巧設材料中，觸發學生數學思維

陳芳

【摘要】作者以《植樹問題》為例，談談在教學實踐中，教師如何創設學習材料，抓住教學的有效時機，達到材料利用效果的最大化，取得最佳的教學效果，觸發學生的數學思維。

【關鍵詞】創設；學習材料；數學思維

所謂“學習材料”是指，在新課程教育教學理念指導下，教材中創設的數學學習材料或者師生創生的數學學習材料。在課堂教學中，通過教師的有效行為，抓住教學的有效時機，呈現學習材料，以達到材料利用效果的最大化，取得最佳的教學效果，促進學生的有效發展。

“植樹問題”是人教版新課程標準教材五年級上冊“數學廣角”的內容，通過現實中常見的實際問題，借助線段圖等手段，讓學生從中發現規律，抽取出數學模型，從而解決實際問題。在這個教學過程中，教師提供的學習材料，直接影響著學生思維發展的方向和程度。

下面就以“是植樹問題”為例，談談在教學實踐中，教師如何創設學習材料，抓住教學的有效時機，達到材料利用效果的最大化，取得最佳的教學效果，觸發學生的數學思維。

一、引發思維沖突，滲透化歸思想

數學思想的滲透應該建立在學生原有思維框架的基礎上，利用新舊知識思維方式的差異，巧妙制造思維沖突，有助于激發學生積極探究的欲望。“植樹問題”引入環節，教師提供的信息材料有以下三種。

【材料1-1】24米小路一邊植樹，一共要植多少棵樹？

出示材料后，教師問還要考慮什么，補充“每隔6米種一棵”和三種不同的植樹方案。

【材料2-1】一條馬路長1000米，每隔5米種一棵（兩端要栽），一共要植多少棵樹？

學生猜測結論（201、200），產生爭論。

【材料3-1】一條馬路長1000米，每隔5米種一棵，一共要植多少棵樹？

學生猜測結論（201、200、199），產生爭論。

根據教師提供的不同材料，學生的思維都不約而同地想到用“平均分”的舊知來解決問題。這個大的思維方向基本是一致的，但仔細看，筆者發現三種材料對學生思維的發展還是存在差異的。

材料1-1，教師縮小了例題的數據（100米），直接從24米引入，便于學生分析問題，用平均分解決問題。同時，不規定植樹的三種情況，也給學生創造了思維自由發展的空間，產生不同的結論，引發爭論。材料2-1和材料3-1從1000米引入，讓學生猜測結論的同時，自然引入了要把數據改小進行研究。

這個階段材料的設計，筆者認為體現以下三點比較合適。一是能讓學生借助舊知“平均分”來解決問題。二是能制造思維沖突。不規定具體植樹情況，就會讓學生在利用舊知解決問題的時，引發爭論，打開學生整堂課學習的求知欲和學習興趣，提高課堂效率。三是能自然滲透化規思想。把數據合理擴大，學生帶來的猜測就更加自然，為了方便研究，想到“把數據縮小”進行研究。如果從數據直接縮小開始探究，不利學生自由思考、滲透化繁為簡的數學化歸思想。

二、感知有序思維，體驗對應思想

培養學生有序思維，教師必須在課堂中注重滲透。教師在教學過程中要用好學生的材料，引導學生有序地看、有序地想、有序地說、有序地做，才能讓學生方法對頭，思路清晰，體驗到一一對應思想，把數學知識轉化為受益終身的數學思想方法。“植樹問題”探究一環節，教師可讓學生自主表征題意，組織有序反饋，并讓學生體驗一一對應的數學思想。

【材料1-2】用一條線段表示24米，請學生自主表征。然后，教師選取3種不同情況的表征材料進行反饋，并在黑板上示范貼出3種情況，用箭頭標注出“棵數和間隔數”，最后，讓學生尋找3種表征的相同點。

【材料2-2】由材料2-1改小數據，用一條線段表示20米，學生自主表征兩端都栽這1種情況。教師選取一個表征材料進行反饋，并在黑板上示范貼出1種情況，用箭頭標注出“棵數和間隔數”。

【材料3-2】由材料3-1改小數據，用一條線段表示20米，學生自主表征。教師選擇3種不同情況的表征材料進行反饋后，顯示表格讓學生討論。

怎么栽 相同之處 不同之處

兩端都栽

只栽一端

兩端都不栽

教師選取學生表征的不同材料，展開第一次探究活動，學生都能畫出類似的線段圖，并從圖中得到結果。教師利用學生表征材料，從“兩端都栽→只栽一端→兩端都不栽”逐層有序反饋，學生在有序地看、有序地想、有序地說的同時，初步體驗一一對應的數學思想，為后面的實踐活動做好鋪墊。

通過比較，筆者發現三種材料對學生思維發展還是有聯系又有差異的。材料1-2和材料3-2都讓學生在觀察表征后，說一說三種情況的相同之處，對學生思維的發展有較強的幫助，利于后面植樹問題規律的得出。材料2-2是從“兩端都栽”這一種情況示范讓學生體驗，是一種設計思路，但是教師牽著走的痕跡比較明顯，有部分學生的思維受到了暫時性遏止。

這階段材料的選擇，筆者認為能體現以下三點比較合適。一是要讓學生用畫圖策略創生學習材料，經歷解決問題的過程。二是教師要合理選擇學生的表征材料，并有序組織學生交流，給學生思維多元表達的機會。三是要借助表征材料讓學生初步體驗一一對應的思想，把間隔數和栽樹棵數一一對應起來，滲透對應的數學思想。

三、觸發推理思維，感悟數形結合

推理是數學學習最基本的思維方式之一，有了對植樹問題規律的初步感知，就需要觸發學生的推理思維，充分感悟數學結合的數學思想，建立植樹問題的數學模型。“植樹問題”第二個探究環節，教師創設的學習材料，關乎能否更好地觸發學生的推理思維，取得教學的最大效果。

【材料1-3】

（1）我想每隔（ ）米種一棵，我先把線段平均分成（ ）段。

（2）畫出三種設計方案

兩端都種只種一端兩端都不種

用同樣的方法研究另兩種情況。

教師創設的這三個材料都引導學生運用推理思維解決問題，并尋找植樹問題的規律，建立數學模型。但教師創設學習材料的差異，決定著學生在構建模型的過程中，是相互混淆的，還是突出本質的？是被動接受的，還是主動建構的？是單獨割裂的，還是融會貫通的？

材料1-3，教師提供的表格把三種情況都事先預設好，每位學生通過畫圖進行探究。但每位學生只研究了一種長度（24米）的一種間隔數的情況，學生實踐的材料還不夠豐富。隨后，教師把學生的數據填入匯總表，讓學生觀察表格，發現規律。雖然上面有畫圖的步驟，但是匯總到表格后去發現規律時，還是數形分離的，而且，三種情況交雜在一起，容易混淆。

材料2-3，教師提供表格先研究兩端要栽這一種情況，得出“棵數=間隔數+1”。雖然，一種情況的探究過程比較清楚，但是后面仍舊單獨介紹“只栽一端”和“兩端都不栽”情況，此過程，過于分裂，知識斷開，使課堂顯得一問一答式，缺少融合，學生被動接受規律。

材料3-3，教師在表格材料前，加入了提示語“間隔數與棵數之間有什么關系？借助圖自己研究（數一數也可以，圈一圈也可以）”，既讓學生有明確的研究目標，又為學生提供了研究的策略（數一數、圈一圈），使學生的學習有力可借。更為巧妙的是，在提供表格材料的第一行，有線段圖加以支撐，非常巧妙，既給學生學習輔以臺階，在總長20米栽樹時可以直接數一數，又讓學生繼續研究總長25米、30米、35米時，可以繼續沿著原有線段圖畫一畫。在畫的同時，還可以進一步強化“一個間隔數、一棵數”的一一對應關系體驗，還可以得出“間隔數+1=棵數”這一規律。隨后，教師讓學生用同樣的方法研究另外兩種情況，得出“一端不栽：間隔數=棵數”“兩端都不栽：間隔數-1=棵數”的規律。

教師巧妙創設的材料3-3，承載著多維設計意圖，一是讓學生自主完成表格，二是給學生輔以圖的支撐，三是在學生繼續畫圖時強化對應思想，四是便于學生推理，找到規律，把數與形完美結合在一起。材料3-3，把三種植樹情況融會貫通，主次分明，既突出了知識的本質，又讓學生于無痕中自主獲取新知，真正觸發學生的數學思維。

在教學實踐中，教師對學習材料的運用異同，直接影響課堂教學效果。因此，在教學實踐中，教師對課堂教學中學習材料的創設非常重要，創設得好，能觸發學生的數學思維，取得最佳的教學效果。反之，則無法達到有效或者高效的課堂效率。讓我們不斷地去探索、研究有效學習材料的創設，讓學生不僅在課堂中獲得知識，更能促進學生思維的可持續發展。