此可見雷諾數及形狀參數的變化對塊體水平拖曳力系數有一定的影響。

2.2 塊體雷諾數對塊體的拖曳力系數影響分析

試驗分析可見塊體雷諾數與水平拖曳力系數密切相關，迎水面試驗塊體的高度不變，改變通過塊體中心的時均流速，繪制塊體雷諾數與水平拖曳力系數變化的關系曲線，分析不同寬高比、長高比塊體的水平拖曳力與塊體雷諾數的變化趨勢，如圖6。

圖5 球體與塊體雷諾數與水平拖曳力系數關系曲線

由圖6：1）Re<2×104時，拖曳力系數隨塊體雷諾數增大而增大，斜率增長相對較大；2）Re界于2×104～3×104之間，拖曳力系數趨于平穩，斜率增長相對較小；3）≤，Re>3×104時，拖曳力系數趨于0.80～0.90；>，Re>3×104時，拖曳力系數趨于1.00～1.10；4）當塊體雷諾數≤3×104時，塊體拖曳力系數隨塊體雷諾數似呈雙曲線趨勢變化，同時不同形狀參數的變化曲率不同；當塊體雷諾數大于3×104時，塊體拖曳力系數趨于恒定；

2.3 塊體形狀參數對塊體的拖曳力系數影響分析

與球體或近似球體的物體不同，塊體具有投影各向異性、邊界棱角不規則等特性，寬高比對塊體迎水面壓強，長高比對側向摩擦力的影響較大，直接影響水流對塊體作用力的變化，為探究塊體形狀參數對拖曳力系數的影響，根據試驗成果，規定相同條件下，分析不同寬高比、長高比與拖曳力系數的關系。

圖6 塊體雷諾數與水平拖曳力系數關系曲線

2.3.1 寬高比（/）對拖曳力系數影響

為分析迎水面寬高比對拖曳力系數的影響，保持塊體長寬比（/）恒定，繪制塊體不同迎水面寬高比與拖曳力系數的關系曲線，如圖7。由圖7可知：1）/≤2.0，Re≤2×104時，寬高比對拖曳力系數影響較大，拖曳力系數隨寬高比增大總體趨于增大；2）/>2.0，Re≤2×104時，拖曳力系數趨于恒定；3）Re>2×104時，寬高比對拖曳力系數影響不大，拖曳力系數趨于恒定；4）塊體≤，塊體雷諾數Re≤2×104，/≤2時，塊體拖曳力系數隨塊體雷諾數呈正向線性變化，當/>2時，塊體拖曳力系數基本趨于恒定；當塊體雷諾數Re>2×104時，塊體拖曳力系數趨于恒定。同樣，根據試驗成果，塊體>、/>2時，塊體拖曳力系數趨于恒定。

圖7 塊體寬高比與水平拖曳力系數關系曲線（b/s≤L/s）

2.3.2 長高比(/)對拖曳力系數影響

長高比對拖曳力系數的影響，保持塊體寬高比（/)、塊體雷諾數恒定，繪制塊體不同長高比與拖曳力系數的關系曲線，如圖8。

由圖8：1）Re≤2×104，/≤1.5時，長高比對拖曳力系數影響較大，拖曳力系數隨寬高比增大而增大，似呈線性增長；2）Re≤2×104，/>1.5時，拖曳力系數趨于恒定；3）Re>2×104時，長高比對拖曳力系數影響不大，拖曳力系數趨于恒定。4）試驗塊體/≤，/≤1.5時，拖曳力系數呈正向線性變化；/>1.5時，圖形趨于定值。同樣，根據試驗成果，塊體/>，1≤/<2時，塊體拖曳力系數趨于呈反向線性變化。

圖8 塊體長高比與水平拖曳力系數關系曲線（b/s≤L/s）

3 塊體拖曳力系數修正公式及驗證

根據塊體拖曳力隨塊體雷諾數、形狀參數變化趨勢及相關關系，可將影響因子融入塊體拖曳力系數，設定應用條件提出雙因素影響下塊體拖曳力系數計算公式。

3.1 修正前拖曳力計算公式

修正前對于塊體拖曳力計算公式中拖曳力系數的取值，學者們在工程實踐中多將塊體近似為等體積球體，采用球體拖曳力系數的經驗值，即泥沙或球形物體沙粒雷諾數Re>1 000時，拖曳力系數C接近常數值0.45[12]。

如緱元有[18]通過對河道整治工程根石受力狀態的分析，建立了根石走失的物理模型，導出了天然河道根石走失的力學計算公式，其中計算根石臨界啟動長度時，假設雷諾數≥1 000時，C取值為0.43。江勝華等[22]在總結已有沖刷機理的基礎上，分析了包括墩前河床底部流速和墩側河床底部流速的橋墩局部流速，并給出了橋墩沖刷防護石塊起動的簡化公式計算公式，其中在計算橋墩沖刷防護石受水流拖曳力計算式中，C取值為0.40。因此，工程實踐中，拖曳力系數常采用定值0.45，修正前拖曳力計算公式為

式中為塊體的等體積球體當量投影面積，m2。

筆者通過試驗發現，塊體拖曳力實測值遠大于等體積球體的實測值，特別是流速強度較大時，差異可達1.5～2倍，如將水下塊石近似球體計算拖曳力往往小于實測值；且塊體拖曳力反映出塊體雷諾數、塊體形狀影響較大，拖曳力系數表現為塊體雷諾數、塊體形狀多因素影響的函數曲線，而不僅僅是單因素影響的范圍值。

3.2 雙因素影響下拖曳力修正計算公式

3.2.1 拖曳力系數修正公式

考慮塊體雷諾數及幾何尺寸的2種因素交互影響，根據試驗成果分析，在一定的應用條件下，塊體拖曳力系數隨塊體雷諾數（Re）呈雙曲線函數變化，隨形狀參數（）呈線性函數變化。利用文獻[33]中雙因素影響計算公式擬合方法，考慮到二者的交互影響，將2個影響因子按乘法效應進行組合，得到7種組合應用條件下的塊石水平拖曳力系數公式。基于試驗量測數據，利用最小二乘法擬合不同應用條件下拖曳力系數公式，修正得到形狀參數（）、塊體雷諾數（Re）塊石拖曳力系數擬合公式如下：

式中為塊體長，m；為塊體迎水面寬，m；為塊體迎水面高，m；1(,,)和1(,,)為與相關的函數；為常量；為10-4Re。

其中：

1）當迎水面≤時，

a. 若Re≤2×104，≤1.5，≤1.5，則

b. 若Re≤2×104，/≤1.5，1.5＜/≤4.0，則

c. 若2×104<Re≤3×104，≤1.5，/≤1.5，則

2）當迎水面/>/，Re<2×104，/≥2.0，/<2.0時，則

式中為塊體雷諾數的10-4，其中：

迎水面/≤/時

a. 若Re≤2×104，1.5

b. 若2×104<Re≤3×104，1.5

式中為塊體長，m；為塊體迎水面高，m。其中：迎水面/≤/，Re≥3×104，/≤1.5，1=0.11，2=0.71。

當迎水面尺寸寬高比/≤長高比/，Re≥3×104，1.5≤/<4.0，C的取值為0.80～0.90；當迎水面尺寸寬高比/>長高比，Re≥3×104，C的取值為1.00～1.10。

3.2.2 塊體拖曳力修正公式

基于黃河壩岸散拋根石形狀參數統計，利用基礎水槽量測水下塊體受水流作用力變化過程，結果分析表明塊體雷諾數、形狀參數對拖曳力系數影響較大。將式（2）中拖曳力系數修正為與塊體雷諾數與形狀參數相關的函數，則塊體單位面積水流拖曳力修正的計算公式如下：

式中f為單位面積的水流拖曳力，N/m2；C為拖曳力系數函數，為不同應用條件相關取值，如式（6）～式（8）；為渾水重度，N/m3；為塊體中心作用的水流時均流速，m/s。

淹沒于水流中水流作用力下塊體受到的水平拖曳力計算公式如下：

式中F為水流拖曳力，N；為塊體在垂直于來流方向的投影面積，m2。

3.3 修正公式驗證試驗及結果

3.3.1 拖曳力系數修正的合理性分析

為驗證塊體形狀參數與雷諾數雙因素影響下拖曳力系數擬合公式的合理性，分析不同雷諾數正方體4 cm× 4 cm×4 cm拖曳力系數的實測值與公式擬合值的相關性，拖曳力系數實測值與計算擬合值趨勢如圖9a，采用擬合優度及平均相對誤差（mean of relative error，MRE）判斷驗證結果[34]，擬合優度（）可達0.93，MRE為3.9%。Re≤2×104、/≤1.5、/≤1.5條件下拖曳力系數實測值與公式擬合值趨勢如圖9b，擬合優度可達0.90，平均相對誤差為8.7%。

圖9 雙因素影響下拖曳力系數擬合曲線

3.3.2 拖曳力修正公式的驗證

1）驗證試驗設計

為了驗證公式的有效性和準確性，制作塊體為5 cm× 5 cm×5 cm的標準鋁塊，重度28.8 kN/m3，試驗過程中水槽水位設置為25 cm，含沙量10 kg/m3左右，控制水槽流量，尾門自動調節開啟度，試驗水流平均流速強度分別控制在35、45、55、66、74、86、96、105、113 cm/s的9個階段瞬時與時均流速，測試水下塊體的拖曳力變化，測力系統如圖10。

圖10 拖曳力系數修正公式驗證試驗系統

2）拖曳力修正公式驗證結果分析

根據驗證試驗獲取的瞬時流速及瞬時拖曳力數據，統計各水流強度控制下的流速、拖曳力及拖曳力系數的實測值如表4。采用拖曳力系數0.45的取值，利用修正前拖曳力計算公式，如式（5），計算值與實測值的MRE達到31.9%，拖曳力的計算值遠小于實測值，由此可見，修正前拖曳力計算公式與驗證試驗結果吻合較差。而根據標準塊體形狀及塊體雷諾數，按不同應用條件的修正公式得到拖曳力系數的擬合值，修正后的拖曳力計算值與實測值的平均相對誤差為7.5%，表明試驗驗證結果與實測值吻合較好，修正后公式與試驗值更相符。

通過多組塊石水平拖曳力試驗、公式優化擬合及標準試塊驗證試驗，可以認為拖曳力系數擬合公式可以用于塊體迎水面高度不小于4 cm、塊體雷諾數大于0.75×104的水下塊石的水平拖曳力計算。試驗成果彌補了工程中水下塊體拖曳力系數取值理論依據不足的問題，可以應用到壩岸散拋根石的護岸工程的規劃與設計中。

表4 拖曳力系數修正公式驗證試驗成果

4 討 論

對于塊體拖曳力系數取值，目前研究成果或近似采用球體拖曳力系數，或僅考慮了單因素（如形狀參數、雷諾數）對拖曳力系數的影響，本研究成果模擬黃河壩岸散拋根石形態參數，開展多組系列基礎水槽試驗塊石水下受力沖刷試驗，在前人研究的基礎上考慮塊體形狀及雷諾數雙因素的影響，取得了一定條件下塊體拖曳力系數擬合公式及拖曳力修正公式，并通過標準塊體的公式驗證，修正后的拖曳力計算值與實測值的平均相對誤差為7.5%，公式計算效果良好。證明拖曳力系數擬合公式適用于塊體不小于4 cm、Re大于0.75×104的水下塊石的水平拖曳力計算。試驗成果彌補了護岸工程穩定性計算過程中，水下塊體拖曳力系數取值理論依據不足的問題。

通過塊體受力水槽試驗，筆者在獲取塊體拖曳力同時，也得到一系列上舉力測試數據，分析表明，塊體拖曳力變化規律隨流場及塊體形狀影響變化明顯，而上舉力值偏小，且與流場及塊體形狀無明顯的相關關系，個別塊體在上舉力量測過程中，受塊體在水中振蕩姿態的干擾影響相對較大。上舉力總體規律為：球體的上舉力是拖曳力的1/4～1/5，上舉力系數趨于0.1；塊體的上舉力是拖曳力的1/8～1/10，上舉力系數也趨于0.1。上舉力規律與文獻[23]中提出的球體上舉力0.18，文獻[20]中塊體上舉力0.12左右取值類似，證明測試數據及規律的可靠性。

為探究護岸工程堆石形態對拋石走失的影響，筆者也嘗試開展了多塊體不同堆積形態的拖曳力試驗，試驗發現，隨著塊體不同組合形式的改變，目標塊體迎水水流流速也隨之變化，流場分布變異性較大，但組合形式目標塊體與單塊體拖曳力變化規律一致，由此可見，單塊體基礎水槽試驗可規律性地反映了塊石個體拖曳力隨塊體形狀及雷諾數變化情況，試驗成果適用于壩岸散拋根石水流沖刷作用邊界力的設定。鑒于此，考慮雷諾數和形狀影響的塊石水平拖曳力成果，應與壩岸的流場分布相結合，適用于預測暴露在壩岸迎水側及壩頭的護岸塊石受到的水流沖揭力，實踐證明，受水流瞬時或周期性沖擊作用，暴露在壩岸迎水側及壩頭的護岸塊石極易沖揭啟動。

5 結 論

黃河壩岸散拋根石水流作用力水槽模擬試驗研究表明，不同塊體雷諾數、形狀參數直接影響拖曳力系數變化，通過多種組合試驗的分析驗證，得出相關結論如下：

1）水下球體或近似球體的物體的水流水平拖曳力系數，基本不受水流及物體尺寸影響，拖曳力系數在0.40～0.56。

2）有棱角塊體（≥4 cm、Re>0.75×104）的水流水平拖曳力系數，以單位面積水流拖曳力分析其規律，水流與物體形態參數（即塊體雷諾數、迎水面壓強、順水面塊體摩擦力）協同影響水流拖曳力系數的變化，集中反映在塊體雷諾數小于3×104的影響區域，系數函數趨于雙曲線形態變化；塊體雷諾數大于3×104的影響區域，迎水面≤側立面時，拖曳力系數趨于恒定值0.80～0.90，迎水面>側立面時，拖曳力系數趨于恒定值1.00～1.10。

3）通過試驗率定并驗證了水流作用下不同形態物體的水平拖曳力系數，提出了塊體雷諾數、形狀參數雙因素影響下物體水平拖曳力系數函數公式，得到了以不同物體來流方向投影面積為基準的水平拖曳力計算公式，更準確地反映散拋根石的水下受力特征。

4）通過拖曳力系數修正公式的合理性分析，拖曳力系數修正公式擬合優度達到0.90以上，平均相對誤差為8.7%；標準塊體的公式驗證修正后拖曳力平均相對誤差僅為7.5%，公式計算效果良好。證明拖曳力系數擬合公式可以用于塊體不小于4 cm、Re大于0.75×104的水下塊石的水平拖曳力計算。試驗成果彌補了護岸工程穩定性計算過程中，水下塊體拖曳力系數取值理論依據不足的問題，可以應用到水利工程護岸工程規劃與設計中。

[1] 郭秀華，杜學軍，魏鳳. 黃河下游險工壩岸根石走失規律及其防護措施探討[C]. 山東水利科技論壇，2007：269－272.

[2] 郭全明，張亞麗，薛選世，等. 黃河小北干流河道工程出險原因及防護對策[J]. 人民黃河，2012，34(11)：7－9. Guo Quanming, Zhang Yali, Xue Xuanshi, et al. Discussion on causes and protective countermeasures of river engineering works in danger of xiaobeiganliu of the Yellow River[J]. Yellow River, 2012, 34(11): 7－9. (in Chinese with English abstract)

[3] 張建懷，崔云雪，連志軍. 黃河壩岸根石走失原因及防護措施[J]. 山東水利，2000(6)：14－15.

[4] 包家全，董強，王輝. 黃河河道整治工程根石走失原因及防護措施[J]. 人民黃河，2003，25(11)：17－18. Bao Jiaquan, Dong Qiang, Wang Hui. Analysis on causes of foundation rock loss of river training works of the yellow river and measures for prevention[J]. Yellow River, 2003, 25(11): 17－18. (in Chinese with English abstract)

[5] 苗長運，郭西方，齊洪海. 黃河河道整治工程根石走失及加固研究[J]. 人民黃河，2004，26(2)：25－26. Miao Changyun, Guo Xifang, Qi Honghai. Study on root rock loss and reinforcement of river training works of the yellow river[J]. Yellow River, 2004, 26(2): 25－26. (in Chinese with English abstract)

[6] 鄭付生，陳太平，郭文. 河道壩岸根石走失原因及加固措施[J]. 黃河水利職業技術學院學報，2002，14(1)：14－15. Zheng Fusheng, Chen Taiping, Guo Wen. Reasons and protective measures of root rock loss in the Yellow River dam bank[J]. Journal of Yellow River Conservancy Technical Institute, 2002, 14(1): 14－15. (in Chinese with English abstract)

[7] 光治河，徐榮安，劉英杰，等. 黃河河道整治工程壩岸根石走失原因和防護措施[J]. 科技信息，2010(15)：366－367.

[8] 蔡喆偉，夏云峰，徐華，等. 深水航道整治中新型結構淹沒丁壩水流力特性研究[J]. 水利水運工程學報，2018(3)：16－23. Cai Zhewei, Xia Yunfeng, Xu Hua, et al．Flow force characteristics of new-type structure submerged spur dike during deep waterway regulation[J]. Hydro-Science and Engineering, 2018(3): 16－23. (in Chinese with English abstract).

[9] 劉大有，王光謙，李洪州. 泥沙運動的受力分析：關于碰撞力的討論[J]. 泥沙研究，1993，12(2)：41－47.Liu Dayou, Wang Guangqian, Li Hongzhou. Force analyses of sediment transport: A discussion on the “collision force” [J]. Journal of Sediment Research, 1993, 12(2): 41－47. (in Chinese with English abstract)

[10] 丁文斌，史東梅，何文健，等. 放水沖刷條件下工程堆積體邊坡徑流侵蝕水動力學特性[J]. 農業工程學報，2016，32(18)：153－161.

Ding Wenbin, Shi Dongmei, He Wenjian, et al. Hydrodynamic characteristics of engineering accumulation erosionunder side slope runoff erosion process in field scouring experiment [J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2016, 32(18): 153－161.(in Chinese with English abstract)

[11] 張瑋，瞿凌鋒，徐金環. 山區河流散拋石壩水毀原因分析[J].水運工程，2003，351(4)：10－12. Zhang Wei, Qu Lingfeng, Xu Jinhuan. Stability analysis of enrockment dams in mountain streams[J]. Port & Waterway Engineering, 2003, 351(4): 10－12. (in Chinese with English abstract)

[12] 謝鑒衡. 河流泥沙工程學[M]. 北京：水利電力出版社，1981：20.

[13] 錢寧，萬兆惠. 泥沙運動力學[M]. 北京：科學出版社，2003：114－122.

[14] Patnaik P C, Pande P K, Vittal N. Drag coefficient of a stationary sphere in gradient flow[J]. Journal of Hydraulic Research, 1992, 30(3): 389－402.

[15] 竇國仁. 再論泥沙起動流速[J]. 泥沙研究，1999，12(6)：1－9.Dou Guoren. Incipient motion of coarse and fine sediment[J]. Journal of Sediment Research, 1999, 12(6): 1－9. (in Chinese with English abstract)

[16] 吳野，王胤，楊慶. 考慮鈣質砂細觀顆粒形狀影響的液體拖曳力系數試驗研究[J]. 巖土力學，2018，39(9)：1001－1011. Wu Ye, Wang Yin, Yang Qing. Experimental study on the drag force coefficient of calcareous sand in liquid considering the effect of particle shape[J]. Rock and Soil Mechanics, 2018, 39(9): 1001－1011. (in Chinese with English abstract)

[17] 周雙，張根廣，邢茹，等. 床面均勻沙拖曳力及上舉力系數的確定[J]. 泥沙研究，2016(2)：1－6. Zhou Shuang, Zhang Genguang, Xing Ru, et al. Determination of drag and lift coefficients of uniform sediment on the bed surface[J]. Journal of Sediment Research, 2016(2): 1－6. (in Chinese with English abstract)

[18] 緱元有. 河道整治工程根石走失的力學分析研究[J]. 人民黃河，2000(4)：4－5. Gou Yuanyou. Mechanics analysis and study of root rock loss in river channel harness projects[J]. Yellow River, 2000 (4): 4－5. (in Chinese with English abstract)

[19] 陳小莉，馬吉明. 受漩渦作用的水下塊石的起動流速[J]. 清華大學學報：自然科學版，2005，45(3)：315－318. Chen Xiaoli, Ma Jiming. Critical velocity for initiation motion of rocks under water due to vortex motion[J]. Journal of Tsinghua University: Science and Technology, 2005, 45(3): 315－318. (in Chinese with English abstract)

[20] 龐啟秀. 水流作用下塊體受力試驗研究[D]. 南京：河海大學，2005. Pang Qixiu. Experimental Study of the Hydrodynamic Forces on the Square-section Cylinder[D]. Nanjing: Hohai University, 2005. (in Chinese with English abstract)

[21] 龐啟秀，徐金環，辛海霞. 塊體形狀對水流推移力的影響[J].水道港口，2006，27(1)：5－8，22. Pang Qixiu, Xu Jinhuan, Xin Haixia. Effect of square -section cylinder shape on the drag force[J]. Journal of Waterway and Harbour, 2006, 27(1): 5－8, 22. (in Chinese with English abstract)

[22] 江勝華，周智，歐進萍. 橋墩局部沖刷防護的石塊起動[J]. 泥沙研究，2013(4)：63－67. Jiang Shenghua, Zhou Zhi, Ou Jinping. Incipient motion of rocks for bridge local scour protection[J]. Journal of Sediment Research, 2013(4): 63－67. (in Chinese with English abstract)

[23] 李貞儒，陳媛兒，趙云. 作用于床面球體的推力及舉力試驗研究[C]//第二次河流泥沙國際學術討論會論文集. 北京：水利電力出版社，1983：330－343． Li Zhenru, Chen Yuaner, Zhao Yun. Laboratory investigation on drag and lift forces acting on bed spheres[C]. Proceedings of the Second International Symposium on River Sedimentation. Beijing: Water Resources and Electric Power Press, 1983: 330－343. (in Chinese with English abstract)

[24] Hoerner S F. Fluid-dynamic Drag[M]. Bricktown New Jersey: Hoerner S F, 1958: 12－13.

[25] Evett J B, Liu C. Fundamentals of Fluid Mechanics[M]. New York: MeGraw-Hill, 1987: 381－390.

[26] 張磊，徐嘯. 后石電廠排水口沖刷及其防護塊體穩定試驗研究[J]. 水利水運工程學報，2011(2)：14－19. Zhang Lei, Xu Xiao. Scour of the outfall and protection stones stability of Houshi Power Plant[J]. Hydro-Science and Engineering, 2011(2): 14－19. (in Chinese with English abstract)

[27] 陳玉璞. 流體動力學[M]. 南京：河海大學出版社，1990：201－207.

[28] 楊坪坪，王云琦，張會蘭，等. 降雨強度和單寬流量與地表粗糙度交互作用下坡面流阻力特征[J]. 農業工程學報，2018，34(6)：145－151. Yang Pingping, Wang Yunqi, Zhang Huilan, et al. Characteristics of overland flow resistance under interaction of rainfall intensity and unit discharge and surface roughness [J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2018, 34(6): 145－151.(in Chinese with English abstract)

[29] 張小璇，張大觀. 雷諾數的應用淺析[J]. 廣東化工，2014，41(10)：204－206. Zhang Xiaoxuan, Zhang Daguan. The application of the reynolds number[J]. Guangdong Chemical Industry, 2014, 41(10): 204－206. (in Chinese with English abstract)

[30] 陳啟剛，齊梅蘭，李金釗. 明渠柱體上游馬蹄渦的運動學特征研究[J]. 水利學報，2016，47(2)：158－164.Chen Qigang, Qi Meilan, Li Jinzhao. Kinematic characteristics of horseshoe vortex upstream of circular cylinders in open channel flow[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2016, 47(2): 158－164. (in Chinese with English abstract)

[31] 舒繼森，郭兵兵，張俊陽. 基于擬合優度指標評價的巖土參數概率分布研究[J]. 采礦與安全工程學報，2008，25(2)：197－201. Shu Jisen, Guo Bingbing, Zhang Junyang. Research on probability distribution of parameters of rock and soil based on fitting optimization index[J]. Journal of Mining and Safety Engineering, 2008, 25(2): 197－201. (in Chinese with English abstract)

[32] 張世強. 曲線回歸的擬合優度指標的探討[J]. 中國衛生統計，2002，19(1)：9－11. Zhang Shiqiang. Approach on the fitting optimization index of curve regression[J]. Chinese Journal of Health Statistics, 2002, 19(1): 9－11. (in Chinese with English abstract)

[33] 沈細中，管新建，蘭雁. 非飽和黏土有效應力強度指標計算[J]. 巖土力學，2007，28(S1)：207－210.Shen Xizhong, Guan Xinjian, Lan Yan. Calculation of effective strength indexes of unsaturated low liquid limit clay[J]. Rock and Soil Mechanics, 2007, 28(S1): 207－210. (in Chinese with English abstract)

[34] 穆艾塔爾·賽地，丁建麗，崔春亮. 基于地形因子改進融雪徑流的模擬及驗證[J].農業工程學報，2017，33(19)：179－186.Muattar·Saydi, Ding Jianli, Cui Chunliang. Simulation and validation of enhanced snowmelt runoff model with topographic factor [J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2017, 33(19): 179－186. (in Chinese with English abstract)

Modification of horizontal drag force coefficient of bam bank root stone considering influence of Reynolds number and shape

Lan Yan1, Shen Xizhong1, Zou Rui2, Yang Changming3, Jiang Siqi1, Luo Liqun1

(1450003,; 2.,450045,; 3.,330000,)

Scattered root stone loss under the action of water flowis one of main reasons causing bank instability. Drag force is an important parameter for understanding the related mechanisms. In this paper, we investigated the effects of shape and Reynolds number on the drag force coefficient of root stone under the action of water flow. Scattered root stones on Yellow River bank had the width-height ratio of 1.01-2.55, the length-height ratio of 1.29-3.40, and unit weight of 17.70-26.20 kN/m3. Based on these investigated results, samples of different shapes (block and ball) and sizes were prepared. A set of force measurement system was developed for determining velocity and pressure signals simultaneously, which could measure horizontal drag force under the action of water flow on balls and different sizes of blocks by controlling water flow of sloping flume. Based on the analysis on the relationship between Reynolds number, shape and drag force, drag coefficient function of block was calibrated. Results showed that the drag force coefficients of underwater balls or balls were not influenced by the flow and shape. Their drag force coefficients were 0.40-0.56. However, the drag force coefficient of blocks was affected by the water flow and object shape. When the Reynolds number of block was less than 3×104, the drag force coefficient changed in hyperbolic shape.When the Reynolds number of block was greater than 3×104, if the width-height ratio of upstream face was less than or equaled to the length-height ratio of upstream of side elevation, the drag coefficients tended to be constant values of 0.80-0.90, or if the width-height ratio of upstream face was more than the length-height ratio of upstream of side elevation, the drag coefficients tended to be constant values of 1.00-1.10. Considering the interaction effects of the Reynolds number and block shape, the horizontal drag force coefficient formula of block stone could be obtained under 7 combination conditions. Based on the measured data, the drag coefficients under different application conditions were fitted by least square method. The formulas of drag force coefficients of block stone were presented under the influence of Reynolds number and shape parameters. And then the horizontal drag force calculation formula was suggested with the projected area of different objects in the flow direction. It could more accurately reflect the force characteristics of the underwater root stone. The goodness of fit of drag force coefficient reached above 0.90, and the mean of relative error was 8.7%. After correction the mean of relative error of drag force was only 7.5%. Compared to the regular method considering the drag coefficient as a constant of 0.45 (the mean relative error of drag force), the corrected method had a higher accuracy, indicating that the modification in this study is reasonable and the formula established is useful for block root stones. The research results make up for inadequacy of theoretical basis for drag force analysis of underwater root stones in the process of revetment engineering stability calculation. These results can be applied to planning and designing revetment projects in water conservancy projects.

Reynolds number; dams; drag force coefficient; root stone; shape; ball; block

2018-07-03

2019-01-01

國家自然科學基金項目( 51509104、51609095)；重大自然災害監測預警與防范重點專項（2017YFC1501202）

蘭雁，教授級高工，主要從事水利工程安全評價理論與應用研究。Email：18091025@qq.com

10.11975/j.issn.1002-6819.2019.05.021

U656.35

A

1002-6819(2019)-05-0173-10

蘭 雁，沈細中，鄒 瑞，楊昌明，蔣思奇，羅立群.考慮雷諾數和形狀影響的壩岸根石水平水流拖曳力系數修正[J]. 農業工程學報，2019，35(5)：173－182.doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2019.05.021 http://www.tcsae.org

Lan Yan, Shen Xizhong, Zou Rui, Yang Changming, Jiang Siqi, Luo Liqun. Modification of horizontal drag force coefficient of bam bank root stone considering influence of Reynolds number and shape [J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2019, 35(5): 173－182. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2019.05.021 http://www.tcsae.org