二維正方晶格函數(shù)光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)研究

李 宏，張斯淇*

(1.吉林工程技術(shù)師范學院量子信息技術(shù)交叉學科研究院，吉林長春130052；2.吉林省量子信息技術(shù)工程實驗室，吉林長春130052)

光子晶體[1-2]是一種人工周期性結(jié)構(gòu)電磁材料，有光子禁帶、光子局域和負折射率等特性。光子晶體這些特性在材料科學、光子集成、凝聚態(tài)物理及信息技術(shù)等領域具有廣泛的應用前景。在光子集成領域里，利用其帶隙特性的各種光發(fā)射器件[3-5]、分束器、耦合器、波導、濾波器、光開關(guān)等逐漸從研究轉(zhuǎn)向應用，其性能也在不斷超越。通常光子帶隙寬度影響光子晶體器件的性能，故在理論上研究如何設計出具有更寬帶隙的光子晶體對光學器件的設計具有重要意義。光子晶體一直是國內(nèi)外研究者們重點的關(guān)注對象，對光子晶體相關(guān)的研究[6-13]趨勢呈迅猛增長，于1999年被《科學》雜志評為十大重要進展領域之一。

文獻[14]提出了二維函數(shù)三角晶格光子晶體，其介質(zhì)柱的折射率是空間坐標函數(shù)，不像二維常規(guī)光子晶體那樣是定值。二維函數(shù)光子晶體可利用光強的分布來改變帶隙結(jié)構(gòu)，它是基于Kerr效應或電光效應來制備的，它的帶隙結(jié)構(gòu)可調(diào)性靈活。本文在此基礎上，研究函數(shù)系數(shù)k對二維正方晶格函數(shù)光子晶體TE波和TM波帶結(jié)構(gòu)的影響。

1 二維函數(shù)光子晶體介電常數(shù)Fourier變換

文獻[14]給出的二維函數(shù)光子晶體介電常數(shù)Fourier變換表達式為

其中ε(r)為與位置有關(guān)的介電常數(shù)，f為填充比，ra為介質(zhì)柱半徑。當εa(r)=εa時，εa為常數(shù)，則

可見，二維函數(shù)光子晶體介電常數(shù)的Fourier變換(1)式在特定的條件下，可變換成二維常規(guī)光子晶體的Fourier變換(2)式。

二維光子晶體TM波和TE波的特征方程為

2 數(shù)值模擬分析

下面研究二維正方晶格常規(guī)光子晶體和函數(shù)光子晶體的帶結(jié)構(gòu)。介質(zhì)柱位于空氣背景(介電常數(shù)εb=1)中，如圖1(a)所示。二維正方晶格常規(guī)光子晶體的結(jié)構(gòu)參數(shù)：介質(zhì)柱材料的介電常數(shù)εa=8.9，介質(zhì)柱半徑ra=0.2a，晶格常數(shù)a=10-6m。利用平面波展開法，由(2)～(4)式計算二維正方晶格常規(guī)光子晶體TE波和TM波帶結(jié)構(gòu)圖，如圖2(a)和2(b)所示，圖中縱坐標為歸一化頻率ωa/2πc，橫坐標為波矢。在頻率范圍0～0.8（單位a/2π c）內(nèi)，TE波帶隙圖中出現(xiàn)了1條光子禁帶，位于歸一化頻率0.336～0.456，帶隙寬度Δω=0.12。當光波頻率處于此頻段時，光波將無法通過光子晶體，而在其他波段可以通過，從而實現(xiàn)了選頻作用。與TE波不同，在TM波下沒有禁帶，即所有頻段的光波都可通過光子晶體。

對于二維函數(shù)光子晶體，介質(zhì)柱介電常數(shù)是空間坐標函數(shù)。選取函數(shù)形式為εa(r)=k?r+8.9 (0≤r≤ra)，其中k為函數(shù)系數(shù)。利用平面波展開法，由(1)式、(3)式和(4)式計算二維正方晶格函數(shù)光子晶體TE波和TM波帶隙結(jié)構(gòu)圖。圖3(a)和3(b)分別為函數(shù)系數(shù)k=3×106，即εa(r)=3×106×r+8.9 (0≤r≤ra)，介質(zhì)柱半徑ra=0.2a時二維正方晶格函數(shù)光子晶體TE波和TM波帶隙結(jié)構(gòu)圖。在頻率0～0.8范圍內(nèi)，TE波有1條光子禁帶，其位置在歸一化頻率0.329～0.454間，帶隙寬度Δω=0.125。TM波沒有禁帶。比較圖2和圖3可知，在TE波情況下頻率0～0.8范圍內(nèi)，二維函數(shù)光子晶體禁帶寬度比常規(guī)光子晶體寬，且光子禁帶位置發(fā)生改變。

圖1 二維光子晶體正方晶格。(a)結(jié)構(gòu)圖；(b)第一布里淵區(qū)

圖2 二維正方晶格常規(guī)光子晶體帶結(jié)構(gòu)圖。（a）TE波;（b）TM波

圖3 二維正方晶格函數(shù)光子晶體帶結(jié)構(gòu)圖。（a）TE波；（b）TM波

在圖4和圖5中，函數(shù)系數(shù)分別取k=1.5×107和k=2.7×107，其他參數(shù)同圖3。在頻率0～0.8范圍內(nèi)，圖4(a)中TE波有2條光子禁帶：第1條禁帶位于歸一化頻率0.311～0.441，帶隙寬度Δω=0.13；第2條禁帶的位置在0.752～0.779，帶隙寬度Δω=0.027。圖4(b)中TM波沒有禁帶。圖5(a)中TE波有2條光子禁帶：第1條禁帶的位置在歸一化頻率0.296～0.432處，帶隙寬度Δω=0.136；第2條禁帶的位置在0.725～0.769，帶隙寬度Δω=0.044。圖5(b)中TM波沒有禁帶。比較圖3,、圖4和圖5可以發(fā)現(xiàn)，在TE波情況下，隨著函數(shù)系數(shù)k增加，帶隙數(shù)目增多，帶寬變寬，位置發(fā)生移動。

3 結(jié)論

綜上所述，本文用平面波展開法研究了介質(zhì)柱型二維正方晶格函數(shù)光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)。在其他參數(shù)不變的情況下，分析了函數(shù)系數(shù)k的變化對二維正方晶格函數(shù)光子晶體TE波和TM波帶隙結(jié)構(gòu)的影響。在二維正方晶格函數(shù)光子晶體TE波情況下，不同的函數(shù)系數(shù)k對應的函數(shù)光子晶體TE波的帶隙數(shù)目、位置及寬度均不同。隨著函數(shù)系數(shù)k的增加，帶隙數(shù)目增多，帶寬變寬。通過不同函數(shù)系數(shù)k的取值，來實現(xiàn)對二維函數(shù)光子晶體帶隙的調(diào)節(jié)。與二維常規(guī)光子晶體相比較，函數(shù)光子晶體有較寬的帶隙結(jié)構(gòu)，且只要光強分布不同，二維函數(shù)光子晶體就可得到不同的帶隙結(jié)構(gòu)?？梢姡S函數(shù)光子晶體可更加便捷地實現(xiàn)對帶隙的調(diào)節(jié)，這將為光學器件的設計提供新的理論依據(jù)和重要的設計方法。

圖4 二維正方晶格函數(shù)光子晶體帶結(jié)構(gòu)圖。（a）TE波;（b）TM波

圖5 二維正方晶格函數(shù)光子晶體帶結(jié)構(gòu)圖。（a）TE波;（b）TM波