概率統(tǒng)計(jì)關(guān)于“善學(xué)”的引導(dǎo)與創(chuàng)新實(shí)踐

張德然，趙克全，石蓉榮

（1.亳州學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院；2.亳州學(xué)院 教務(wù)處，安徽 亳州236800）

習(xí)近平總書記在北京八一學(xué)校與師生座談時(shí)指出：“廣大教師要做學(xué)生錘煉品格的引路人，做學(xué)生學(xué)習(xí)知識的領(lǐng)路人，做學(xué)生創(chuàng)新思想的領(lǐng)路人，做學(xué)生奉獻(xiàn)祖國的引路人?！保?］使命呼喚擔(dān)當(dāng)，責(zé)任引領(lǐng)未來，學(xué)生以學(xué)為主，作為一名專業(yè)課教師，除了要與政治思想課同行，挖掘教材中德育因素樹德育人外，還要為學(xué)生的學(xué)習(xí)知識引好路，要在不間斷的知識傳授中培養(yǎng)學(xué)生“愿學(xué)”、“善學(xué)”，強(qiáng)化創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思想并勇于創(chuàng)新，為促成合格的社會急需的“復(fù)合型”人才做出努力。

概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的科學(xué)，概率統(tǒng)計(jì)的思維結(jié)構(gòu)是一個(gè)多因素的動態(tài)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)，由腦內(nèi)神經(jīng)元興奮模式的各種運(yùn)動對概率統(tǒng)計(jì)對象的信息進(jìn)行加工和處理，從而形成不同類型的概率統(tǒng)計(jì)思維模式［2］。多年的教育實(shí)踐表明，依據(jù)概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)自身的特點(diǎn)，利用其與其他學(xué)科的廣泛聯(lián)系，可以較大程度的挖掘?qū)W生的潛能，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。但要顯著大面積提高學(xué)習(xí)效果，必須構(gòu)建一個(gè)“善教”、“善學(xué)”的和諧鏈。

一、注重學(xué)科知識的融通，催生“善學(xué)”

“愿學(xué)”是“善學(xué)”的前提，啟發(fā)式的說教雖有效果，但學(xué)科教育的效果更能激勵學(xué)生的學(xué)習(xí)熱度，并能保持漸進(jìn)持續(xù)度。這種自然而然的效果來自教師對學(xué)科資源的開發(fā)，并在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和行為中起著潛移默化的作用。如在古典型概率的計(jì)算中，常常用排列組合來計(jì)算兩種基本事件總數(shù)，基于此，同樣可以利用概率的方法去解決排列組合問題。

例 1［3］證明，

證 設(shè)計(jì)如下概率模型：一批產(chǎn)品共有a+b個(gè)，其中a個(gè)不合格品，b個(gè)合格品，從中隨機(jī)取出n個(gè)，n=min(a,b)。則Ak={取出的n個(gè)產(chǎn)品中有k個(gè)不合格}，其概率：

由諸 Ak互不相容，且 P（A0∪A1∪A2∪…∪An）=P(Ω)=1得：

即有：

數(shù)理統(tǒng)計(jì)中也有許多類似的情況。

例 2［4］證明是半正定的。

證

概率論與統(tǒng)計(jì)的方法不僅在自然科學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，在社會科學(xué)領(lǐng)域中同樣也有著廣泛的應(yīng)用。例如“小概率原理”在一些文學(xué)創(chuàng)作中比比皆是。在電視劇《重慶諜戰(zhàn)》中有這么一個(gè)情節(jié)：日軍綁架了愛國將領(lǐng)盧躬庶，逼他說出打進(jìn)日軍內(nèi)部的“內(nèi)鬼”，日軍對其實(shí)施了各種酷刑，他寧死不開口；當(dāng)其奄奄一息之時(shí)，狡猾的日軍軍官佐佐木對盧說，你不說我們也知道，“內(nèi)鬼”就是秦敖！此時(shí)盧并不否定，而是坦然地說：“內(nèi)鬼”就是秦敖，真叫你猜中了！日軍認(rèn)為，酷刑都征服不了他，他臨死前輕易供出內(nèi)線是不可能的，于是錯誤地認(rèn)為他臨死前想挑起內(nèi)訌，借刀殺人。就這樣，盧老將軍利用“小概率原理”巧妙地保護(hù)了自己的同志,作者利用“小概率原理”使得劇情的發(fā)展更可信。黃秦安先生指出：“數(shù)學(xué)作為聯(lián)結(jié)自然科學(xué)與人文、社會科學(xué)的紐帶，扮演著溝通文理、兼容并蓄、彌合文化裂痕的文化使者的角色?！保?］馬克思也明確指出：“一門科學(xué)只有當(dāng)它達(dá)到了能夠成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算真正發(fā)展了。”［6］文學(xué)源于生活，必然傳遞著希望，偶然呈現(xiàn)著曲折，一旦把它根植于文理融合思維的肥沃土壤中，它的成長就將會更加茁壯！

有位學(xué)生在學(xué)習(xí)概率論課后深有感觸地寫道：通過概率論課程的學(xué)習(xí)，使我進(jìn)一步感受到了概率論的強(qiáng)大魅力，不僅是其在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，其在文學(xué)、歷史等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用更是令我耳目一新。筆者認(rèn)為這應(yīng)該也是為什么要求教師學(xué)識淵博的原因吧！視野開闊，涉獵廣泛，才能形成靈活的方法，活躍的思維，也才能教得好學(xué)生。學(xué)生們的話語，既道出了對這種方式的向往，又說出了對老師如此而為的期待，善教、善學(xué)，構(gòu)建了課堂一道靚麗的風(fēng)景線。

二、注重知識的發(fā)生過程，激勵“善學(xué)”

學(xué)習(xí)任何一門知識都要知其然，又要知其所以然?，F(xiàn)代教育理念要求教師不單單授人以“魚”，還要授人以“漁”就是這個(gè)理。要做到這一點(diǎn)，教師就必須認(rèn)真鉆研教材，理清知識的來龍去脈及如何向同學(xué)傳授，“知之深切，方能行之自覺”。比如，在學(xué)習(xí)概率的間接計(jì)算方法時(shí)，利用概率的公理化定義，首先應(yīng)由概率的可列可加性推出有限可加性，然后由此并同時(shí)利用非負(fù)性及規(guī)范性就可依次得到事件差、逆及一般事件和的概率公式。依據(jù)明確：化一般為互斥；推理順暢：和的概率等于概率的和。在假設(shè)檢驗(yàn)中，結(jié)合陶行知先生的名言：行動生困難；困難生疑問；疑問生假設(shè)；假設(shè)生試驗(yàn)；試驗(yàn)生斷語；斷語又生了行動，如此演進(jìn)于無窮。通過分析假設(shè)檢驗(yàn)的程序，就可以讓學(xué)生明白假設(shè)檢驗(yàn)的合理性及該如何進(jìn)行。合理的思考，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评恚{入同學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就一定會化為解決問題的正能量，形成“善學(xué)”的催化劑。

三、注重知識的延伸推廣，提升“善學(xué)”

興趣是一種向往，是推動學(xué)習(xí)的內(nèi)部動力，是塑就創(chuàng)新理念的前提。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的問題大都來自社會，來自生活，甚至就在我們的身邊。所以，對概率論的學(xué)習(xí)來說，如此的貼近生活、貼近社會，加之教師的引導(dǎo)已足以讓學(xué)生感興趣了。但如何利用這種興趣集聚正能量，喚起學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，是要進(jìn)行認(rèn)真設(shè)計(jì)的。教學(xué)的經(jīng)歷告訴我們，注重知識的延伸推廣是一條有效途徑。如“抓鬮問題”是古典概率中一個(gè)常見例子，稍加改造可轉(zhuǎn)變?yōu)橄率觥懊騿栴}”。

例3 袋中有a只黑球，b只白球，它們除顏色不同外，其它方面沒有區(qū)別，現(xiàn)把球隨機(jī)地一個(gè)個(gè)摸出來，求第k次摸出的一只球是黑球的概率（1≤k≤a+b）。

調(diào)查顯示，從事竹林經(jīng)營的家庭勞動力以1～2人為主，平均為1.64人，且隨其家庭經(jīng)營竹林規(guī)模的增加而稍有增加，經(jīng)營面積接近1.33 hm2時(shí)勞動力人數(shù)達(dá)到最大；戶均從事竹生產(chǎn)天數(shù)也表現(xiàn)出與此一致的規(guī)律?？梢?，由于竹林經(jīng)營面積小吸納不了太多的勞動力，致使剩余勞動力只能從事其他非竹行業(yè)。

發(fā)現(xiàn)1：此題有5種解法，但最優(yōu)解法為：只考慮第k次抽球，a+b個(gè)球中任何一個(gè)都有可能在第k次被抽到，故樣本點(diǎn)數(shù)為a+b，抽到黑球只有a種可能。令A(yù)：“第k次摸出的一個(gè)球是黑球”，則有：

因?yàn)樗鼧?gòu)建了最小的樣本空間，使得計(jì)算更加方便。

發(fā)現(xiàn)2：第k次摸到黑球的概率與k無關(guān)。即結(jié)果與次數(shù)無關(guān)，所以“抓鬮”不需爭先恐后。

發(fā)現(xiàn)3：利用例中結(jié)果及等價(jià)事件轉(zhuǎn)化法可以解決下述諸多問題：某人有n把鑰匙，其中只有一把能打開他的門，他逐把取出鑰匙試開，求到第i次打開鎖的概率；袋中有a只黑球，b只白球，甲、乙、丙3人依次從袋中取出1球（取后不放回），試分別求3人各自取得黑球的概率；袋中有a只黑球，b只白球，把球隨機(jī)地一只只取出來（不放回），直至袋中剩下的球全為一色球?yàn)橹梗笞詈笫Ｏ碌娜呛谇虻母怕省?/p>

發(fā)現(xiàn)4：此例的結(jié)果與其他方法相結(jié)合，可簡化復(fù)合事件的概率計(jì)算：甲、乙2只袋，分別裝4份、8份報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為2份、6份，現(xiàn)任取一袋，并從中先后取出2份報(bào)名表。

（1）求先取出那份是女生報(bào)名表的概率；

（2）已知后取出的是男生的表，求先取出那份是女生表的概率［7］。

如此等等，從題內(nèi)到題外，從課內(nèi)到課外，不間斷的聯(lián)想就會孵化出創(chuàng)新的意識與行動，并在日后許多問題的解決中發(fā)揮作用。

四、注重研討推進(jìn)，強(qiáng)化“善學(xué)”

心理學(xué)的研究表明,意識是產(chǎn)生渴望的前提，沒有渴望就沒有追求，只有具有強(qiáng)烈的參與意識才能經(jīng)常付諸行動［8］。信任拉近距離，尊重構(gòu)建和諧，和諧的師生關(guān)系會有力地拉動師生的積極參與。實(shí)踐證明，在概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)的教學(xué)中經(jīng)常性地開展以問題為背景的師生共同研討不僅可以拉近師生之間的距離，而且可以引起學(xué)生的強(qiáng)烈追求和主動進(jìn)攻，在不斷的獲知成功中走向更大的成功。

例4 甲、乙2射手輪流對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，其命中目標(biāo)的概率分別為α和β，甲先射，誰先命中誰得勝，問甲、乙2人獲勝的概率各是多少？

同學(xué)們通過一番研討，大都給出了利用列舉法所得的正確結(jié)果。這時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生回憶被積函數(shù)為三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積時(shí)的分部積分方法，在教師的提醒下學(xué)生們通過一番“用心”終于發(fā)現(xiàn)了如文獻(xiàn)［9］的解法。

沖破傳統(tǒng)的繁瑣，收獲特色的簡練，這就是“善學(xué)”的成果，而且它有很強(qiáng)的輻射力。事實(shí)正是這樣，在以后的類似問題中，大家都這樣做了。

例5 一迷宮設(shè)有3條路徑，一人若沿第1條路徑走3小時(shí)后即可走出迷宮，若沿第2條路徑走5小時(shí)后又回到原處，沿第3條路徑走7小時(shí)后也返回原處，假定此人隨機(jī)在3條路徑中選擇1條，試求他平均要用多少時(shí)間才能走出迷宮。

解 設(shè)該人需要X小時(shí)走出迷宮，Y表示第一次所選的路徑，{Y=i}即為選擇第i條路徑，由題設(shè)，得：

解得E(X)=15，即該人平均要15小時(shí)才能走出迷宮。

五、注重實(shí)踐體驗(yàn)，推動“善學(xué)”

需要永遠(yuǎn)帶有動力性［10］。適當(dāng)?shù)捏w驗(yàn)和實(shí)踐會讓學(xué)生在需要的成功中產(chǎn)生新的需求，新的需求會更加不間斷地激發(fā)“善學(xué)”。因此，要緊密結(jié)合概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)專業(yè)知識的學(xué)習(xí)，聯(lián)系社會和學(xué)生實(shí)際，適時(shí)地讓學(xué)生去做力所能及的體驗(yàn)和實(shí)踐，從成功中集聚能量，在期望中推動“善學(xué)”。如在講授正態(tài)分布后，要求學(xué)生用概率的方法計(jì)算廣義積分：

依據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì)及各階矩等別開生面且簡潔的解法不僅讓學(xué)生們又一次體驗(yàn)到概率統(tǒng)計(jì)的美，而且還聯(lián)想出一組可以用概率論方法求解的積分題。同樣，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的進(jìn)展，可適時(shí)布置作業(yè)，讓學(xué)生們通過閱讀畢業(yè)論文估計(jì)文章的錯別字個(gè)數(shù);到教育實(shí)習(xí)基地采集數(shù)據(jù)評價(jià)實(shí)習(xí)效果等等。通過實(shí)踐他們會加深對概率統(tǒng)計(jì)的感悟。這樣的體檢與實(shí)踐自然會推動學(xué)生的愿學(xué)、“善學(xué)”。

凡此種種，不一而足?！吧茖W(xué)”依賴“善教”，“善教”推動“善學(xué)”，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)也不例外，作為教師要用思想升華思想，智慧啟迪智慧，真正成為名副其實(shí)的服務(wù)于學(xué)生成長和促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的引路人。