高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問(wèn)題分析

陳永科

【摘 要】隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)和考察更加重視問(wèn)題實(shí)際化，數(shù)學(xué)應(yīng)用題當(dāng)中有很多最值問(wèn)題都是與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合進(jìn)行考察，這在一定程度上也提高了解題難度，成為許多高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。而解決這類(lèi)問(wèn)題最為主要的一點(diǎn)就是建模，利用已知的數(shù)學(xué)模型對(duì)其進(jìn)行解決，會(huì)使問(wèn)題顯得更為簡(jiǎn)單。本文主要探討了幾種最為常用的最值問(wèn)題解題方法與問(wèn)題解析的一般步驟。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用題；最值問(wèn)題；建模

高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)具有更強(qiáng)的復(fù)雜性，更加重視對(duì)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題能力的考察，而最值問(wèn)題作為高考最為常見(jiàn)的一類(lèi)題型，已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的重點(diǎn)。作為一名高中數(shù)學(xué)教師，怎樣才能有效引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此類(lèi)問(wèn)題形成更好的解答，更好的形成解題思路，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，值得廣大教育工作者更為深入的探索。

1.高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最值問(wèn)題的主要解法

與其他類(lèi)型的數(shù)學(xué)題相比，高中階段應(yīng)用題當(dāng)中的最值問(wèn)題通常背景較為復(fù)雜，而且涉及面較廣，其解題方法較為靈活多變，屬于學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。也是高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)活動(dòng)開(kāi)展的重點(diǎn)，可以將其主要解法歸納為以下幾個(gè)方面：

1.1函數(shù)模型解法

函數(shù)屬于高中數(shù)學(xué)當(dāng)中的重點(diǎn)內(nèi)容，與函數(shù)相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題題目來(lái)源十分廣泛，題型往往比較新穎，解題方法靈活多變，屬于高考中的熱點(diǎn)內(nèi)容。在許多應(yīng)用題當(dāng)中都會(huì)涉及到方案最優(yōu)化的內(nèi)容，解決的方法則通常為建立目標(biāo)函數(shù)，把問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為對(duì)目標(biāo)函數(shù)最值的求解。而求解函數(shù)模型的方法主要包括配方法、數(shù)形結(jié)合、基本不等式、單調(diào)性、求導(dǎo)以及三角函數(shù)有界性等，具體應(yīng)該采用何種方法應(yīng)該結(jié)合具體問(wèn)題進(jìn)行具體分析。

例1：在冬季保暖與夏季制冷中減少能源消耗，需要在房屋屋頂以及外墻部位加設(shè)隔熱層。一幢居民樓設(shè)計(jì)建造可使用至少二十年的隔熱層，其每厘米隔熱層的建造成本是6萬(wàn)元。此建筑每年所需的能源消耗費(fèi)用c（單位：萬(wàn)元）和隔熱層的厚度x（單位：厘米）之間滿(mǎn)足關(guān)系c（x） （0≤x≤10），如果不設(shè)置隔熱層，每年的能耗費(fèi)用是8萬(wàn)元。設(shè)f（x）是建造費(fèi)用跟二十年能耗費(fèi)用二者之和。①求k值和f（x）表達(dá)式；②當(dāng)隔熱層修建厚度為多少時(shí)，總費(fèi)用最小，求出最小值。

解：①由題干可知隔熱層厚度是x，每年能源費(fèi)用是c（x） 。因?yàn)閏（0）=8，可得k=40，所以c（x） 。而建造費(fèi)用是c （x）=6x。得到兩者費(fèi)用之和是：f（x）=20c（x）+c （x）=20× +6x= +6x（0≤x≤10）

②f'（x）=6- ，現(xiàn)令f'（x）=0，則 =6，求解得x=5，x=- （舍去）。所以x=5時(shí)，f（x）為最小值，代入得f（5）=70。所以在隔熱層為5厘米厚的時(shí)候，總費(fèi)用最低，為70萬(wàn)元。

1.2不等式組模型解法

不等式模型也是應(yīng)用題中最值問(wèn)題的常用解法，其主要涉及到物資調(diào)配、最優(yōu)決策以及統(tǒng)籌安排等實(shí)際問(wèn)題。求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于找出各種變量之間的關(guān)系，隨后列出不等式，求解即可。

例2：某廠(chǎng)家生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)甲產(chǎn)品一噸需要耗費(fèi)A原料3噸和B原料2噸，而每生產(chǎn)乙產(chǎn)品一噸需要耗費(fèi)A原料1噸和B原料3噸。每噸甲產(chǎn)品銷(xiāo)售后廠(chǎng)家可獲利5萬(wàn)元，每噸乙產(chǎn)品銷(xiāo)售后可獲利3萬(wàn)元。此企業(yè)一個(gè)生產(chǎn)周期之內(nèi)消耗A、B兩種原料量分別不超過(guò)13噸和18噸，則企業(yè)能夠獲得的最大利潤(rùn)為多少？

解：設(shè)當(dāng)甲、乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)x和y噸時(shí)，利潤(rùn)z最大，由題意得出線(xiàn)性約束條件： 3x+y≤13

2x+3y≤18

x≥0

y≥0，求函數(shù)z=5x+3y的最大值。如圖1，可得出最優(yōu)解是 x=3

y=4，因此zmax=27，則該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)最多能獲利27萬(wàn)元。

1.3幾何模型解法

對(duì)幾何模型的解析通常會(huì)涉及到光的折射、橋梁以及人造衛(wèi)星等問(wèn)題。該類(lèi)問(wèn)題通常需要建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合有關(guān)解析幾何方面的相關(guān)知識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決。而立體幾何模型通常會(huì)涉及面積、體積以及空間觀(guān)測(cè)等問(wèn)題。此類(lèi)問(wèn)題需要利用立體幾何以及三角函數(shù)等方面的知識(shí)進(jìn)行解決。

例3：如圖2所示，衛(wèi)星與地面間電視信號(hào)沿著直線(xiàn)進(jìn)行傳播，電視信號(hào)可以傳達(dá)到的地面區(qū)域稱(chēng)之為衛(wèi)星覆蓋區(qū)域。某國(guó)發(fā)射的衛(wèi)星距離地球表面約36000千米。已知地球的半徑是6400千米，則該衛(wèi)星覆蓋區(qū)域當(dāng)中任意兩點(diǎn)之間球面距離的最大值為多少？

解：如圖2所示，AO=36000+6400=42400，OB=OA=6400，圓O'是衛(wèi)星覆蓋區(qū)域邊界，AB是圓O'直徑，因此在Rt△ABO當(dāng)中，cos∠AOB=8/53，因此覆蓋區(qū)域當(dāng)中任意兩點(diǎn)距離最大值L=θ·R=2∠AOB·R=12800arccos8/53。

1.4概率統(tǒng)計(jì)模型解法

該類(lèi)題目通常是考察學(xué)生一些相對(duì)較為簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量問(wèn)題、概率問(wèn)題、抽樣問(wèn)題以及頻率分布問(wèn)題等。在求解的過(guò)程當(dāng)中，需要依據(jù)題目中的條件，同時(shí)結(jié)合考察內(nèi)容，具體選擇合適的解題方法。在目前新課程實(shí)施節(jié)奏逐漸加快的背景之下，作為一種十分新穎的內(nèi)容，概率統(tǒng)計(jì)模型在高考中占據(jù)了更加重要的位置。

2.高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最值問(wèn)題解析的一般步驟

經(jīng)過(guò)上文的論述可以發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用題當(dāng)中的最值問(wèn)題屬于一類(lèi)較為特殊的應(yīng)用問(wèn)題，其具有較強(qiáng)的復(fù)雜性，覆蓋面較廣。不過(guò)，其解題步驟跟普通應(yīng)用題解題的步驟則較為相似，需要學(xué)生足夠認(rèn)真，以免在解題過(guò)程中遺漏一些細(xì)節(jié)。

結(jié)束語(yǔ)

總而言之，應(yīng)用題當(dāng)中的最值問(wèn)題屬于高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在高考中的占比在逐年上升，需要引起廣大師生的高度關(guān)注。數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)活動(dòng)中要積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)和歸納，讓學(xué)生在腦海中建立起更為豐富的數(shù)學(xué)模型，抓住題目中的每一個(gè)細(xì)節(jié)，更加高效而準(zhǔn)確的解決最值問(wèn)題，為教學(xué)質(zhì)量的不斷提升形成良好的保障。

【參考文獻(xiàn)】

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