讓數學活動在三疑三探中升華

【摘要】數學活動屬于“綜合與實踐”課程內容.實施“設疑引探—解疑合探—質疑再探”的模式組織數學活動，充分體現了數學活動自主參與性、綜合性、實踐性、開放性，通過深入挖掘教材，以問題為課堂活動導向，調動學生自主思考與合作交流，注重活動經驗積累和思想方法滲透，學生數學抽象和函數建模等訓練可以得到不斷升華.

【關鍵詞】數學活動;三疑三探;升華

數學活動是一類以問題為載體，以學生自主參與為主的學習活動，它屬于“綜合與實踐”課程內容，分散安排在每一單元后面，初中階段共安排了71個數學活動.在學習活動中，學生要廣泛聯系生活實際、綜合運用“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”等本學科和其他學科的知識和方法解決問題.學生必須積極動腦、動手、動口、認真觀察、實驗、操作、主動合作、探究，參與活動全過程.數學活動具有較強的自主性、綜合性、實踐性，但課堂組織難度大，因此并沒有得到教師和學生的足夠重視.

如何有效組織數學活動？“設疑引探—解疑合探—質疑再探”的課堂組織形式，以問題為課堂活動導向，以探究為活動主線，可讓數學活動更加精彩，讓學生數學素養得到升華.

下面以二次函數單元的數學活動1為例，談談自己的教學實踐與思考.

（1）觀察下列兩個兩位數的積（兩個乘數的十位上的數都是9，個位上的數的和等于10），猜想其中哪個積最大.

91×99，92×98，…，98×92，99×91.

（2）觀察下列兩個三位數的積（兩個乘數的百位上的數都是9，十位上的數與個位上的數組成的數的和等于100），猜想其中哪個積最大.

901×999，902×998，…，998×902，999×901.

對（1）（2），你能用二次函數的知識說明你的猜想正確嗎？

（人教版義務教育教科書九年級上冊第54頁）

一、設疑引探

首先，探究問題（1）.

思路一：計算驗證法

方法一（直接計算）

91×99=9 009，

92×98=9 016，

93×97=9 021，

……

方法二（應用多項式乘法或頭同尾合十的口訣算法）

91×99=（90+1）×（90+9）=8 100+90×（1+9）+1×9=9 000+9，

92×98=（90+2）×（90+9）=8 100+90×（2+8）+2×8=9 000+16，

93×97=（90+3）×（90+7）=8 100+90×（3+7）+3×7=9 000+21，

……

方法三（應用平方差公式）

91×99=（95-4）×（95+4）=952-42=9 025-16，

92×98=（95-3）×（95+3）=952-32=9 025-9，

93×97=（95-2）×（95+2）=952-22=9 025-4，

……

小結、提問：由對稱性可知，只需直接（或巧用公式）計算前五個積，逐個比較，馬上可以驗證問題（1）中哪個乘積最大.假如三位數乘三位數，且共有100組，你能快速猜想哪一組的乘積最大并加以說明嗎？

設計意圖：在反思中總結方法，在提問中拓展過渡.

思路二：函數建模法

認真觀察91×99，92×98，…，98×92，99×91這一列數，積依次在變.是兩個乘數中哪一部分的變化引起積在變化？

設計意圖：依據函數本質設置問題.

通過數學抽象和數學建模，問題（1）的任何一個乘積都可以用如下二次函數模型表示：y=（90+x）（90+10-x），x=1，2，3，4，…，8，9.

此為開口向下拋物線，交x軸于兩點（-90，0）和（100，0），其頂點橫坐標x=-90+1002=5，所以當x=5時，乘數（90+x）與（90+10-x）都是95，函數y有最大值，最大值是.

學生設什么為自變量x，可能還有不同的設法，教師要及時肯定評價;學生如沒有其他不同解法，教師可適當簡介下列第一種解法.設什么為自變量x、設什么為函數y，是本思路的第一個難點;建立函數模型后，如何快速地求出函數最大值，是第二個難點.教師做好示范后，為化解難度，以填空的形式，一步一步引領學生自主完成如下問題的探究：

若設第一個乘數為x，則第二個乘數表示為，設這兩個乘數的積為y，則函數關系式為，自變量x的取值范圍為，頂點坐標為.所以當第一個乘數為，第二個乘數為時，函數y有最大值，最大值是.

若設第一個乘數為95-x，則第二個乘數表示為，設這兩個乘數的積為y，則函數關系式為，自變量x的取值范圍為，頂點坐標為.所以當第一個乘數為，第二個乘數為時，函數y有最大值，最大值是.

二、解疑合探

對問題（1），我們已經知道，頭九尾合十的兩個兩位數相乘，共有9項乘積，什么情況下乘積最大.但問題（2）中，已擴展到兩個三位數乘三位數，而且擴展至99項乘積，哪個乘積最大呢？怎樣說明你的猜想正確？請大家先自主思考，再小組交流，最后小組展示.

預設1：學生類比問題（1）的結論得到對問題（2）的猜想.也可以計算問題（2）前面三四個乘積，得到乘積的初步變化趨勢，再歸納得到猜想.

預設2：問題（2）中三位數乘三位數，因為逐個計算要計算99次（考慮到對稱性也至少要計算50次），學生肯定不考慮計算驗證法.

預設3：有了問題（1）的探究經驗做鋪墊，面對901×999，902×998，…，998×902，999×901新情境下建立函數模型解題的必要性和優越性學生應有較強的意識和感悟，但對解法的遷移，解法訓練應是本課的重點，所以必須要求學生寫出完整解題過程：設出自變量x和函數y、列出函數關系式、寫出自變量x取值范圍、求出頂點，答題.化解數學活動的難點更要充分體現學生主體性、參與性.鼓勵學生合作交流.

預設4：有了問題（1）的多角度設自變量的經驗積累，學生思維具有一定開放性.要鼓勵和引導學生發散思維，教師可以安排兩個小組分別展示各自不同的解法.

預設5：學生能總結反思、自主建構.總結探究過程的邏輯聯系，反思自己的思想方法，歸納題目蘊含的結論、規律.

至此，本次數學活動，問題全部解決.通過類比、歸納等合情推理得到猜想，再驗證或證明猜想正確.其中建立二次函數模型來說明猜想正確的方法，既簡明又有說服力.還得到了兩個數學結論.教師放手學生自主探究、合作交流，師生角色定位良好.教師設置疑問恰到好處.以問題引導探究活動，在探究中學會發現.安排自主思考與合作交流相結合，學生綜合應用知識解決問題的能力、數學抽象和數學建模能力得到實實在在的訓練.

三、質疑再探

質疑一：問題（2）與問題（1）情境雖然不同，但兩者是否反映了一個共同規律？（預設：和一定的兩個正數，當它們相等時，它們的乘積最大.分清楚命題的題設與結論，反復讀一讀、記一記、悟一悟、拓一拓.）

追問1：問題（1）中，頭9尾合十，改為頭6尾合8，也就是61×67，62×66，…，66×62，67×61中哪個積最大？

追問2：1×199，2×198，3×197，…，197×3，198×2，199×1中哪個積最大？

以上設計意圖：通過變式和拓展，逐步加深對問題本質的認識.

質疑二：這個規律如何表述？

除了用文字表述，你還可以用數學符號語言怎樣表示？（預設：優秀學生可以理解a>0，b>0時ab≤（a+b）24，當且僅當a=b時，等號成立.這樣，自然地滲透了基本不等式，屬于高中內容，教師點到即止，把握尺度.還可結合下面回顧，用典型圖形表述.）

追問1：根據上述結論，你能自編一道類似的最值問題嗎？

設計意圖：從不同角度認識問題本質.

質疑三：這個規律有何應用？

“兩個正數和一定，積最大”.生活中最常用的實例有哪些？（體現數學活動的綜合性與實踐性.）

回顧人教版義務教育教科書九年級上冊第49頁探究1“用周長為60 m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化，當l是多少米時，場地的面積S最大？”

回顧人教版義務教育教科書九年級上冊第52頁第4題“已知直角三角形兩條直角邊的和等于8，兩條直角邊各為多少時，這個直角三角形的面積最大？最大面積是多少？”

回顧人教版義務教育教科書九年級上冊第51頁第2題“某種商品每件的進價為30元，在某段時間內若以每件x元出售，可以賣出（100-x）件，應如何定價才能使利潤最大？”

回顧人教版義務教育教科書九年級上冊第52頁第7題“如圖所示，點E，F，G，H分別在正方形ABCD的四條邊上，四邊形EFGH也是正方形，當點E位于何處時，正方形EFGH的面積最小？”

設計意圖：數學活動作為一個單元內容全部結束之后的“綜合與實踐”，是前面學過的例題、習題等主干知識、方法和應用的回顧與復習.

“設疑引探—解疑合探—質疑再探”的“三疑三探”課堂組織模式，充分體現了數學活動自主參與性、綜合性、實踐性、開放性;通過深入挖掘教材，以問題為課堂活動導向，調動學生自主思考與合作交流，注重活動經驗積累和思想方法滲透，學生數學抽象和函數建模能力得到不斷升華.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心.義務教育教科書數學·九年級·上冊[M].北京：人民教育出版社，2014.

[3]邱炯亮.數學教學與模式創新[M].北京：九州出版社，2017.