數(shù)學(xué)方法在高中運(yùn)動(dòng)學(xué)問題解決中的應(yīng)用①

(湖南省岳陽(yáng)市第一中學(xué)，湖南 岳陽(yáng) 414000)

在新課標(biāo)理綜(物理)考試大綱中,對(duì)于運(yùn)用數(shù)學(xué)方法處理物理問題的能力有明確說明:能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式,進(jìn)行推導(dǎo)和求解,并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論;能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)、分析。下文將通過幾道經(jīng)典的運(yùn)動(dòng)學(xué)例題,探討數(shù)學(xué)方法在物理問題解決中的應(yīng)用。

1 用定積分巧解變加速運(yùn)動(dòng)中的時(shí)間問題

例1：假設(shè)小球在空氣中下落過程受到的空氣阻力與球的速率成正比,即f=kv,比例系數(shù)k決定于小球的體積,與其他因素?zé)o關(guān),讓體積相同而質(zhì)量不同的小球在空氣中由靜止下落,它們的加速度與速度的關(guān)系圖像如圖1所示,則( )。

圖1

A. 小球的質(zhì)量越大,圖像中的a0越大

B. 小球的質(zhì)量越大,圖像中的vm越大

C. 小球的質(zhì)量越大,速率達(dá)到vm時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間越短

D. 小球的質(zhì)量越大,速率達(dá)到vm時(shí)下落的距離越長(zhǎng)

(1) 當(dāng)v=0時(shí),a=a0=g,與小球的質(zhì)量無(wú)關(guān),A選項(xiàng)錯(cuò)誤。

評(píng)析:本題C、D選項(xiàng)還可以利用a-t圖像,v-t圖像進(jìn)行定性討論,在此不展開討論。利用積分的方法,無(wú)限逼近最大速度,解決了運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題,將“速度變化量是加速度對(duì)時(shí)間的定積分,加速度是速度對(duì)時(shí)間的求導(dǎo)”的關(guān)系體現(xiàn)出來(lái)。

2 利用一元二次函數(shù)和不等式的特點(diǎn)巧解追及與相遇問題

2.1 利用對(duì)稱軸求最值

例2:一輛汽車在十字路口等待綠燈,當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以a=3m/s2的加速度開始行駛,恰在這時(shí)一人騎自行車以v0=6m/s的速度勻速駛來(lái),從后邊超過汽車,試問:汽車從路口開動(dòng)后,在追上自行車之前經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)?最遠(yuǎn)距離是多大?

圖2

本例利用一元二次函數(shù)解決追及相遇中的最大距離的問題,將物理情景轉(zhuǎn)化到學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)函數(shù),幫助學(xué)生理解相距最遠(yuǎn)時(shí)速度應(yīng)該滿足的條件。

2.2 利用判別式求滿足條件的范圍

例3:甲、乙兩車在同一直線軌道上同向行駛,甲車在前,速度為v1=8m/s,乙車在后,速度為v2=16m/s,當(dāng)兩車相距x0=8m時(shí),甲車因故開始剎車,加速度大小為a1=2m/s2,為避免相撞,乙車立即開始剎車,則乙車的加速度至少為多大?

本例利用一元二次不等式來(lái)解決不相撞的臨界條件,根據(jù)判別式小于零使得不等式恒成立,從而求出加速度范圍。

3 用基本不等式快速求解最值問題

例4:一水池水深H=0.8m，現(xiàn)從水面上方h=0.8m高處由靜止釋放一質(zhì)量為m=0.1kg的硬質(zhì)球體,測(cè)得球體從釋放到落至水池底部用時(shí)t=0.6s。已知球體直徑遠(yuǎn)小于水池深度,不計(jì)空氣及水的阻力,取g=10m/s2。

(1) 通過計(jì)算判斷球體在水中運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。

(2) 從水面上方多高處?kù)o止釋放小球,才能使小球落至池底所用時(shí)間最短?

應(yīng)用基本不等式來(lái)求解高中物理問題很常見。本例的第(2)問是一個(gè)比較復(fù)雜的物理問題,通過基本不等式的求解,直接簡(jiǎn)化了物理模型的構(gòu)建,可以比較快速地將最值問題解決。