含憶阻器的并聯混沌電路動力學分析

方 淼，謝苗苗，方 鳴

（安徽大學江淮學院理工部，安徽合肥230039）

憶阻器是蔡少棠在1971年提出的具有記憶特性的非線性電阻器[1]，由Strukov等在物理上成功實現的第4種基本無源二端口元件[2]，在混沌保密通信、混沌系統控制和圖像加密中具有重要的應用價值[3-4]。憶阻器具有非線性特性，基于憶阻器構成的憶阻電路容易產生非線性混沌振蕩，因此基于憶阻器的連續混沌電路模型的設計引起了國內外學者的關注，各種混沌電路被相繼提出，為混沌理論的實際應用奠定了基礎。Itoh等采用分段線性憶阻器代替Chua混沌電路中的蔡氏二極管建立了振蕩電路[5]；Buscarino等基于惠普憶阻器的實物模型設計了一種新型憶阻混沌電路[4]；Bao等提出光滑連續的三次單調上升的非線性歸一化磁控憶阻器，并基于該模型設計出憶阻混沌電路[6]。以上憶阻混沌電路均是基于蔡氏電路設計的，電路結構較復雜，且產生的混沌吸引子和Chua混沌吸引子相似。Muthuswamy等設計并實現了僅由電感、電容和憶阻器串聯構成的最簡串聯憶阻混沌電路[8]；許碧榮隨后采用三種元件并聯設計構建了最簡并聯憶阻混沌電路，并進行了電路實現[9]。但這些電路只能產生簡單的單渦卷混沌吸引子，且其中的動力學特性未得到詳細的分析和研究。

因此如何利用憶阻器構建電路結構簡單、具有豐富動力學現象的非線性動力系統成為研究熱點。基于此，本文提出一種有源壓控憶阻器的數學模型，利用該憶阻器和電容、電感并聯構成一個簡單并聯混沌電路系統，建立該系統的無量綱數學模型，通過數值仿真研究該系統的動力學行為。

1 并聯混沌電路系統模型

1.1 憶阻器

蔡少棠于1971年根據電路的完備性提出憶阻器[1]，在2008年HP實驗室成功實現HP TiO2憶阻器，之后蔡少棠等又對憶阻器[10]的概念進行了拓展，定義為

式中，y(t)和u(t)分別表示任意兩個互補的基本變量（即電壓、電流、磁通和電荷），分別作為憶阻器的輸出和輸入信號，z表示憶阻器內部狀態變量，f是一個連續的n維向量函數，g表示n維的響應函數。根據該定義，若輸入信號u(t)為電流，則稱為流控型憶阻器；若輸入信號u(t)為電壓，則稱為壓控型憶阻器。本電路中采用了壓控型憶阻器，并根據憶阻器概念假設該憶阻器的關系式為

其中，W(z)=c(z2-2z-1)，c，d均為常數。當取c=0.3、d=0.5時，壓控憶阻器的憶導W(z)-z的關系如圖1(a)所示。從圖1(a)可見，該壓控憶阻器的憶導W(z)隨狀態變量z的變化存在負值，因此其瞬態功率p(t)=w(?)u(t)2和瞬時能量隨著時間的變化也存在負值，根據蔡少棠提出的憶阻器無源定理，可判斷(2)式定義的壓控憶阻器為有源憶阻器。當給該壓控憶阻器的兩端施加一個正弦激勵電壓v=2sin(2πft)，可以得到憶阻器在v-i平面上的伏安關系曲線如圖1(b)所示，其伏安特性曲線具有一個斜“8”字形的類緊磁滯回線的形狀，該特性和蔡氏憶阻器所描述的特性一致，具有非線性動力學特性。

1.2 電路模型的建立

將該壓控型憶阻器和電感、電容并聯，構成一個并聯型憶阻混沌電路，如圖2所示。該電路僅由3個動態元件組成，他們所對應的狀態變量分別為vC、iL和z，其中z是壓控憶阻器內部的狀態變量。

圖1 憶阻器的特性曲線。(a)憶導曲線；(b)伏安特性曲線

圖2 基于憶阻器的并聯混沌電路

運用基爾霍夫電壓和電流定律以及元件的伏安關系分析圖2的電路，可得電路的狀態方程為

設x=vC，y=iL，α =-，γ=d，則(3)式的狀態方程可以寫為

因此，圖2所示的并聯混沌電路是一個三維系統，它的動力學特性可由(3)式描述。

選擇電路參數使得α=-2，β =4.1，γ=0.5，c=0.3，在初始條件( )0,10-2,0 下，可見系統（3）生成一類新的拓撲結構較復雜的超混沌吸引子，它在相平面上的投影如圖3(a)和3(b)所示。圖3(a)是混沌吸引子在x-y平面上的投影，是一個單渦卷混沌吸引子；而圖3(b)是混沌吸引子在x-z平面一個折疊的雙渦卷的混沌吸引子。通過尋找合適的Poincaré截面，能將系統隨時間連續變化運動轉化為Poincaré截面上的一個離散映射，該映射降低了系統的維數，但仍能保持原有動力學系統的拓撲性質，因此能更好地刻畫出該憶阻電路的混沌特性。圖4(a)和4(b)分別給出了x=0和z=0截面上的Poincaré映射。顯然基于憶阻器的并聯混沌電路的Poincaré映射上存在無窮多個密集點，吸引子的輪廓清晰可見，表現出分形的幾何特征，進一步說明該系統的混沌特性。利用Jacobi方法計算Lyapunov指數得LE1=0.24，LE2=0.01，LE3=-0.42，由此可計算出相應的Lyapunov維數為dL=2.57，即該系統存在兩個正的Lyapunov指數，一個負的Lyapunov指數，同時其Lyapunov指數譜之和為負，可知該電路系統是超混沌振蕩的。

圖3 混沌吸引子的投影。(a)x-y平面相軌；(b)x-z平面相軌

圖4 并聯混沌電路的Poincaré映射。(a)x=0截面；(b)z=0截面

2 基本動力學特性分析

2.1 平衡點的穩定性分析

令x?=y?=z?=0，可求得系統(4)的唯一平衡點E0( )0,0,0，在平衡點處對系統進行線性化，可得（4）式的Jacobi矩陣：

平衡點E0(0,0,0)對應的特征根方程為

解得其特征根為λ1=-3γ,λ2=

很顯然，當α＜0且c＞0時，系統的特征根λ2、λ3實部始終大于零，此時系統的平衡點E0( )0,0,0是不平衡的，否則系統是穩定的，無法產生混沌。當選擇電路參數使得α=-2，β=4.1，γ=0.5，c=0.3，可求得相應的特征根λ1=-1.5，λ2、3=0.3± 2.85j，λ1為負實根，λ2、λ3是一對實部大于零的共軛復根，此時平衡點是不穩定的鞍焦點，符合混沌產生的平衡點穩定性條件。

2.2 電路參數對系統影響

通過上面的分析可知，隨著系統參數的改變，系統平衡點的穩定性也將隨之發生改變，該系統將具有不同的動力學特性。因此下文將對于確定的電路參數γ=0.5、c=0.3和初始條件( )0,10-2,0，選擇β和α為可變參量，即電感和電容的參數可調，對系統進行動力學分析。

固定β=4.1，當參數α在[-12,-0.1]內變化時，系統的Lyapunov指數譜和狀態變量z的分岔圖如圖5所示。畫狀態變量z的分岔圖選取的Poincaré截面為x=-1，即系統的三維相空間中垂直于x軸的過（-1,0,0）點的平面。由圖可見系統的Lyapunov指數譜和Poincaré截面所反映的動力學行為是一致的。

圖5 電路參數α變化時Lyapunov指數和分叉圖。(a)Lyapunov指數譜；(b)分岔圖

當參數α在[-12,-3.22]內時，系統的Lyapunov指數形式為（0，-，-），表明系統處于周期態。當α=-6.358時，系統的Lyapunov指數由負值接近于零，再變為負值，此時系統出現了一次倍周期分岔，從周期1變為周期2。當參數α=-3.22時，系統的Lyapunov指數形式變為（+，+，-），出現了2個正的Lyapunov指數，系統出現了超混沌狀態。隨后當α=-1.5時，系統的Lyapunov指數形式再次變為（0，-，-），系統由超混沌狀態轉換為周期態。從圖5(b)可見，隨著參數α在[-12,-0.1]內逐漸遞增，系統(4)從穩定的周期1軌道經倍周期分岔變為周期2軌道，當α=-3.22時系統發生瞬態超混沌進入超混沌軌道，最后由于混沌危機導致運動軌跡發生突變，變成周期1軌道。由于憶阻混沌電路的動力學行為極端依賴于憶阻器的狀態變量，導致了憶阻混沌電路出現了不同于一般混沌電路的特殊動力學行為。當α∈(-3.22,-1.56)時系統不全處于混沌態，在[-5.95,-5.8]，[-5.73,-5.57]，[-4.26,-4.18]3個區域內，系統的運動軌道進入周期窗口，從周期2極限環突變為穩定的周期1軌道，系統經過了多次混沌軌道與周期窗口的切換。隨著參數α的變化，系統詳細的穩定與不穩定區域如表1所示。

表1 隨著參數α變化的系統動力學行為

選取不同的參數α，狀態變量y，z隨α變化的幾種典型的相圖如圖6所示。圖6中的(a)和(b)分別為系統的周期1極限環和發生倍周期分岔后的周期2極限環，此相軌圖再次證明了該有源壓控憶阻器在正弦激勵下的滯回特性。圖6（c）為系統的另一種周期2極限環，當α的值進一步增大，系統進入混沌狀態。混沌吸引子的相軌圖如圖6(d)所示。

圖6 電路在不同參數β時的相軌圖。(a)α=-7；(b)α=-6.3；(c)α=-4.17；(d)α=-3.4

固定α=-2，使得參數β在[0.1,17]內變化時，系統的Lyapunov指數譜和狀態變量x的分岔圖分別如圖7(a)和(b)所示。畫狀態變量x的分岔圖選取的Poincaré截面為x=0，即系統的三維相空間中垂直于x軸的過原點的平面。此時系統的Lyapunov指數譜和Poincaré截面表現的運動軌跡的穩定和不穩定區間是一致的。從圖7(a)可以看出，當參數β∈[0,3]時，系統的Lyapunov指數形式為（0，-，-），表明系統處于周期態，此時圖7(b)的分岔圖具有相同動力學特性，在此范圍內，系統經一次短暫倍周期分岔從周期1轉換為周期2，又通過反倍周期分岔進入周期1。當參數β＞3時，出現了兩個正的Lyapunov指數，系統進入超混沌狀態。可以看出，該并聯憶阻混沌系統在很寬的參數范圍內都處于混沌狀態。

圖7 電路參數β變化時Lyapunov指數和分叉圖。(a)Lyapunov指數譜；(b)分岔圖

3 結論

近年來研究的憶阻混沌電路基本上是用憶阻器代替蔡氏電路中的蔡氏二極管來實現的，產生的混沌吸引子與蔡氏混沌吸引子具有一定的相似性。本文采用有源壓控憶阻和電容、電感并聯構成了一個簡單的并聯憶阻混沌電路系統，建立了系統的無量綱數學模型，并采用數值仿真的方法研究了不同電路參數下該并聯憶阻混沌電路的非線性動力學現象。仿真結果表明，該系統能產生一類新的折疊的超混沌吸引子，隨著參數β的變化，系統具有很寬的混沌狀態區域，隨著參數α的變化，系統會產生瞬態混沌、混沌狀態突變為周期態等豐富的動力學現象。該混沌系統電路結構簡單、易于實現，同時存在復雜的超混沌吸引子，在混沌保密通信中具有一定的潛在應用價值。