Bloch型空間到對數Bloch型空間的加權復合算子緊性特征

劉龍生，周繼振

(安徽理工大學數學與大數據學院，安徽淮南232001)

令D={ z :|z|＜1}表示復平面上的開單位圓盤，H(D)為D上的解析函數組成的集合。設0＜α＜∞，若f∈H(D)滿足

則稱f屬于α-Bloch空間[1-2]，記作Bα。B1就是Bloch空間，簡記B。若在Bα中定義范數‖f‖α= |f(0)|+‖f‖Bα，則Bα是Banch空間。設0＜ α ＜ ∞，若f∈ H(D)滿足

則稱f屬于對數α-Bloch空間，記作LBα。若f∈LBα滿足

令u∈H(D)，由u可以定義H(D)上的點乘算子Mu(f)=u?f。令φ為D上的解析自映射，即φ∈H( D )且φ( D ) ?D，由φ可以在H( D )上定義線性復合算子Cφ(f)=f°φ。故u,φ可以在H( D )上定義加權復合算子Tu,φ(f)=??f°φ。有關Bloch型空間上的加權復合算子和算子理論的結果，見參考文獻[3-8]。

為了簡便，本文中C在不同的地方表示不同的常數。若存在與變量x無關的常數C使得f(x)≤Cg(x)，則記作f?g。下面先給出Bα空間到對數Bloch型空間LBβ上的加權復合算子緊性刻畫。

引理1[7]令0＜α＜∞，對任意f∈Bα和z∈D，則下列結論成立：

引理2[8]令α＞0，則存在f1,f2∈Bα和常數C使得

引理3設u∈H(D),φ(D)?D，則Tu,φ為緊算子當且僅當對于Bα中任意有界序列{ fn}，其中{ fn}在D上內閉一致收斂于0，恒有‖Tu,φfn‖β,log=0。

下面介紹本文的主要結論之一，Tu,φ:Bα→LBβ的有界性特征。

定理1設u∈H(D)和β＞0，φ是D上解析自映射，則下列結論成立：

(i)當0＜α＜1時，則Tu,φ:Bα→ LBβ是有界的當且僅當u∈LBβ且

(ii)當α =1時，則Tu,φ:Bα→ LBβ是有界的當且僅當(2)式成立且

(iii)當α＞1時，則Tu,φ:Bα→LBβ是有界的當且僅當(2)式成立且

證明(i)充分性。設u∈LBβ和條件(2)成立，令

直接計算得

必要性。令Tu,φ:Bα→LBβ是有界算子，則對任意f∈Bα，存在常數C使得

令f(z)=1，得u∈ LBβ。由引理1得

應用基本不等式，聯立(6)式和(7)式得

取函數f1,f2∈Bα使得(1)式成立，由條件(8)式直接得

故條件(2)式成立。

根據引理1直接計算得

下面證明必要性。不失一般性，任取w∈D且滿足 ||φ(w)＞δ＞0。令

其中，λw=-log(1 - |φ(w)|2)。直接驗證得fw∈Bα且

有關計算過程可參考文獻[9]。因Tu,φ:Bα→LBβ是有界的，故

在上式中令z=w，得(3)式成立。聯立(3)式和(10)式，再次根據基本不等式得(ii)成立。

(iii)的證明與(i)和(ii)的情形是類似的，在此僅給出必要性證明中用到的函數。不失一般性，任取w∈D且滿足 ||φ(w)＞δ＞0。令

易驗證得gw∈Bα且滿足

具體計算過程可參考文獻[9]。余下的證明過程類似于(ii)，在此省略過程，定理證畢。

根據定理1，容易得到如下推論。

推論1令u(z)∈H(D)，則下列結論成立：

(1)當0＜α＜1時，則Mu:Bα→LBβ是有界的當且僅當u∈LBβ且

(2)當α=1時，則Mu:Bα→LBβ是有界的當且僅當(11)式樣成立且

(3)當α＞1時，則Mu:Bα→LBβ是有界的當且僅當(11)式成立且

證明令φ(z)=z，由定理1可直接得推論1。

推論2設α＞0，φ是D上解析自映射，則Cφ:Bα→LBβ是有界的當且僅當

證明令u=1，定理1直接推得推論2。

下面的定理主要是刻畫了加權復合算子Tu,φ:Bα→LBβ的緊性特征。

定理2設u∈H(D),φ(D)?D，φ是D上解析自映射，則下列結論成立：

(i)當0＜α＜1時，則Tu,φ:Bα→ LBβ是緊的，當且僅當u,uφ∈LBβ且

(ii)當α =1時，則Tu,φ:Bα→ LBβ是緊的，當且僅當u,uφ ∈ LBβ和(12)式成立且

(iii)當α＞ 1時，則Tu,φ:Bα→ LBβ是緊的，當且僅當u,uφ∈ LBβ，(12)式成立且

證明設 α＞0，若Tu,φ:Bα→LBβ是緊的，顯然Tu,φ是有界的。 分別令f=1和f(z)=z，可得u,uφ ∈LBβ，取D里點列{ zn}使得| φ(zn)|=1。令

易得序列{fn}在Bα里是一致有界，且{ fn}在D上內閉一致收斂于0[3]，直接計算得

注意到

(i)的必要性已證明，下面證明(ii)的必要性。選取D里點列{ zn}使得| φ(zn)|=1。 令

其中λn=-log(1 - |φ(zn)|2)，易得序列{ gn}是Bα里的一致有界序列且在D上內閉一致收斂于0，直接計算得

故得(13)式成立。

再證(iii)的必要性。 選取D里點列{ zn}使得| φ(zn)|=1。令

易得序列{hn}在Bα里一致有界且在D上內閉一致收斂于0。計算得

故得(14)式成立。

下面證明(i)的充分性。取Bα里一致有界序列{ fn}使得{ fn}在D上內閉一致收斂于0。根據文獻[8]的引理3.2，得n→ ∞時，有|f(z)| → 0。因u ∈ LBβ得

另一方面，當δ→1時，則有

因為u,uφ ∈ LBβ,故(1 - |z|2)β| u(z)φ′(z)| ＜ ∞。因為fn′(z)在D上內閉一致收斂于0，故

類似可證(ii)和(iii)的充分性，在此省略證明，定理證畢。

根據定理2，易得如下推論。

推論3設α＞0,φ是D上解析自映射，則Cφ:Bα→LBβ是緊的當且僅當

證明令u=1，由定理2直接得推論3。

引理4設U?，則閉集U是緊的當且僅當U是有界集且

對加權復合算子Tu,φ:Bα→LB0β的有界性與緊性刻畫，考慮α的取值范圍不同，得到如下結果。

定理3設u(z)∈H(D),φ(D)?D,0＜α＜1，則以下三個命題等價：

(i)Tu,φ:Bα→是有界算子；

(ii)Tu,φ:Bα→是緊算子；

證明(ii)?(i)顯然。

(iii)?(ii)設(iii)成立，易得(2)式成立且u ∈ LBβ，根據定理1得Tu,φ:Bα→ LBβ是有界的。取{ fn} ∈Bα使得當n→ ∞時，fn在D上內閉一致收斂于0。由u∈和(16)式得，對?ε ＞ 0, ?δ∈(0,1)，使得當δ＜|z|＜1時，有

當δ＜ ||z＜1時，由引理1和上述估計式得

因為ε是任意的，故

另一方面，易得

因為{ fn′}在D上內閉一致收斂于0且ε是任意的

(i)?(iii)設Tu,φ:Bα→是有界算子。 令f(z)=1，得u ∈。令

易得gw∈Bα且gw(φ(w))=0,gw′(φ(w))= α(1 - |φ (w)|2)-α。直接計算得故(16)式成立，定理證畢。

定理4 設u∈H(D),φ(D)?D,α=1，則以下三個命題等價：

(i)Tu,φ:Bα→是有界算子；

(ii)Tu,φ:Bα→是緊算子；

(iii)(16)式成立且

證明(i)?(iii)設Tu,φ:Bα→LBβ0是有界算子。令fw按(9)式定義，直接計算得

令gw按(19)式定義，類似于定理3中的(i)?(iii)的證明，可得(16)式成立。證明的其余部分類似于定理3的證明，在此省略過程，定理證畢。

定理5設u∈H(D),φ(D)?D,α＞1，則以下三個命題等價：

(i)Tu,φ:Bα→是有界算子；

(ii)Tu,φ:Bα→是緊算子；

(iii)(16)式成立且

證明 (i)?(iii)設Tu,φ:Bα→ LBβ0是有界算子，w∈ D且滿足|φ(w)|＞ δ＞ 0。 令

易驗證hw∈Bα且滿足hw(φ(w))=,hw'(φ(w))=0，直接計算得

令gw按(19)式定義，類似于定理3中的(i)?(iii)的證明，可得(16)式成立。證明的其余部分類似于定理3的的證明，在此省略過程，定理證畢。