非線性熱學：非線性光學在熱學領域的延伸

黃吉平

（復旦大學物理學系，上海200433）1

熱學，該是物理學家心中永遠的“痛”，因為熱學作為一門學科登上歷史的舞臺與物理學家基本沒啥關系，只是卡諾等工程師們（并非物理學家?。┡Φ慕Y果。今天，在物理學界，熱學隸屬于“一級學科”物理學中的“二級學科”理論物理中的統計物理，這是因為熱學研究的是宏觀熱現象，而統計物理則從微觀上給出這些宏觀現象的統計解釋。

如何調控熱能，是當今熱學（或傳熱學——工程領域的同行們喜歡用這個名字）領域關注的主要課題。

隨著能源危機的到來，如何充分利用能源變得越來越重要。熱能，作為所有高品質能源（如煤炭、石油、天然氣，等等）的最終歸屬，對其高效的利用也因此顯得格外重要。

在熱能輸運過程中，材料的熱導率起關鍵作用，所以有效地調控材料的熱導率對熱能輸運過程的控制至關重要。當前，熱超構材料(thermal metamaterial)（一種人工結構材料）正成為一種有效控制熱輸運的新方法。基于熱超構材料的設計，人們實現了夢寐以求的熱隱身衣[1-5]、熱聚集器[6-8]等一系列新奇的熱現象或功能器件。

以上熱超構材料的研究都是針對線性材料設計的，也就是說，材料的熱導率本身沒有熱響應，它不隨溫度變化而變化。2015年，LI等在研究熱超構材料時，引入了熱導率對溫度的依賴關系，從而發展了變換熱學理論（熱導率不依賴于溫度），建立了非線性變換熱學理論，繼而推動了基于熱超構材料的非線性熱學研究[9]。

所謂非線性熱學，它關注的材料熱導率已經不再是一個獨立于溫度的常數，而是對溫度有特定響應的物理量?；谶@種響應，研究者設計了能夠對環境溫度有智能響應的開關熱隱身衣[9]，并制備了宏觀熱二極管[9]。這項工作被《物理評論快報》（Physical Review Letters）選為封面文章，受到了廣泛關注。

具有智能響應的開關熱隱身衣如圖1所示，其工作原理如下：當裝置處于溫度較高的情況下，隱身衣材料的熱導率處于“隱身功能開啟”的狀態，所以隱身衣以外的溫度分布不會受到任何影響；但是，當裝置處于溫度較低的情況下，隱身衣材料的熱導率處于“隱身功能關閉”的狀態，這樣一來，由于隱身衣內部存在熱導率與背景不一致的物體，背景中的溫度分布毫無疑問地被扭曲了。

宏觀熱二極管器件的設計是受開關熱隱身衣的啟發，如圖2所示：當整個裝置左端為冷源、右端為熱源時，圖2(a)中的二極管處于關閉狀態，此時熱流不能從熱源流向冷源；但是，當左端為熱源、右端為冷源時，圖2(b)中的二極管則處于導通狀態，此時，整個體系中熱流非常大。如此，就達到了宏觀熱二極管的效果。

圖1 具有智能響應的開關熱隱身衣[9]。(a,c)隱身功能開啟，(b,d)隱身功能關閉，(a,b)基于解析理論的模擬結果，(c,d)基于有效媒質理論的模擬結果

圖2 宏觀熱二極管[9]。(a)關閉狀態的實驗樣品示意圖，(b)導通狀態的實驗樣品示意圖，(c)關閉狀態實驗測量結果，(d)導通狀態實驗測量結果

非線性熱學給我們展示有趣的物理現象的同時，也給研究者們帶來了一個很大的難題：如何在自然界中找到相應的熱學非線性材料？雖然自然界中的熱學非線性材料確實存在（例如，固體冰的熱導率大約是液體水的熱導率的4倍，盡管它們都是同一種材料H2O），但它們對溫度的響應往往不是太過微弱就是響應范圍太極端（需要極低溫或極高溫），以至于很難實現理論預言的熱現象。幸運的是，在上述工作中，研究者找到了兩種形狀記憶合金作為非線性材料。他們利用形狀記憶合金隨溫度發生形變的特性：一種合金是低溫變平高溫變彎，另一種合金是高溫變平低溫變彎，從而通過形狀隨溫度的變化間接地對熱導率產生影響，成功構造了熱導率隨溫度的變化符合理論要求的非線性熱學材料。類似的設計亦很好地被應用于制備環境溫差中的零能耗保溫器件[10]，該器件的零能耗保溫效果的實現同樣得益于人工設計的熱導率對溫度的特定依賴關系材料。

基于熱超構材料的非線性熱學的發展，期望能夠為當代熱學研究提供一些不同的思路，并期望能夠設計出功能新穎的熱超構材料，例如，最近發現熱超構表面（即結構化熱表面）也能夠呈現非線性增強和諧波產生[11]——這一切都源于實際世界中熱導率本身對溫度的依賴。

也許，人們應該像重視“非線性光學”那樣重視“非線性熱學”，因為非線性光學中一切理論的出發點都源于介質的介電常數（或極化率）對光波（或電磁波）的電場強度有依賴關系，其正可類比于非線性熱學中的熱導率與溫度有依賴關系。然而，從數學上來看，非線性光學中的電場強度與非線性熱學中的溫度梯度作用相同，而現在非線性熱學中的熱導率卻是與溫度而非溫度梯度有依賴關系，這個類比預示著把非線性光學中已經成熟的研究思路拓展到非線性熱學中來，不僅操作方便，而且成效可能顯著——因為有新物理等待人們挖掘。

當然，為什么這里隱藏的新物理值得期待，還有一個重要的原因，它就是非線性光學中介電常數對電場強度的冪律依賴，其冪指數是整數，而非線性熱學中熱導率對溫度的依賴，若也用冪律關系來擬合的話，人們會發現，這里的冪指數可以是整數，也可以是分數，甚至是負數。

此外，還值得點明的是，介電常數有虛部，其對應于耗散，這些耗散能通常都是熱能！而熱導率的已有研究中尚未引入虛部，因為目前來看，“引入虛部”尚缺乏明確的物理意義，至于未來可有轉機，現在還不是下結論的時候。這里的評價有點模棱兩可，這主要是因為文獻中對熱波(thermal wave)的研究正在如火如荼地進行之中，理論雖有進展，但尚有不少爭議，而相對理論來說，實驗進展更顯不足。

最后值得一提的是，介電常數不僅可以取正值，而且可以取負值，例如光頻波段下金屬的介電常數的實部通常為負值。但是，對于熱導率而言，任何時候，它都必須取正值，這是因為熱量只會自發地從高溫流向低溫，否則，就違反熱力學第二定律了。其實，從等效意義上來看，熱導率也是可以取負值的[12-14]，只要熱量能夠在外界做功的情況下，從低溫流向高溫，此舉并不違反熱力學第二定律，例如冰箱就是這樣的，在外界提供電能的情況下，冰箱內部的熱量被“驅趕”到冰箱外，換言之，這時冰箱就可以被視為一種具有等效負熱導率的人工設備。

非線性熱學是一個值得關注的、值得大力發展的新領域！

致謝：本文在撰寫過程中得到本組研究生須留鈞同學的協助。