預(yù)給極點(diǎn)的二元連分式插值

胡 楓

(安徽理工大學(xué)數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，安徽淮南232001)

自然科學(xué)與工程計(jì)算中經(jīng)常需要處理帶有極點(diǎn)的奇異值函數(shù)，而避免極點(diǎn)的出現(xiàn)和控制極點(diǎn)的位置一直都是有理插值與逼近理論中的熱點(diǎn)問題。通過選擇特殊的權(quán)函數(shù)，Berrut提出了一種無極點(diǎn)的重心有理插值[1]；Schneider等在文獻(xiàn)[2]中給出了重心有理插值無極點(diǎn)時(shí)，相鄰權(quán)系數(shù)異號這一必要條件，進(jìn)而研究了相鄰權(quán)系數(shù)同號時(shí)，插值函數(shù)在每個(gè)子區(qū)間擁有奇數(shù)個(gè)極點(diǎn)的情形；Foater等通過局部混合，建立了一族沒有極點(diǎn)且能達(dá)到任意逼近效果的重心插值函數(shù)[3-4]。但在實(shí)際工程計(jì)算中，常常要利用極點(diǎn)來解決實(shí)際應(yīng)用。因此，朱功勤等在已知極點(diǎn)信息的情形下對預(yù)給極點(diǎn)的連分式插值和向量值插值進(jìn)行了深入的研究[5]。關(guān)于二元有理插值函數(shù)的研究，前人已做出了大量的貢獻(xiàn)[6-10]，本文研究預(yù)給極點(diǎn)的二元連分式插值，將原有節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值乘以一個(gè)確定的數(shù)，使其變成一個(gè)無預(yù)給極點(diǎn)的二元有理插值問題。通過計(jì)算具有繼承性的系數(shù)來構(gòu)造一種二元連分式插值新算法，再除以帶有極點(diǎn)信息的函數(shù)，從而得到預(yù)給極點(diǎn)的二元有理插值函數(shù)。本文使用的方法在保持原有每個(gè)極點(diǎn)的重?cái)?shù)不變的同時(shí)又能更好地區(qū)分預(yù)給極點(diǎn)的位置，并通過數(shù)值例子驗(yàn)證了該方法的有效性和合理性。

1 二元連分式插值

Michalik為了求解非線性方程提出了一種新的連分式形式[11]，本文對其進(jìn)行二元推廣，設(shè)點(diǎn)集Dn={(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn)}? [ a ,b ] ×[ c ,d ]，函數(shù)z=f(x,y)對應(yīng)的函數(shù)值為zi=f(xi,yi)，i=0,1,…,n。當(dāng)且僅當(dāng)i=j時(shí)，xi=xj，yi=yj，i=0,1,…,n，Dn上的二元連分式插值形式為

其中ck=ck(x0,x1,…,xk;y0,y1,…,yk) ，k=0,1,…,n是具有繼承性的系數(shù)，計(jì)算過程如下所示：

從插值函數(shù)的最后一項(xiàng)開始計(jì)算，容易驗(yàn)證(1)式滿足所有插值條件，即插值函數(shù)通過所有的插值節(jié)點(diǎn)(xi,yi)(0≤i≤n)，為了更好地描述上述系數(shù)的計(jì)算過程，現(xiàn)歸納為如表1所示。

表1 二元連分式系數(shù)的計(jì)算過程

下面討論該二元連分式插值的一些重要性質(zhì)。

性質(zhì)1二元連分式插值的三項(xiàng)遞推公式。對二元連分式插值函數(shù)，設(shè)P-1=1，P0=b0=0，Q-1=0，Q0=1，則對于n ≥ 1有

性質(zhì)2特征定理。由于二元多項(xiàng)式C(x,y)=cijxiyj的次數(shù)有兩種不同的定義，下面從兩個(gè)角度分別給出二元連分式插值的特征定理。

(1) 分別定義變量x和y的次數(shù)，即?Cx={i}，?Cy={j}，則當(dāng)n=k，k=0,1,…，

性質(zhì)3二元連分式插值不可達(dá)點(diǎn)的修正處理方法。定義在數(shù)據(jù)點(diǎn)集Dn上的二元連分式插值，若Pn(xi,yi)-Qn(xi,yi)fi=0，≠ fi，i=0,1,…,n，則稱(xi,yi)是插值函數(shù)Rn(x,y)的不可達(dá)點(diǎn)。

在文獻(xiàn)[12]中提出了一種對不可達(dá)點(diǎn)的修正處理方法，現(xiàn)設(shè)Rn(x,y)有l(wèi)個(gè)不可達(dá)點(diǎn)，通過調(diào)整節(jié)點(diǎn)的順序使這些不可達(dá)點(diǎn)位于插值節(jié)點(diǎn)的后l位，構(gòu)成新的插值點(diǎn)集

令

2 預(yù)給極點(diǎn)的二元連分式插值

通過計(jì)算具有繼承性的系數(shù)ck(0≤k≤n)，構(gòu)造滿足條件(7)式的二元連分式插值Gn(x,y)，從而得到預(yù)給極點(diǎn)的二元連分式插值函數(shù)。顯然當(dāng)Gn(x,y)的分子和分母中各項(xiàng)多項(xiàng)式在預(yù)給極點(diǎn)處都不等于零時(shí)，二元插值函數(shù)rn(x,y)具有預(yù)給的極點(diǎn)且極點(diǎn)的重?cái)?shù)不發(fā)生變化，進(jìn)一步在第二種情形下考慮二元多項(xiàng)式的次數(shù)，當(dāng)n是偶數(shù)，rn(x,y)是[ n ] [n +2p ]型，當(dāng)n是奇數(shù)，rn(x,y)是[ n -1 ] [ n +1+2p]型的有理插值函數(shù)。

3 數(shù)值例子

(7)式得到相應(yīng)的無預(yù)給極點(diǎn)的插值函數(shù)，對應(yīng)數(shù)據(jù)如表3所示。

表2 插值數(shù)據(jù)

表3 無預(yù)給極點(diǎn)的插值數(shù)據(jù)

根據(jù)表3和上文中系數(shù)ck的遞推算法，得到無預(yù)給極點(diǎn)的二元連分式插值函數(shù)Gi(x,y)及相應(yīng)的ri(x,y)，i=3，4，5。

下面使用Matlab2014a分別繪出各個(gè)預(yù)給極點(diǎn)插值函數(shù)ri(x,y)和誤差函數(shù)ei(x,y)=f(x,y)-ri(x,y)，i=3,4,5的部分圖像，如圖1～6所示。

圖1 r3(x,y)在[0.1,0.3]×[0.15,0.35]上的部分圖像

圖2 e3(x,y)在[0.1,0.3]×[0.15,0.35]上的部分圖像

圖3 r4(x,y)在[0.3,0.5]×[0.35,0.55]上的部分圖像

圖4 e4(x,y)在[0.3,0.5]×[0.35,0.55]上的部分圖像

圖5 r5(x,y)在[0.45,0.6]×[0.46,0.65]上的部分圖像

圖6 e5(x,y)在[0.45,0.6]×[0.46,0.65]上的部分圖像

4 結(jié)論

本文研究預(yù)給極點(diǎn)的二元連分式插值，由預(yù)給極點(diǎn)的信息，使每個(gè)原函數(shù)值乘上一個(gè)確定的數(shù)，通過文中提及的新的二元連分式插值算法來構(gòu)造一個(gè)無預(yù)給極點(diǎn)的插值函數(shù)，再除以一個(gè)帶有預(yù)給極點(diǎn)信息的函數(shù)，從而得到預(yù)給極點(diǎn)的二元連分式插值。該方法獲得的插值函數(shù)在保持原有每個(gè)極點(diǎn)的重?cái)?shù)不變的同時(shí)，又能更好地區(qū)分預(yù)給極點(diǎn)的位置。給出的數(shù)值實(shí)例很好地驗(yàn)證了文中理論的有效性和合理性。