多面體系統定結構H2/H∞控制器優化設計

王 飚,郭雅麗

(長安大學電子與控制工程學院，陜西 西安 710064)

0 引言

由于環境的復雜性，構建的模型一般為非線性系統，通常需要將非線性模型轉化為線性模型再進行研究。但是這種方法精確度低下，難以滿足人們的需求。魯棒控制應運而生,并且在多個領域應用廣泛。H2設計可使系統性能更優良,H∞設計對系統的不確定性有更好的魯棒性，混合H2/H∞能夠很好地將優良的性能與魯棒性結合起來。但是該方法存在設計過程較復雜、階數高的缺點，很難在工業現場得到廣泛應用[1]。近年來,低階、定階以及定結構系統以其成本低、易實現等優點，重新受到了人們的重視。固定結構控制器設計在理論和實踐中都是一個具有挑戰性的問題。其中，非凸秩約束和雙線性矩陣不等式(bilinear matrix inequalities,BMI)在計算上難以實現。一些研究者嘗試解決這些非凸和BMI問題，以找到一個局部最優控制器，因而提出了幾種降階的迭代方法來設計控制器[2-3]。多面體表示是描述物理系統參數缺乏的一般方法。這種不確定性包括區間參數不確定性[4]、橢球參數不確定性[5]以及多模型系統不確定性。對于多面體系統，固定結構控制器的設計更加復雜。本文結合極點配置，提出了一種基于線性矩陣不等式(linear matrix inequalities，LMI)的定結構H2/H∞[6]控制器設計方法。

1 魯棒控制及LMI介紹

考慮以下狀態空間方程描述的線性時變不確定系統[7]：

(1)

式中：x為狀態變量；w為外源性輸入；y為輸出；δ[·]為連續時間系統的導數算子和離散時間系統的前向算子；(A,B,C,D)(α)為凸有界(多面體)不確定的域φ。

(2)

式中：任何不確定矩陣(A,B,C,D)(α)，可根據參數變量α表示為多面體頂點(Ai,Bi,Ci,Di)的凸集合。

1.1 H2和H∞范數

1.1.1 H∞范數

標準H∞控制[8-10]結構如圖1所示。

圖1 標準H∞控制結構圖

H∞控制的目的就是設計反饋控制器K,使得閉環系統穩定,并確保從擾動輸人w到被控輸出z之間的閉環傳遞函數Tzw的H∞范數極小或小于某一正實數γ,即:

‖Tzw(s)‖∞=Supσmax[Tzw(jw)]<γ

(3)

H∞范數是系統頻率響應的最大奇異值的峰值,它反映的是系統保持穩定狀態下所能承受的最大擾動度量,主要考慮系統的魯棒穩定性,對系統的動態性能則沒有要求。

1.1.2 H2范數

H2控制[11-12]的目的就是設計狀態反饋控制器K使得閉環系統穩定,而且從擾動輸人w到被控輸出z之間的閉環傳遞函數Tzw的H2范數極小或小于某一正數γ,即:

(4)

系統的H2范數具有明確的物理意義,它的平方等于系統脈沖響應總的輸出能量,也等于系統在白噪聲輸入時系統穩態輸出方差。其既反映了系統的動態性能,又是控制系統的一個重要性能指標。

1.1.3 H2/H∞混合控制

在實際問題的處理中,對控制指標的要求是多方面的,既要求在有擾動的情況下系統能夠保持穩定(即擾動到被控輸出的閉環傳遞函數的H∞范數小于某一-γ0),又要求從擾動到被控輸出的閉環傳遞函數的H2范數盡可能小，以提高系統的動態性能。H2/H∞混合標準控制系統如圖2所示。

圖2 H2/H∞混合標準控制系統框圖

圖2所示的H2/H∞混合標準控制系統中：w為外部輸入(如參考信號,干擾噪聲等),z∞與z2分別表示與H∞指標、H2指標相關的輸出信號，u為控制輸入信號，y為測量輸出信號，G為廣義被控信號,K為控制器。

H2/H∞混合控制問題是針對廣義的被控對象來設計動態反饋控制器，必須滿足以下設計標準。

①圖2所示閉環系統內穩定。

②閉環傳遞函數陣Tz∞w(s)滿足‖Tzw(s)‖∞<γ。

③閉環傳遞函數Tz2w(s)滿足min‖Tzw(s)‖2。

這樣的控制器K稱為H2/H∞混合的最優控制器。

1.2 不確定性系統魯棒控制器的設計

考慮下面離散線性時不變單輸入單輸出系統傳遞函數：

(5)

式中：參數變量θ為有著q個頂點的多面體；co{θ1,θ2,θ3,θ4)為一組凸包。

設計一個標準的負反饋結構控制系統，其核心是設計一個定結構控制器：

(6)

該定結構控制器需滿足以下要求。

①閉環系統是內在穩定的。

②閉環系統實現了范數小于常數γ。

利用LMI對定結構魯棒控制器性能進行評估，并且引入Schur穩定多項式來構建傳遞函數矩陣：

E(z)=enzn+en-1zn-1+…+e1z+e0

(7)

(8)

式中：Ψ為多項式，依賴于參數變量θ；A、B、C、D為常數矩陣。

1.3 關于線性矩陣不等式的結論

在魯棒控制中，解決不確定問題常常轉化為線性矩陣不等式系統的可行性問題，或帶有線性矩陣不等式約束的凸優化問題。以下是定結構控制器的設計所需要的一些引理。

無論是林毅夫教授還是我們在課上探討的結論，都可以看出我們并沒有對理論盲目的尊崇，也沒有認為理論是絕對正確的，而是將理論一分為二的看待，有時候理論與經驗是相輔相成的，有時候理論與經驗是背離的。從這點我們可以看出，經濟學與教育學對于理論與經驗問題的看法是一致的，教育學并不是孤立存在的，它與其他學科是有互通的。

Con1(Hi,Pi,E)<0

(9)

Con1(Hi,Pi,E)>0

(10)

(11)

(12)

2 實例分析

2.1 標準系統的控制器的設計

以下系統有三個不穩定極點:

(13)

為此，系統設計一個定結構穩定控制器，并且這個控制器的加權閉環傳遞函數的范數要小于最小上限。

(14)

(15)

2.1.1 全階控制器的設計

在解決定階控制器的設計之前，要闡述一下本文提出方法的優點，那就是范數邊界單調遞減到一個定值。

(16)

設計了一個與K1(z)有著相同結構(5階)的控制器。一般而言，選擇的中心多項式要包含權函數的分母。選擇中心多項式E(z)=Wd(z)(z-0.5)8,零點在z=0.5。

加權傳遞函數H(z)與中心多項式范數的更新如圖3所示。

圖3 加權傳遞函數H(z)與中心多項式范數的更新

圖3表明，這個方法可快速收斂到相同的范數邊界7.453 8。

現在考慮一個5階控制器的設計：

(17)

式中：K2的范數為2.014 6，比K1小得多。

2.1.2 低階控制器的設計

以上所設計的設計器K1(z)有兩個不穩定的極點，所以傳統的方法不能減少控制器的階數，使其小于兩階。現在設計一個一階控制器，使中心多項式5次迭代更新后得到下界γ=2.243 1：

(18)

為了顯示中心多項式對結果的影響，考慮中心多項式E(z)=Wd(z)(z-a)4。a分別取0.1、0.2、0.3、0.4、0.5。不同中心多項式對范數的影響如圖4所示。對于不同的多項式，有一階控制器的加權閉環傳遞函數的范數邊界的單調遞減。

圖4 不同中心多項式對范數的影響

2.2 多面體系統的控制器的設計

考慮一個被多面體不確定性影響的3階系統：

(19)

式中:θ0=-0.2;θ1=-1.2;θ2=0;θ3=-0.1。

假設所有的參數相較標準系統不確定性達到±12%，所以參數的不確定性可以用一個16個點的多面體(超立方體)形式體現。

為此，系統設計一個二階控制器，包括一個積分器和能得到最小范數邊界γ的傳遞函數。

(20)

首先，對于所有的點，都考慮一個普遍的中心多項式E(z)=Wd(z)(z-0.5)5，并且使用引理1中的條件生成一個有著上界γ=1.297 32的二階穩定控制器。

然后，使用引理2，解決下列的優化問題：LMI條件滿足則存在最小的γ。這樣就得到了一個魯棒控制器。將其作為穩定控制器，然后經過一系列迭代后得到下列的控制器：

(21)

對于這個控制器，范數的上界γ=0.552 72。這樣，經過一系列的迭代改善了魯棒控制器的性能，使得范數上界單調遞減。

2.3 試驗結果分析

采用HIFOO評估所設計的控制器。HIFOO是為定階控制系統設計的一個MATLAB工具包，用于設計不確定系統定階控制器。使用程序語言定義變量并描述各個線性矩陣不等式,寫出優化條件min‖Tzw(s)‖2,利用mincx函數求解線性矩陣不等式組,得出相應結果。

取γ=0.55272來驗證1.1.3節中提出的系統的各項性能指標。此時，對應的H2范數為0.256 3，系統的閉環極點都在左半平面，所以閉環系統穩定，滿足第一個條件。從‖H∞‖<γ可以看出，其仍然滿足二個條件。當γ=0.552 72時，H2范數為0.256 3，顯然小于H2范數的上界,滿足第三個條件。

因此,本方法設計的控制器滿足H2/H∞混合控制的各項指標。從系統的極點分布來看,系統有一個負實主導極點。它使得控制系統處于過阻尼狀態,系統對擾動的響應速度相對緩慢,這也使得系統本身具有較好的魯棒性。此例中，本文的控制器效果更好，而且更重要的是，它保證了整個多面體的性能不僅僅是點，即本文控制器適用于系統的所有狀態，而非某一狀態。

3 結束語

本文采用線性矩陣不等式方法，提出了多面體系統定結構控制器的優化設計方法。該方法基于定結構非凸集的內凸逼近，給出了魯棒控制器的設計。試驗結果表明，通過多次迭代結果會收斂于次優解，并且范數上界會出現單調遞減。通過標準系統全階低階控制器和不確定系統定階控制器的實例分析以及試驗仿真，驗證了此方法的可行性。該方法設計的魯棒控制器增益小、動態性能好、魯棒性強,滿足混合控制器的性能指標。