行為負相協隨機變量陣列加權和的矩完全收斂性

2019-04-28 07:28:38郭明樂劉錦然

安慶師范大學學報(自然科學版) 2019年1期

郭明樂，劉錦然

(安徽師范大學數學計算機科學學院，安徽蕪湖241003)

Hsu和Robbins及Cai研究NA(Negatively Associated)隨機變量加權和的完全收斂并得到了如下結論[1-2]后，人們對完全收斂性的關注越來越多。

定理1 設{X,Xn,n≥1}是同分布的NA隨機變量序列，{αni,1≤i≤n,n≥1}是實數陣列，對某個0＜α≤2滿足

設bn=n1α(log n)1γ，這里γ ＞ 0，當1＜ α ≤ 2時，EX=0。若對某h ＞ 0，有Eexp(h|X|γ)＜ ∞，則任意ε＞ 0，有

Sung[3]弱化一些矩的條件，從而改進了定理1，得到如下定理。

定理2設{X,Xn,n≥1}是同分布的NA隨機變量序列，{αnιi,1≤i≤n,n≥1}是常數陣列對某個0＜α ≤ 2滿足(1)式。設bn=n1α(log n)1γ，這里γ ＞ 0，當1＜ α≤ 2時，EX=0。若則(2)式成立。

設{Xn,n≥ 1}是一隨機變量序列且an＞0，bn＞0，q＞0。若對任意ε＞0，有

其中x+=max(0,x)，(x)=(x+)q。這是Chow在文獻[4]中給出的矩完全收斂的概念，顯然矩完全收斂性蘊含完全收斂性。

本文在相同的條件下深化定理2，從完全收斂性進一步研究矩完全收斂并得到更好的結論，且本文運用不同于Sung[3]所用的方法使得證明過程簡化。下面先介紹文章中出現的記號，在不同的地方正數C表示不同的值；log x=lnmax(e,x)，e為自然常數；I(A)表示A的示性函數；an＜＜bn表示存在常數C＞0，使得對足夠大的n,有an≤Cbn。稱隨機變量陣列{Xni,i≥1,n≥1}尾概率有界于隨機變量X，若存在一個正數C，對任意x≥ 0，i≥ 1和n≥ 1使得P(|Xni|＞ x)≤ CP(|X|＞ x)。

下面的引理給出了尾概率有界的隨機變量陣列的矩不等式，這些不等式是由Adler等[5-6]創建的。

引理1設{Xn,n≥1}尾概率有界于隨機變量X，則對任意n≥1，p＞0，x＞0，

由Hoffmann-Jφrgensen型不等式，Marcinkiewicz-Zygmund型不等式和截尾的方法，文獻[7]建立了行為NA隨機變量陣列加權和的矩完全收斂性的充分條件，不同于文獻[3]中運用引理[8]建立的行為NA隨機變量陣列加權和的完全收斂性的充分條件，使得證明過程簡化。

引理2設{Yni,1≤i≤kn,n≥1}是行為NA的隨機變量陣列，{kn,n≥1}是正整數序列，{an,n≥1}是正數序列，滿足q＞0且

(ii)存在0＜r≤2和s＞q/r，使得

引理3設X是一個隨機變量，γ＞0，α＞0，則

證明注意到

利用Fubini定理可得

下面給出本文的主要結論。

定理3設{Xni,1≤i≤n,n≥1}是行為NA的隨機變量陣列尾概率有界于隨機變量X，{αni,1≤ i≤ n,n≥1}是常數陣列對某個0＜α≤ 2滿足(1)式，令bn=n1α(log n)1γ，其中γ＞0。當1＜α≤ 2時，EXni=0，1≤ i≤ n，n≥ 1。若(3)式成立，則

證明不失一般性，可設ani＞ 0，1≤ i≤ n，n≥ 1(否則,可分別用和替代 ani，記 ani=-)。此處不同于文獻[3]中分|ani|≤1或|ani|＞1兩種情形考慮。在引理2中取an=1/n，kn=n，r=α，Yni=aniXni/bn，1≤ i≤ n，n≥ 1。由ani＞ 0可知{Ynι,1≤ i≤ n,n≥ 1}仍是行為NA的隨機變量陣。由(1)式不妨設≤ n，注意到q≤ α，則通過引理1、引理3得