用動(dòng)能定理巧解多過程問題

多過程問題是指物體參與了兩個(gè)及兩個(gè)以上相互連續(xù)的物理過程，這些過程可以是勻變速直線運(yùn)動(dòng)過程、平拋運(yùn)動(dòng)過程或圓周運(yùn)動(dòng)過程等，由于其運(yùn)動(dòng)過程的復(fù)雜性，求解時(shí)往往需要用到能量觀點(diǎn)和動(dòng)量觀點(diǎn)。能量觀點(diǎn)中的動(dòng)能定理一般只涉及物體運(yùn)動(dòng)的始、末狀態(tài)，在使用的過程中沒有太多的限制條件，因此被廣泛地應(yīng)用于解決比較復(fù)雜的物理問題。下面通過兩道例題具體分析動(dòng)能定理在多過程問題中的應(yīng)用。

例1 上海熱帶風(fēng)暴水上樂園有個(gè)項(xiàng)目叫“音速飛龍”。如圖1甲所示，兩條高速滑道，人可以仰臥下滑，下滑起伏共有3層。圖乙為其軌道側(cè)視圖，質(zhì)量為70kg的人從A處由靜止下滑，經(jīng)BCDEF，最終停在G處。已知AB、BC、CD、DE、EF均是半徑為14m的圓弧，其對應(yīng)的圓心角均為60°， FG段水平。設(shè)人滑到F點(diǎn)時(shí)的速度為20m/s，取g=10m/s²，求：

（1）人剛滑到圓弧末端F點(diǎn)時(shí)，滑道對人豎直向上的作用力F，的大小。

（2）在AF段上滑動(dòng)過程中，人克服阻力所做的功W_f。

（3）若一光滑小球在該滑道無水時(shí)自A處由靜止釋放，且不計(jì)空氣阻力，則小球能否沿ABCDEF滑道運(yùn)動(dòng)？若能，請說明理由;若不能，請求出小球脫離滑道的位置及落回滑道時(shí)所在的圓弧部分。

解析：（1）人剛滑到圓弧末端F點(diǎn)時(shí)，根

點(diǎn)評：（1）求解多過程問題需要弄清物理過程。人或小球在AF段運(yùn)動(dòng)的過程中，若一直沿滑道不脫離，則每段均為豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的一部分;若脫離滑道，則會(huì)在脫離滑道后做拋體運(yùn)動(dòng)。（2）求解多過程問題還必須善于挖掘隱含條件。人滑到F點(diǎn)時(shí)的速度為20m/s，說明已知人在運(yùn)動(dòng)過程中的初、末速度，借助向心力公式可求解人在F點(diǎn)受到的作用力，利用動(dòng)能定理可求解整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的摩擦力做功;小球能否脫離滑道，取決于人滑動(dòng)B點(diǎn)、D點(diǎn)時(shí)的速度與的關(guān)系。（3）本題涉及的物理過程比較復(fù)雜，且涉及豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，若利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解決，則無法求解，而應(yīng)用動(dòng)能定理可簡單解決。

變式：由相同材料的木板搭成的軌道如圖2所示，其中木板AB、BC、CD、DE、…、HI的長度均為L=1.5m，木板OA、AB、BC、…、HI與水平地面間的夾角都為α=37°。一個(gè)可看成質(zhì)點(diǎn)的物體在木板OA上從離地高度h=1.8m處由靜止釋放，物體與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ=0.2，在兩木板交接處都用小曲面相連，使物體能順利地經(jīng)過，既不損失動(dòng)能，也不會(huì)脫離軌道。已知最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²。求：

（1）物體能否靜止在木板上？請說明理由。

（2）物體運(yùn)動(dòng)的總路程是多少？

（3）物體最終停在何處？并作出解釋。

解析：（1）物體在木板上時(shí)，重力沿木板的分力為mgsinα=0.6mg，最大靜摩擦力f_max=μmgcosα=0.16mg。因?yàn)閙gsinα>umgcosα，所以物體不會(huì)靜止在木板卜。

（2）從物體開始運(yùn)動(dòng)到最終停下，由動(dòng)能定理得mgh-μmgxcosα=0，解得x=11.25m。

例2 如圖3所示，AB和CDO都是處于豎直平面內(nèi)的光滑圓弧形軌道，OA連線處于水平位置，AB是半徑R=2m的1/4圓弧形軌道，CDO是半徑r=1m的半圓形軌道，最高點(diǎn)O處固，定一個(gè)豎直彈性擋板。D為CDO軌道的中點(diǎn)，BC段是水平粗糙軌道，與兩圓弧形軌道平滑連接。已知BC段水平軌道的長度L=2m，與小球之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4。現(xiàn)讓一個(gè)質(zhì)量m=1kg的小球P從A點(diǎn)的正上方距水平線OA高H處自由落下，取g=10m/s²。

（1）當(dāng)H=1.4m時(shí)，求小球第一次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小。

（2）當(dāng)H=1.4m時(shí)，試通過計(jì)算判斷小球是否會(huì)脫離CDO軌道。如果會(huì)脫離軌道，求脫離前小球在水平軌道上經(jīng)過的路程。如果不會(huì)脫離軌道，求靜止前小球在水平軌道上經(jīng)過的路程。

（3）為使小球僅與彈性擋板碰撞兩次，且小球不會(huì)脫離CDO軌道，求H的取值范圍。擋板碰撞兩次，且小球不會(huì)脫離CDO軌道，則需滿足條件mg（H+r）-5μmgL≤0，解得H≤3m。因此2.9m≤H≤3.0m。

點(diǎn)評：（1）小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)歷自由落體運(yùn)動(dòng)，豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，以及水平面上的直線運(yùn)動(dòng)。（2）小球能否在O點(diǎn)脫離執(zhí)道，取決于小球到達(dá)O點(diǎn)時(shí)的速度與的關(guān)系;若小球不能到達(dá)O點(diǎn)，則是否脫離執(zhí)道取決于小球到達(dá)D時(shí)是否具有速度。（3）本題通過小球在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)和水平面上的直線運(yùn)動(dòng)的多個(gè)過程，重點(diǎn)考查動(dòng)能定理在多過程問題中的基本應(yīng)用。

變式：僅將例2中的問題（2）改為當(dāng)H=8.55m時(shí)，試通過計(jì)算判斷小球是否會(huì)脫離CDO軌道。如果會(huì)脫離軌道，求脫離位置距C點(diǎn)的豎直高度。如果不會(huì)脫離軌道，求靜止前小球在水平軌道上經(jīng)過的路程。

方法與總結(jié)

在應(yīng)用動(dòng)能定理解決向題時(shí)，基本的解題思路：（1）明確研究對象，一般選取單一的物體作為研究對象;（2）明確初、末位置，對物體進(jìn)行過程分析，進(jìn)而確定物體的初、末動(dòng)能;（3）對物體進(jìn)行受力分析，求物體所受各個(gè)力的功，進(jìn)而求出力對物體所做的總功;（4）根據(jù)動(dòng)能定理列出方程。求解多過程問題時(shí)，可以分段考慮，也可以全程考慮，若能巧用動(dòng)能定理，則可使問題的解答更為簡潔。

跟蹤訓(xùn)練

1.質(zhì)量m=1kg的物體靜止在高度h=4m的水平桌面上，物體與水平桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2。現(xiàn)對物體施加一個(gè)水平推力F=20N，在物體位移s₁=4m時(shí)撤去力F，物體又滑行s=1m飛出桌面，取g=10m/s²。求：

（1）物體落在水平地面上時(shí)的速度大小。

（2）物體拋出桌面時(shí)的速度。

2.如圖4所示裝置由AB、BC、CD三段軌道組成，軌道交接處均由很小的圓弧平滑連接，其中軌道AB、CD是光滑的，水平軌道BC的長度s=5m，軌道CD足夠長且傾角θ=37°，E是軌道CD上的一點(diǎn)，A、E兩點(diǎn)離軌道BC的豎直高度分別為h₁=4.3m，h₂=1.35m。現(xiàn)讓質(zhì)量為m的小滑塊自A點(diǎn)由靜止釋放。已知滑塊與軌道BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos 37°=0.8。求：

（1）滑塊第一次到達(dá)E點(diǎn)時(shí)的速度大小。

（2）滑塊第一次與第二次通過C點(diǎn)的時(shí)間間隔。

（3）滑塊最終停止的位置到B點(diǎn)的距離。

（責(zé)任編輯 張巧）