聚焦動量觀點在電磁感應中的應用

電磁感應是高中物理的重要內容，歷年來高考不僅考查電磁感應過程中感應電流方向和大小的判定及計算，也常考查動力學觀點和能量觀點在電磁感應中的應用，同時還要求結合閉合電路的相關規律和基本方法完成解答。2017年教育部考試中心將高中物理（選修3- 5）納入必考范圍，其中唯一的一個二級考點是動量定理和動量守恒定律。2017年浙江卷第22題和2018年天津卷第12題均是將電磁感應和動量綜合命制的試題，這使得電磁感應與動量的綜合問題重新回歸到高三復習備考的范疇中。將動量思想應用到電磁感應綜合問題中，需要考生將動量觀點與電、磁學情景綜合起來分析，涉及豐富的物理觀念和科學思維，能夠鑒別考生對物理現象內在規律及相互關系的認知度，因此將電磁感應與動量兩個物理核心知識點結合起來命題必將是未來高考考查的趨勢。

一、動量定理在電磁感應中的應用

在電磁感應中，當閉合電路中的部分導體切割磁感線產生感應電流，從而使得運動導體受到安培力的作用時，安培力往往是變力，導致導體做變加速運動。此類變加速運動問題往往無法直接用動力學方法求解，而采用動量定理則可巧妙解決。

1.電磁感應與動量定理綜合求時間。

例1 如圖1所示，一傾角為θ的光滑斜面，中間寬度為l的區域存在垂直于斜面向上的勻強磁場，磁感應強度為B。一個邊長為x的等邊三角形金屬線框，質量為m，電阻為R，從斜面上端某位置由靜止釋放，線框底邊始終與斜面底端平行。設線框底邊到達磁場MN邊界時為工位置，線框頂點到達磁場MN邊界時為Ⅱ位置，線框底邊到達磁場PQ邊界時為Ⅲ位置，線框頂點到達磁場PQ邊界時為Ⅳ位置。已知線框在工位置和Ⅲ位置時的速度相同，且lgt;x，重力加速度為g，求：

（l）線框從I位置到Ⅲ位置，流過線框的電荷量。

（2）線框從I位置到Ⅳ位置，線框中產生的焦耳熱。

（3）線框從I位置到Ⅲ位置經歷的時間。

點評：線框從工位置到Ⅲ位置的運動過程為非勻變速運動，此時若用運動學公式求時間會非常困難，而應用動量定理不需考慮中間過程，只需知道所研究過程的初、末速度即可。

2.電磁感應與動量定理綜合求速度。

例2 超級高鐵（ Hyperloop）是一種以“真空管道運輸”為理論核心設計的交通工具。如圖2所示是其動力系統的簡化模型，兩根間距為l的平行光滑金屬導軌MN、PQ固定在水平管道中。ab和ce是兩根與導軌垂直、長度均為l的導體棒，通過絕緣材料固定在列車底部，并與導軌始終保持良好接觸，其間距為d。若每根導體棒的電阻為R，每段長度為d的導軌的電阻也為R，列車的總質量為m。列車啟動時，導體棒ab、ce處于磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌平面向下，在導體棒ab右側距離為d處接通固定在導軌上電動勢為E的直流電源，電源內阻及導線電阻均忽略不計，列車啟動后電源自動關閉。

（1）求剛接通電源時導體棒ab兩端的電壓和列車加速度的大小。

（2）列車減速時，導體棒ab和ce所在的位置如圖3所示，此時列車的速度為v0。導軌內依次分布磁感應強度為B，寬度為d的勻強磁場，且相鄰的勻強磁場的方向相反。求列車位移為2d時的速度大小。

點評：回路中的部分導體切割磁感線時，運動過程中掃過一定的面積，根據法拉第電磁感應定律可求出這個過程中流過導體的電荷量，再利用動量定理可求解某時刻的動量，從而可求出某時刻的速度。

（1）在t=0時刻，用垂直于金屬棒的水平外力F向右拉金屬棒cd，使其從靜止開始沿導軌以加速度a0=5 m/s2做勻加速直線運動，金屬棒cd運動多長時間后金屬棒ab開始運動？

（2）若用一個適當的水平外力F。（未知）向右拉金屬棒cd，使其速度達到v2=20 m/s后沿導軌勻速運動，此時金屬棒ab也恰好以恒定速度沿導軌運動，求金屬棒ab沿導軌運動的恒定速度大小和金屬棒cd勻速運動時水平外力F0的功率。

（3）當金屬棒ab運動到導軌QiNi位置時剛好碰到障礙物而停止運動，同時將作用在金屬棒cd上的水平外力改為F1 =0.4 N，金屬棒cd的速度立即變為v0=3 m/s，經過一段時間金屬棒cd停止運動，求金屬棒ab停止運動后金屬棒cd運動的距離。

二、動量守恒定律在電磁感應中的應用

在電磁感應中，當位于導軌上的等寬雙桿做切割磁感線運動時，將產生兩個電源，同時為回路供電，因為流過兩桿的電流是同一電流，所以兩桿受到的安培力大小相等、方向相反。以兩桿組成的系統為研究對象，兩個安培力的合力為零，若系統所受其他外力的合力也為零，則系統滿足動量守恒定律。

方法與總絡

在電磁感應的綜合問題中：若求電荷量，則需把安培力的沖量BIL△t利用電流的定義式I=q/△t進行代換，即BIL△t=BLq;若求時間，則可借助于恒力的沖量進行處理;若題目中涉及位移、速度等，則由于安培力是變力，故動力學觀點中勻變速直線運動的公式不再適用;若題目考查的是功能關系，則由于能量觀點中的焦耳熱無法求出相對應的有效值而不能應用，此時選用動量定理可使得問題迎刃而解;若題目以等寬雙桿在磁場中的運動為背景，則由于回路中為同一電流，兩桿所受安培力等大反向，系統所受合力為零，故可應用動量守恒定律順利求出桿的速度。

跟蹤訓練

1.如圖7所示，平行光滑導軌傾斜放置，導軌平面的傾角θ=37度，導軌間距t=0.5 m，導軌上端接有電源、開關S和定值電阻R，電源的電動勢E=3 V，內阻r=0.5 Ω，定值電阻R=2 Ω，整個導軌處在垂直于導軌平面向上的勻強磁場中，磁感應強度B=lT，將一個導體棒放在導軌上，閉合開關S，此時導體棒恰好靜止。導體棒與金屬導軌垂直且接觸良好，導體棒接入電路的電阻R0=2 Ω，導軌的電阻不計，導軌足夠長，取g=10 m/s2 ，sin 37度= 0. 6 ，求 ：

（l）導體棒的質量m。

（2）斷開開關S，導體棒沿導軌向下運動，開關s斷開后10/3s，導體棒恰好勻速運動，則導體棒在10/3s內產生的焦耳熱為多少？

2.如圖8所示，兩根平行光滑金屬導軌MiNiP，、M2 N2 P2均由四分之一圓弧部分與水平部分構成，導軌右端固定兩根絕緣柱，弧形的半徑r=0.8 m，導軌間距l=1 m，導軌的水平部分處于豎直向上的勻強磁場中，磁感應強度B=2 T。兩根完全相同的金屬棒a、b分別垂直導軌靜置于圓弧頂端和水平部分中某位置，兩金屬棒的質量均為m=1 kg，電阻均為R=2 Ω。金屬棒a由靜止釋放，沿圓弧滑人導軌水平部分，此后，金屬棒6向右運動，在導軌右端與絕緣柱發生碰撞且無機械能損失，金屬棒6接觸絕緣柱之前兩金屬棒已勻速運動且未發生碰撞。金屬棒6與絕緣柱發生碰撞后，在距離絕緣柱x1=0.5 m的AIA2位置與金屬棒a發生碰撞，碰后停在距離絕緣柱x2=0.2 m的A3A4位置。整個運動過程中金屬棒與導軌接觸良好，導軌電阻不計，取g=10 m/s2。求：

（1）金屬棒a剛滑人導軌水平部分時，受到的安培力大小。

（2）從金屬棒b與絕緣柱碰撞結束瞬間到與金屬棒a碰撞前瞬間的過程中，整個回路中產生的焦耳熱。

參考答案：

1.（1）m=1/12kg。 （2）Q0=8/3J。

2.（1）F安=4 N。（2）Q=3 J。

（責任編輯 張巧）