巧用圓的變化突破帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)是歷年高考中的一個(gè)必考內(nèi)容。在這類問(wèn)題中，從粒子源射出的帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)往往復(fù)雜多變，涉及內(nèi)容多，綜合性強(qiáng)，對(duì)考生的空間想象能力要求較高。下面以高考試題為例，巧用圓的平移、旋轉(zhuǎn)、放縮三種變化，數(shù)理結(jié)合，化繁為簡(jiǎn)，變抽象為形象，快速找出臨界軌跡，從而突破帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。

變化一：圓的平移

如果帶電粒子從粒子源射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)的速度大小和方向均相同，但粒子源有一定寬度，即帶電粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的入射點(diǎn)位置是變化的，那么帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓大小一定，但圓心隨入射點(diǎn)的位置變化而平移，如圖1所示。

例1 （2017年江蘇卷節(jié)選）一臺(tái)質(zhì)譜儀的工作原理如圖2所示。大量的甲、乙兩種離子飄入電壓為U₀的加速電場(chǎng)，其初速度幾乎為0，經(jīng)電場(chǎng)加速后，通過(guò)寬為L(zhǎng)的狹縫MN沿與磁場(chǎng)垂直的方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，最后打到照相底片上。已知甲、乙兩種離子的電荷量均為+q，質(zhì)量分別為2m和m，圖中虛線為經(jīng)過(guò)狹縫左、右邊界M、N的甲種離子的運(yùn)動(dòng)軌跡。不考慮離子間的相互作用。

（1）求甲種離子打在底片上的位置到N點(diǎn)的最小距離x。

（2）用斜線標(biāo)出磁場(chǎng)中甲種離子經(jīng)過(guò)的區(qū)域，并求該區(qū)域最窄處的寬度d。

解析：同種離子經(jīng)同一加速電場(chǎng)加速后進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度相同，則在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓的大小相同，因?yàn)殡x子射入磁場(chǎng)的位置范圍為一寬為L(zhǎng)的狹縫，所以只需要將軌跡圓由M點(diǎn)水平移動(dòng)至N點(diǎn)即可。

變化二：圓的旋轉(zhuǎn)

如果帶電粒子從點(diǎn)粒子源射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)的速度大小相等，但方向不同，那么帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓大小相等，所有的軌跡圓均勻地與粒子源相切，相當(dāng)于繞粒子源旋轉(zhuǎn)一周，如圖4所示。

例2 （2017年11月浙江卷節(jié)選）如圖5所示，x軸上方存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出），坐標(biāo)原點(diǎn)處有一正離子源，單位時(shí)間在xOy平面內(nèi)發(fā)射n₀個(gè)速率為v的離子，分布在y軸兩側(cè)各為θ的范圍內(nèi)。在x軸上放置長(zhǎng)度為L(zhǎng)的離子收集板，其右端點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2L，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀時(shí)，沿y軸正方向入射的離子，恰好打在收集板的右端點(diǎn)。整個(gè)裝置處于真空中，不計(jì)重力，不考慮離子間的碰撞，忽略離子間的相互作用。

（1）求離子的比荷q/m。

（2）若發(fā)射的離子被收集板全部收集，求θ的最大值。

解析：從離子源射出的離子速度大小相等，則離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓大小相等，因?yàn)殡x子速度方向分布在y軸兩側(cè)各為B的范圍內(nèi)，所以只需要將軌跡圓繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)2θ即可，如圖6所示。

變化三：圓的放縮

如果帶電粒子從點(diǎn)粒子源射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)的速度大小不等，但方向相同，那么帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓大小不等，所有的軌跡圓與粒子源相切，相當(dāng)于一個(gè)圓可以放大和縮小，如圖7所示。

例3 （2016年10月浙江卷節(jié)選）如圖8所示，在x軸的上方存在垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，位于x軸下方的離子源C發(fā)射質(zhì)量為m，電荷量為

解析：從離子源射出的離子速度大小在一個(gè)范圍內(nèi)，則離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓相當(dāng)于將一個(gè)較小的圓不斷放大。離子在電場(chǎng)中

方法與總緒

求解從粒子源射出的帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題時(shí)，要先分析粒子源的情況和粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的特點(diǎn)，再利用圓的平移、旋轉(zhuǎn)、放縮三個(gè)變化，搭建一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程的思維平臺(tái)，然后數(shù)理結(jié)合，直觀、形象地找到臨界條件，最終順利解決相關(guān)問(wèn)題。

（責(zé)任編輯 張巧）