一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體帶隙特性分析

蔡培君，廖同慶，方鳴

（1.安徽大學江淮學院理工部，安徽合肥230039；2.安徽大學電子信息工程學院，安徽合肥230601）

光子晶體是由不同折射率材料呈周期性排列構(gòu)成的規(guī)則光學結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)能夠阻斷特定頻率的光子，影響光子的運動，使得光子晶體具有帶隙特性[1-3]。根據(jù)組成光子晶體材料的空間結(jié)構(gòu)特點，可以將光子晶體分為一維光子晶體、二維光子晶體和三維光子晶體。由于一維光子晶體制備方法簡單，從而受到學者的廣泛關(guān)注，成為近幾年研究的熱點。

目前，人們對一維光子晶體的研究主要集中于研究一維兩組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的帶隙特性，而對一維四組元周期性結(jié)構(gòu)和一維多組元周期性結(jié)構(gòu)的光子晶體帶隙特性研究較少。一維四組元周期性結(jié)構(gòu)與一維兩組元周期性結(jié)構(gòu)相比，由于在單個周期單元內(nèi)的材料層數(shù)的增加，必然在一個周期內(nèi)產(chǎn)生多個帶隙，進而為多波長濾波器提供了一個很好的技術(shù)支撐，并且一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的制備過程比二維和三維光子晶體的制備過程簡單很多。因此一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體成為光子晶體研究的熱點之一：2005年，周金茍等計算了厚度調(diào)制的一維雙周期光子晶體的能帶[4]；2011年，謝東華借助傳輸矩陣法研究一維雙周期光子晶體的光傳輸特性[5]；2016年，唐秀福等研究周期數(shù)對雙周期對稱結(jié)構(gòu)一維光子晶體透射譜的影響[6]；2017年，俄羅斯的娜塔莉亞等研究了多層氧化物構(gòu)成的一維雙周期光子晶體的透射譜[7]，以色列的約納坦等研究了非周期多層結(jié)構(gòu)中的周期特性[8]；同年，本課題組討論了一維光子晶體態(tài)密度的特性，研究了近似局域最大值與周期數(shù)、薄膜材料折射率之間的對應(yīng)關(guān)系，并預(yù)測了一維多組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體態(tài)密度特性[9]。

本文通過探究一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的禁帶結(jié)構(gòu)的物理機理，進一步闡述一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體在一個禁帶周期內(nèi)光子禁帶數(shù)增加的原因，并研究一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的帶隙寬度。

1 一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的結(jié)構(gòu)及其傳輸矩陣

具有相同光學厚度的4種不同材料沿軸向交替生長形成的一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體結(jié)構(gòu)，如圖1所示，其中A、B、C、D為組成光子晶體的4種不同材料，其折射率分別為n1、n2、n3和n4，其物理厚度分別為a1、a2、a3和a4，N為一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的周期數(shù)。

圖1 一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體結(jié)構(gòu)示意圖

當光波垂直入射(入射角θ=0°)到光子晶體左側(cè)材料時，單層材料的傳輸矩陣為[10-11]

其中，ηj=(ε/μ)1/2cos θ,δj=2πnjajcos θ/λ，θ為光波的折射角，aj為第j層薄膜的厚度，λ為入射光波長。

四層材料的傳輸矩陣分別M1、M2、M3和M4，則單個周期的一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的傳輸矩陣為

進而，可以得到N個周期單元的一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的傳輸矩陣為

由（3）式可計算得到其透射率和反射率分別為

根據(jù)上述公式，利用傳輸矩陣法繪制一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的透射和反射曲線，進而研究其光子帶隙特性，具體如下。

2 一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的帶隙特性

2.1 一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的禁帶

選取構(gòu)成一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的4種材料和構(gòu)成一維兩組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的兩種材料如表1所示。

表1 一維光子晶體材料的折射率

設(shè)一維兩組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的中心波長為λ0=1 550 nm，周期數(shù)為40。與一維兩組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體類比，本文設(shè)定一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的中間帶隙的中心波長為λ0=1 550 nm，周期數(shù)為20。

由(1)式知，可以通過調(diào)節(jié)一維光子晶體的光學厚度來實現(xiàn)對禁帶寬度的調(diào)制，且當兩層光子晶體的光學厚度都等于λ0/4時，此時禁帶寬度達到最大[12]。因而，本文設(shè)定各材料厚度均滿足：

入射光垂直入射時，得到透射率T隨入射光歸一化波長λ/λ0的變化曲線如圖2所示，為計算和繪制透射率曲線方便，本文中光子晶體透射率曲線圖的橫坐標均取歸一化波長λ/λ0的倒數(shù)，即λ0/λ。

其中：data1表示N=20的一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的透射率曲線，data2表示N=40的一維兩組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的透射率曲線。

圖2 一維四組元周期性結(jié)構(gòu)和一維兩組元周期性結(jié)構(gòu)透射率曲線

由圖2可知，一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體在λ=2λ0、λ=λ0和λ=2λ0/3的位置附近透射率為0，即出現(xiàn)禁帶。與一維兩組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體相比，一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體在同一周期內(nèi)的禁帶增多，且禁帶的寬度變窄。

2.2 一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體禁帶形成機理的研究

對于一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體，當光波垂直入射時，布拉格散射相位差公式為[9]

光波在一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體內(nèi)部傳播時，經(jīng)過n1→n2、n2→n3、n3→n4和n4→n1這4種薄膜分界面。當薄膜厚度滿足λ0/4時，由(7)式可知，光波在如圖1所示的一個周期內(nèi)來回傳輸共產(chǎn)生的相位為2π(n1a1+n2a2+n3a3+n4a4)/λ，當該相位等于2mπ時（m為自然數(shù)），在如圖1所示的入射面上出現(xiàn)相長干涉，即禁帶。由此可以計算出禁帶出現(xiàn)的位置。當m=1、2、3時，可得λ=2λ0、λ=λ0、λ=2λ0/3。當m繼續(xù)再增大時，一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的帶隙周期性重復(fù)，不再贅述。

2.3 一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體禁帶寬度的研究

對于一維兩組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體，當?shù)?層材料的光學厚度為D1，第2層材料的光學厚度為D2，且當D1、D2滿足關(guān)系(D1+D2)=λ0/2時，禁帶寬度達到最大[13]。

對于如表1所示的一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體，其4層材料的光學厚度為D1、D2、D3、D4，且分別滿足：

滿足上述公式的光子晶體的帶隙如圖3所示。

其中：data1表示折射率為na1=1.25，nb1=1.38，na2=1.77，nb2=2.38的四種材料構(gòu)成的一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的透射率曲線；data2表示折射率為na=1.77，nb=2.38的兩種材料構(gòu)成的一維兩組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的透射率曲線；data3表示折射率為na=1.38，nb=1.77的兩種材料構(gòu)成的一維兩組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的透射率曲線；data4表示折射率為na=1.25，nb=1.38的兩種材料構(gòu)成的一維兩組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的透射率曲線。

圖3 一維兩組元和一維四組元周期性結(jié)構(gòu)的透射率曲線

由(8)式可知，一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的禁帶寬度是4層材料共同作用決定，在特定頻段達到相位匹配，前向傳輸?shù)墓獾哪芰咳狂詈系椒瓷涔?。因而，圖3中所示的一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子的禁帶寬度由4層材料各相鄰層的折射率差共同確定，具體禁帶寬度表現(xiàn)為兩兩相鄰的材料所構(gòu)成的三組一維兩組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體在λ=λ0處的禁帶寬度的均值，但帶隙特性更加完美。

2.3.1 相對折射率比對禁帶寬度的影響

取3組折射率比不同的材料構(gòu)成一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體，3組材料如表2所示，周期數(shù)取N=20。設(shè)定中間帶隙的中心波長為1 550 nm，光波垂直入射時，其透射率曲線如圖4所示。由圖4可知，一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的禁帶寬度隨材料相對折射率比增大而增大，但禁帶的個數(shù)和中心位置不變。

表2 一維光子晶體的組成材料

圖4 不同折射率比的一維四組元周期性結(jié)構(gòu)透射率曲線

2.3.2 周期數(shù)對禁帶寬度的影響

選取表2中第2組材料構(gòu)成一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體，設(shè)定中間帶隙的中心波長λ0=1 550nm，光波垂直入射時，周期數(shù)為5、10、15和20的一維四元周期結(jié)構(gòu)光子晶體的透射率曲線，如圖5所示。

其中：data1表示周期數(shù)為5的一維四元周期結(jié)構(gòu)光子晶體的透射率曲線，data2表示周期數(shù)為10的一維四元周期結(jié)構(gòu)光子晶體的透射率曲線，data3表示周期數(shù)為15的一維四元周期結(jié)構(gòu)光子晶體的透射率曲線，data4表示周期數(shù)為20的一維四元周期結(jié)構(gòu)光子晶體的透射率曲線。

由圖5可知，隨著周期數(shù)的增加，帶隙特性更加明顯，但禁帶寬度并未發(fā)生明顯變化。當N=20時，即可得到較為完美的光子禁帶。因而，需要合理選擇一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的周期數(shù)，以期用最少的周期滿足實際的工程需求。

圖5 一維四組元周期結(jié)構(gòu)在不同周期下的透射率曲線

3 結(jié)論

本文從一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的結(jié)構(gòu)出發(fā)，基于傳輸矩陣法研究了其光子帶隙特性，闡述了一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體在一個禁帶周期內(nèi)光子禁帶數(shù)增加的原因。進而，深入研究了不同折射率比、不同周期數(shù)對一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體帶隙的影響。與一維兩組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的禁帶寬度相比，一維四組元周期性結(jié)構(gòu)光子晶體的禁帶寬度由4層材料各相鄰層的折射率差共同確定，具體寬度表現(xiàn)各禁帶的均值，但帶隙特性更加完美。上述研究為基于一維光子晶體的多波長帶通濾波器提供了技術(shù)支撐，可以通過合理設(shè)置一個單元內(nèi)的元組數(shù)、組成材料的折射率比、一維光子晶體的周期數(shù)等，設(shè)計出基于一維光子晶體的滿足密集波分復(fù)用系統(tǒng)的多波長帶通濾波器。今后將具體研究基于一維光子晶體的多波長帶通濾波器的設(shè)計方案。