探析磁場中的“八求”

成金德

帶電粒子在磁場中運動的問題是一類典型的力電綜合問題，它具有綜合性強、能力要求高、解題難度大等特點。要掌握解決此類問題的方法，必須先熟練把握以下具有奠基性的“八求”。

1. 求時間.

求帶電粒子在磁場中的運動時間，關鍵在于確定運動時間t與帶電粒子做勻速圓周運動的周期T間的關系。一般情況下，它們的關系為t=T，θ指t時間內(nèi)帶電粒子運動經(jīng)過的軌跡圓弧所對應的圓心角。

【例1】如圖1所示，在半徑為R的圓內(nèi)，有方向垂直紙面向里的勻強磁場，一帶電粒子以初速度v沿半徑ao方向從a點射入磁場，又從c點飛出磁場，測出∠aoc=120°，則粒子在勻強磁場中運動的時間為多大？

分析：帶電粒子在勻強磁場中僅受洛侖茲力作用而做勻速圓周運動，如圖2所示。過a、c兩點分別作速度的垂線ab和bc，則它們的交點b即為粒子做圓周運動的圓心，由幾何關系知：

∠abo=30°

粒子做圓周運動的半徑為：

r=Rcot30°=R

因為T=，而t=T。解得t=。

2. 求半徑.

半徑有軌道半徑和區(qū)域半徑之分。軌道半徑指帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的圓周半徑，而區(qū)域半徑是指某一特定圓區(qū)域的圓周半徑。求軌道半徑有二條途徑：其一，由帶電粒子受到的洛侖茲力提供向心力，即qvB=m得r=;其二，根據(jù)題設條件，利用幾何關系求軌道半徑r。求區(qū)域半徑時，可依據(jù)題設條件分析求解。

【例2】一帶電質(zhì)點，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于ox軸的速度v從y軸上的a點射入如圖3中第一象限的區(qū)域。為了使該質(zhì)點能從x軸上的b點以垂直于ox軸的速度v射出，可在適當?shù)牡胤郊右粋€垂直于xy平面、磁感應強度為B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形勻強磁場區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計。

分析：為使帶電質(zhì)點偏轉(zhuǎn)90°角，質(zhì)點在磁場中必須運動過個圓周，即從圖4中的c點運動到d點。作c、d兩點速度的垂線交于o點，o點為質(zhì)點做勻速圓周運動的圓心，即oc 等于軌道半徑r，由洛侖茲力提供向心力得：

qvB=m……①

為確保質(zhì)點能在cd段做圓周運動，則cd段所在處必須存在磁場，顯然，以cd連線的中點o′為圓心、以o′c 的長度為半徑R的磁場區(qū)域是面積最小的，所以有：

R=r……②

利用①②兩式解得：R=。

3. 求速度.

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動時，洛侖茲力提供向心力，即qvB=m，得r=，從式中看出，粒子的速度制約粒子在磁場中的運動軌跡。因此，求帶電粒子在磁場中的運動速度時，一方面要注意利用qvB=m，另一方面還須兼顧題設條件。

【例3】如圖5所示，在POQ區(qū)域內(nèi)分布有磁感應強度為B的勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，有一束負離子流沿紙面垂直于磁場邊界OQ方向從A點射入磁場，已知OA=s，∠POQ=45°，負離子的質(zhì)量為m，帶電量為-q，要使負離子不從OP邊射出，負離子進入磁場時的速度最大不超過多少？

分析：要使負離子不從OP邊射出，則離子做圓周運動的圓弧曲線不能越過OP邊界線，當負離子進入磁場的速度達到最大時，負離子做圓周運動時的圓弧曲線將恰好與直線OP相切，如圖6所示。則△OBC是直角三角形，有：OB=r

因為：OA=s，AB=r

所以：AB=OB-OA 即：r=r-s

整理后得：r==（+1）s

因為：qvB=m，解得：v==（+1）s。

4. 求偏角.

求帶電粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)角時，注意從以下二個方面入手。其一，過粒子在磁場中的始末位置作速度的垂線，交點即為粒子做圓周運動的圓心;其二，利用幾何關系求出偏角θ。

【例4】電視機的顯像管中，電子束的偏轉(zhuǎn)是用磁偏轉(zhuǎn)技術(shù)實現(xiàn)的。電子束經(jīng)過電壓為U的加速電場后，進入一圓形勻強磁場區(qū)，如圖7所示。磁場方向垂直于圓面，磁場區(qū)的中心為O，半徑為R。當不加磁場時，電子束將通過O點將打到屏幕的中心M點，若所加磁場的磁感應強度為B，求電子射出磁場時的偏轉(zhuǎn)角θ。

分析：電子在電場中做加速運動，由動能定理得：eU=mv2……①

電子在磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得：evB=m……②

過電子射入點a和射出點b作速度的垂線o′a和o′b，交點o′即是電子做圓周運動的圓心，如圖8所示。由幾何關系得：

tan=……③

解以上三式得：θ=2arc tan（BR）

5. 求路程

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動時，它在一個周期內(nèi)經(jīng)過的路程等于圓周的周長，故可用s=n×2？仔r求路程（n為運動的周期數(shù)，r為軌道半徑）。

【例5】一個電子（質(zhì)量為m，電量為e）以初速度v從x軸上某點垂直x軸進入勻強磁場區(qū)域，如圖9所示，已知x軸上方磁感應強度為B，x軸下方磁感應強度為2B。求電子在二個周期內(nèi)通過的路程是多少？電子運動二個周期通過的位移是多少？

分析：先分析電子在磁場中的運動情況，并畫出它的運動軌跡，如圖10所示。由圖可知電子在二個周期內(nèi)通過的路程為：s=2？仔r1+2？仔r2

而：qvB=m，qvB=m，

所以：s=

而電子在二個周期內(nèi)的位移大小等于始末位置間的距離，即：s位=ab=2r1=。

6. 求螺距.

當帶電粒子的速度方向與勻強磁場方向不垂直時，如圖11所示。該粒子將做螺旋線運動。它的軌跡半徑r=（v⊥指與磁場方向垂直的分速度），螺距為s=v|| T（v|| 指與磁場方向平行的分速度，T為周期）。

【例6】如圖11所示為沿水平方向的勻強磁場，磁感應強度為B，一質(zhì)量為m、帶電量為-q的粒子以初速度v沿磁感應強度B方向成θ角射入磁場，粒子的重力不計。求帶電粒子的運動周期和螺距。

分析：將v分解為沿B方向的v|| 和垂直于B方向的v⊥兩個分速度，即：

v|| =vcosθ，v⊥=vsinθ

沿B方向，帶電粒子做勻速運動;在垂直于B方向，帶電粒子做勻速圓周運動，帶電粒子的合運動即為螺旋線運動。如圖12所示。

在B方向，螺距為：s=v|| T

在垂直于B方向有：qvB=m，

而：T==，解得：s=vcosθ×=。

7. 求軌跡.

確定帶電粒子在磁場中的運動軌跡，一般用r=進行分析判斷，從式中看到，帶電粒子的軌道半徑隨v和B的變化而變化。

【例7】一帶電粒子沿垂直于磁場方向射入一勻強磁場，粒子的一段徑跡如圖13所示，徑跡上每一小段都可以看成圓弧，由于帶電粒子使沿途空氣電離，粒子的能量逐漸減小，但電量保持不變。則可判斷（? ? ?）

A. 粒子從a點向b點運動，粒子帶正電

B. 粒子從a點向b點運動，粒子帶負電

C. 粒子從b點向a點運動，粒子帶正電

D. 粒子從b點向a點運動，粒子帶負電

分析：帶電粒子在勻強磁場中運動時，有qvB=m，即粒子的軌道半徑為r=。由于帶電粒子使沿途空氣電離，粒子的動能減小，即速度變小，從r=中看出，軌道半徑將變小，可見粒子是從b點向a點運動。再運用左手定則可判定該粒子帶正電。所以正確選項為C。

8. 求范圍.

帶電粒子在有界的磁場中運動時，求解帶電粒子從什么范圍內(nèi)射出磁場或粒子將到達邊界上的哪些區(qū)域的問題，關鍵在于帶電粒子能到達的邊界位置，即兩個特殊端點，解題中要充分利用粒子做圓周運動的圓弧（或軌道半徑）與邊界約束條件之間的關系。

【例8】如圖14所示為一足夠長但寬度d=8.0×10-2 m的勻強磁場，磁感應強度B=0.33T，方向如圖14所示，在磁場邊界MN上有一放射源S，從S上可發(fā)射出沿紙面向各個方向的α粒子，初速度為v0=3.2×106 m/s。已知α粒子的的質(zhì)量m=6.6×10-27 kg，電量q=3.2×10-19 C。試求α粒子從磁場的另一邊界PQ射出的長度范圍。

分析：α粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑為：

qvB=m，

則有：r===0.20m

對所有從S射出的α粒子在磁場中的運動軌跡進行分析可知，從S射出沿邊界MN向下運動的α粒子將到達邊界PQ的最下端a處，如圖15所示，該粒子做圓周運動的圓心o1，由幾何關系得：

y1===0.16m

從S射出，到達邊界PQ時速度方向正好沿邊界向上運動的α粒子將到達邊界PQ的最上端位置b，如圖15所示。由幾何關系知：y2==0.16m，

可見，α粒子射出的長度范圍為：ab=y1+y2=0.32m。

總之，熟練掌握“八求”，認真打好基礎，以求有效解答帶電粒子在磁場中的運動問題。

責任編輯 李平安