立足本質(zhì)理解算理掌握算法

張微

【摘要】分?jǐn)?shù)除法是小學(xué)階段數(shù)與運(yùn)算內(nèi)容中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，是小學(xué)階段最后一次學(xué)習(xí)有關(guān)除法的內(nèi)容.它與分?jǐn)?shù)乘法的意義、計(jì)算及其應(yīng)用都有著密切的聯(lián)系，同時(shí)，還和整數(shù)除法的意義有關(guān).

【關(guān)鍵詞】理解管理;掌握算法

一、現(xiàn)象分析

備課之前我查閱了一些資料，發(fā)現(xiàn)有些教師根據(jù)課堂教學(xué)進(jìn)行了教學(xué)后測，后測結(jié)果顯示，86%的學(xué)生學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)除法以后，能依據(jù)分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算，并能夠得到正確的結(jié)果，但當(dāng)教師問及“為什么除以一個(gè)數(shù)（0除外）可以乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”時(shí)，有近40%的學(xué)生不知如何回答，對(duì)算理解釋不清，只有20%的學(xué)生能結(jié)合課上的思考過程進(jìn)行合理的解釋，這三個(gè)數(shù)據(jù)產(chǎn)生的原因引發(fā)了我的關(guān)注和思考.

（一）學(xué)生方面

對(duì)程序性的知識(shí)只關(guān)注結(jié)果.

從上面的數(shù)據(jù)可以看出，對(duì)分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法并不是教學(xué)的難點(diǎn)，而真正的難點(diǎn)在于計(jì)算方法背后的道理.另外，學(xué)生缺少對(duì)問題本質(zhì)的探究.

（二）教師方面

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)關(guān)注不夠，過程性目標(biāo)和可持續(xù)發(fā)展目標(biāo)缺失，導(dǎo)致教師在教學(xué)過程中關(guān)注更多的是算法而非算理，在分?jǐn)?shù)除法計(jì)算教學(xué)時(shí)，認(rèn)為只要記住“除以一個(gè)數(shù)（0除外）等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”這個(gè)結(jié)論，能熟練運(yùn)算就算教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成.

二、我的思考

那么如何讓學(xué)生更好地理解算理，掌握算法呢？

華羅庚說過：“善于‘退，足夠‘退，‘退到最原始的而不失去重要的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的訣竅.”除法是計(jì)算分?jǐn)?shù)除法的原始方法，也是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法的基礎(chǔ).

基于以上的認(rèn)識(shí)：我們從除法運(yùn)作本質(zhì)的角度，來理解“顛倒相乘”算法方面做了一些思考.

（一）什么是運(yùn)作？

1.詞典中的解釋

運(yùn)作：運(yùn)行和操作.運(yùn)作是一種操作層面的理解.

2.我們理解計(jì)算中的“運(yùn)作”

運(yùn)作：指的是借助圖示和模型將抽象的算理形象化，再將具體的運(yùn)算分解成若干步驟，從而使計(jì)算過程形成一種程序化的步驟，最終得到計(jì)算結(jié)果.也就是通過運(yùn)作的過程不僅能知道計(jì)算方法，還能理解為什么這么算的道理？

如，一個(gè)分?jǐn)?shù)除以一個(gè)整數(shù)，借助直觀圖理解將這個(gè)分?jǐn)?shù)平均分幾份，再取1份，最后再轉(zhuǎn)化為求這個(gè)分?jǐn)?shù)的幾分之一是多少.

通過這樣的運(yùn)作過程，借助圖形語言，將抽象的算理形象化，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)思考變得簡單易懂.

（二）運(yùn)作在除法中如何體現(xiàn)？

1.運(yùn)作在分?jǐn)?shù)除法中的體現(xiàn).

分?jǐn)?shù)除法包括分?jǐn)?shù)除以整數(shù)和一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù).

運(yùn)作在分?jǐn)?shù)除以整數(shù)中，主要體現(xiàn)在：借助直觀圖，先分，再取，再轉(zhuǎn)化，即將分?jǐn)?shù)平均分成幾份，再求一份，最后轉(zhuǎn)化成求這個(gè)分?jǐn)?shù)的幾分之一，從而使抽象的算理形象化.

運(yùn)作在一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)中，主要體現(xiàn)在借助線段圖直觀地展示推算的過程，將除數(shù)的運(yùn)作意義回歸到以“份”為單位，即先求“一份”是多少，再求這樣的幾份是多少.在將情境中的邏輯關(guān)系程序化的過程中，使計(jì)算的操作步驟程序化，從而理解分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算需要“顛倒相乘”求結(jié)果.綜上所述，只要是分?jǐn)?shù)除法，都可以借助幾何直觀，經(jīng)歷先分再取的運(yùn)作過程.由此我們聯(lián)想到分?jǐn)?shù)除法中的運(yùn)作是否可以推廣到整數(shù)，小數(shù)除法中呢？

2.分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法，小數(shù)除法的聯(lián)系.

整數(shù)，小數(shù)除法的算理：

整數(shù)除法：8÷2=4，就是8個(gè)一平均分2份，結(jié)果是4個(gè)一.

小數(shù)除法：0.8÷2=0.4，就是8個(gè)0.1平均分2份，結(jié)果是4個(gè)0.1.

分?jǐn)?shù)除法：45÷2=25，就是把4個(gè)15平均分2份，結(jié)果是2個(gè)15.

綜觀整數(shù)除法，小數(shù)除法，整數(shù)除法平均分的是整數(shù)計(jì)數(shù)單位（“個(gè)”“十”“百”“千”……），小數(shù)除法平均分的是更小的小數(shù)計(jì)數(shù)單位（0.1，0.01，0.001，…），二者實(shí)質(zhì)上都是在把計(jì)算單位的個(gè)數(shù)進(jìn)行平均分，凸顯了位值制和十進(jìn)制.而分?jǐn)?shù)除法平均分的是分?jǐn)?shù)單位，當(dāng)分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)無法直接平均分時(shí)，還需要把分?jǐn)?shù)單位再細(xì)分.

由此可見：整數(shù)除法，小數(shù)除法，分?jǐn)?shù)除法都是把計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)進(jìn)行平均分，它們的本質(zhì)都可以化歸為運(yùn)作——先分，再取.也就是先除再乘.

三、除法運(yùn)作在這兩節(jié)課是如何落實(shí)的？

（一）借助圖形去支撐算法的理解，使抽象的算理形象化

分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，如45÷2=4÷25，借助平均分的意義把4個(gè)15平均分成2份，每份是（4÷2）個(gè)15.也可以借助分?jǐn)?shù)的意義先把45平均分成2份，再取其中的1份，也就是求45的12.

兩種算法雖然形式不同，但都是用圖形語言揭示分?jǐn)?shù)除法計(jì)算過程的幾何意義，溝通除法意義和分?jǐn)?shù)乘法意義之間的聯(lián)系，接著引出分子不能被除數(shù)整除的情況.讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的探索過程，進(jìn)而理解把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求其中的1份，就是求這個(gè)數(shù)的幾分之一是多少.

（二）借助線段圖，使抽象的運(yùn)算步驟化

一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)：小明23小時(shí)走了2 km，1小時(shí)行了多少千米？在理解2÷23算理時(shí)，借助線段圖的直觀方式，明確23小時(shí)是把1小時(shí)平均分成3份，表示這樣的2份.在學(xué)生明確對(duì)應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上，借助“份”這個(gè)基本概念，從運(yùn)作的角度對(duì)一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算法進(jìn)行直接合理的解釋：先求一份，就是把2千米平均分成2份，求2千米的12，再取這樣的3份（再×3），也就是求2的32，由于有了直觀圖的運(yùn)作，降低了學(xué)生對(duì)2×12×3中每一步的理解難度，從而使抽象的運(yùn)算步驟化.

綜上所述，在研究的過程中，我們認(rèn)為，對(duì)程序性的知識(shí)，通過借助直觀和線段圖，經(jīng)歷先分再取的運(yùn)作過程，有助于學(xué)生抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，不對(duì)抽象的算理望而生畏.