基于DVL信息輔助下的捷聯(lián)慣導(dǎo)初始對(duì)準(zhǔn)可觀測(cè)性分析?

羅銀波 張光俊 胡柏青 常路賓

（1.海軍駐九江地區(qū)軍事代表室 九江 332000）（2.海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系 武漢 430000）

1 引言

目前的水下導(dǎo)航技術(shù)使以前被認(rèn)為不可能或不切實(shí)際的新興應(yīng)用成為可能，包括自主海軍作戰(zhàn)，海洋學(xué)研究和冰下調(diào)查。盡管取得了重大進(jìn)展，但精確導(dǎo)航仍然是對(duì)所有水下平臺(tái)的重大挑戰(zhàn)［1～2］全球定位系統(tǒng)（GPS）為水面以上的車輛提供卓越的三維導(dǎo)航功能，但由于GPS射頻信號(hào)的水堵，不能在水下。這限制了GPS用于測(cè)量聲學(xué)轉(zhuǎn)發(fā)器或幫助水下應(yīng)用的傳感器校準(zhǔn)［2］。聲學(xué)導(dǎo)航廣泛用于有限區(qū)域的科學(xué)和工業(yè)水下航行器，其需要事先小心地將信標(biāo)固定或停泊在海床上或水面艦艇的船體上。

多波束多普勒計(jì)程儀（Doppler Velocity Log，DVL）可以提供海底跟蹤或水層跟蹤3-D速度。計(jì)程儀的測(cè)量值是絕對(duì)速度，而且測(cè)量值中不含有隨時(shí)間積累的誤差［3～4］。當(dāng)IMU測(cè)量任意三維（3D）角速度和平移加速度時(shí)，IMU可以測(cè)量任意三維（3D）角速度和平移加速度，從而產(chǎn)生導(dǎo)航信息。使用IMU進(jìn)行DVL聯(lián)合可以在未開發(fā)區(qū)域進(jìn)行大規(guī)模水下導(dǎo)航。它們?cè)谔卣魃舷嗷パa(bǔ)充。DVL速度有助于IMU減輕累積的導(dǎo)航誤差和校準(zhǔn)慣性傳感器誤差。另一方面，IMU的短時(shí)穩(wěn)定性有助于DVL自適應(yīng)地更新由于水溫和密度等環(huán)境因素而可能發(fā)生顯著變化的參數(shù)［5～6］。

在利用DVL與SINS進(jìn)行初始對(duì)準(zhǔn)時(shí)，一般將系統(tǒng)誤差及相關(guān)器件的誤差作為狀態(tài)變量進(jìn)行濾波估計(jì)，狀態(tài)估計(jì)的精度及速度決定著系統(tǒng)初始對(duì)準(zhǔn)的速度及精度，而狀態(tài)估計(jì)的精度及速度又與系統(tǒng)的可觀測(cè)性有很大關(guān)系，當(dāng)被估計(jì)的狀態(tài)不可觀測(cè)或者可觀測(cè)性較低時(shí)，將狀態(tài)估計(jì)值反饋給系統(tǒng)會(huì)造成系統(tǒng)的精度下降甚至發(fā)散，因此需要對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變量進(jìn)行可觀測(cè)性及可觀測(cè)度的分析，常用的可觀測(cè)分析方法有三種：第一種是1992年Goshen-Meskin和Bar-Itzhack等提出的分段線性定常系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱 PWCS）的可觀測(cè)分析方法［7～9］；第二種是1997年?yáng)|南大學(xué)提出的基于系統(tǒng)可觀測(cè)矩陣奇異值分解（SVD）的方法［10～12］；第三種是Ham提出的利用卡爾曼濾波器的估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量來(lái)分析的可觀測(cè)性分析方法［13］。第一種方法只能分析SINS是否能完全被觀測(cè)，對(duì)于不能完全被觀測(cè)的系統(tǒng)不能定量進(jìn)行分析由于SINS屬于線性時(shí)變系統(tǒng)，判斷其是否可觀測(cè)性比較復(fù)雜，不能簡(jiǎn)單通過(guò)秩來(lái)判斷；第三種方法是在Kalman濾波之后才能進(jìn)行分析，計(jì)算量大，可觀測(cè)分析復(fù)雜；而第二種方法能彌補(bǔ)第一種方法的不足，對(duì)于不完全可觀的系統(tǒng)能定量分析其可觀測(cè)度，且計(jì)算簡(jiǎn)單，能將可觀測(cè)性分析的結(jié)果直觀地呈現(xiàn)出來(lái)。本文首先對(duì)PWCS理論及SVD理論進(jìn)行了介紹，進(jìn)而構(gòu)建了基于DVL信息輔助下SINS初始對(duì)準(zhǔn)的系統(tǒng)模型，最后利于基于系統(tǒng)可觀測(cè)矩陣奇異值分解（SVD）的方法分別對(duì)模型在靜止和轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)下進(jìn)行可觀測(cè)性分析，結(jié)果表明轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)下能激勵(lì)慣性器件的各誤差參數(shù)，使基于DVL信息輔助下SINS初始對(duì)準(zhǔn)的系統(tǒng)模型可觀測(cè)。

2 PWCS理論

對(duì)于基于DVL速度輔助的捷聯(lián)慣導(dǎo)初始對(duì)準(zhǔn)，載體在每個(gè)位置時(shí)都可視為線性定常系統(tǒng)，當(dāng)載體姿態(tài)發(fā)生變化之后，系統(tǒng)進(jìn)入另一個(gè)線性定常系統(tǒng)，因此整個(gè)對(duì)準(zhǔn)過(guò)程可視為分段線性定常系統(tǒng)。因此可以利用PWCS對(duì)整個(gè)對(duì)準(zhǔn)過(guò)程進(jìn)行可觀測(cè)性分析。

PWCS系統(tǒng)有如下模型：

其中，j=1，2，…，r，在第 j時(shí)間段內(nèi)，F(xiàn)j，Hj為定常陣。

由于捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)參數(shù)的可觀測(cè)性與激勵(lì)無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)化分析問(wèn)題，只研究齊次系統(tǒng)的可觀測(cè)性。離散化后的齊次方程為

第 j時(shí)間段內(nèi)的觀測(cè)值可以表示為

對(duì)于第 j時(shí)間段內(nèi)的可觀測(cè)矩陣可表示為

對(duì)于第 j時(shí)間段內(nèi)的觀測(cè)方程可表示為

則系統(tǒng)總的觀測(cè)方程可表示為

系統(tǒng)的總觀測(cè)矩陣（Total Observability Martrix，TOM）為

定義系統(tǒng)的SOM（Stripped Observability Martrix）為

定 理 1：如 果 FjX=X ，?x∈NULL(Qj)，1≤j≤r，則 NULL{Q(r)}=NULL{Qs(r)}，Rank{Q(r)}=Rank{Qs(r)}。

從定理1可以看出，用SOM代替TOM對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可觀測(cè)性分析可大大降低系統(tǒng)的維數(shù)，降低計(jì)算量。

定理2：當(dāng)且僅當(dāng)Rank{Q(r)}=n時(shí)，系統(tǒng)是完全可觀的。

3 基于SVD的可觀測(cè)度分析方法

基于PWCS理論的可觀測(cè)分析方法只能判斷系統(tǒng)是否完全可觀測(cè)，對(duì)于不完全可觀測(cè)的系統(tǒng)，PWCS方法不能定量的分析。而基于SVD的可觀測(cè)性分析方法則能定量的分析狀態(tài)變量的可觀測(cè)度。

設(shè)系統(tǒng)的可觀測(cè)矩陣為Q，觀測(cè)序列為Z，初始狀態(tài)為 X0，則

根據(jù)矩陣?yán)碚撝衅娈愔捣纸獾姆椒?，將Q分解如下：

將式（11）代入觀測(cè)方程中有

如果 αn＞0，則

當(dāng)αr=αr+1=αr+2=…=αn=0時(shí)，

其中αi是該系統(tǒng)零空間中任意系數(shù)，該系數(shù)有很多可能的解，因此不能用觀測(cè)量將初始狀態(tài)估計(jì)出來(lái)。

當(dāng)Z具有常值范數(shù)時(shí)，X0的上界為

式（15）說(shuō)明，奇異值越大，X0的上界越小，則狀態(tài)變量的估計(jì)性越強(qiáng)。

綜合PWCS理論和基于SVD的可觀測(cè)性分析方法，總結(jié)出求系統(tǒng)各個(gè)狀態(tài)變量的可觀測(cè)度的方法，步驟如下：

1）從第一個(gè)時(shí)間段開始，令 j=1；

4）計(jì)算該時(shí)間段對(duì)應(yīng)的外觀測(cè)量Z的值；

5）根據(jù)每一個(gè)奇異值 αi與對(duì)應(yīng)的 ui，vi，計(jì)算對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量X(0)，并根據(jù)X(0)的值判斷各個(gè)狀態(tài)變量的可觀測(cè)度；

6）按照上述步驟繼續(xù)分析下一段時(shí)間段，直至最后一個(gè)時(shí)間段為止。

4 基于DVL速度信息輔助的SINS初始對(duì)準(zhǔn)系統(tǒng)模型

基于DVL速度信息輔助SINS在系泊條件下進(jìn)行初始對(duì)準(zhǔn)時(shí)，可直接利用載體系速度信息作為觀測(cè)，利用DVL提供的載體系速度和慣導(dǎo)解算的導(dǎo)航系速度之間的姿態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系構(gòu)造量測(cè)方程?？紤]到陀螺刻度系數(shù)誤差[δKG]、加速度計(jì)刻度系數(shù)誤差[δ KA]、陀螺安裝誤差[δ G ]、加速度計(jì)安裝誤差[δA]、里程計(jì)刻度系數(shù)誤差δKD其在系泊條件下的觀測(cè)模型可表示為

1）速度誤差方程

取“東北天”坐標(biāo)系為導(dǎo)航坐標(biāo)系，在系泊條件下VN=VE=0，則有

記

可得到系泊條件下以分量形式表示的速度誤差方程為

其中

2）姿態(tài)誤差方程

取“東北天”坐標(biāo)系為導(dǎo)航坐標(biāo)系，得到系泊條件下以分量形式表示的姿態(tài)誤差方程為

式中

在系泊條件下，解算得到的位置和速度即為速度誤差和位置誤差，陀螺儀和加速度計(jì)的各項(xiàng)誤差參數(shù)通過(guò)誤差傳遞影響導(dǎo)航輸出，即解算得到的導(dǎo)航誤差中包含了上述誤差源。系統(tǒng)狀態(tài)方程為

其中X包含25維變量，形式如下：

F為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，根據(jù)上一節(jié)推導(dǎo)的誤差傳播模型，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣F具有如下形式：

其中

觀測(cè)方程為

其中，觀測(cè)量 Z=[δVE，δVN，δVU]T，觀測(cè)矩陣 H 為

將式（23）和式（25）描述的系統(tǒng)進(jìn)行離散化：

上式中，Φk，k-1為一步轉(zhuǎn)移矩陣，Wk為系統(tǒng)激勵(lì)白噪聲，Vk為量測(cè)白噪聲。同時(shí)Wk和Vk滿足：

5 可觀測(cè)性分析實(shí)驗(yàn)

在不同激勵(lì)條件下，基于DVL的捷聯(lián)慣導(dǎo)初始對(duì)準(zhǔn)模型各誤差參數(shù)的可觀測(cè)性是不同的，只有可觀測(cè)的誤差參數(shù)才能通過(guò)卡爾曼濾波進(jìn)行估計(jì)，此處考慮載體靜止及轉(zhuǎn)動(dòng)的情形，其運(yùn)動(dòng)分段情況如表1所示。

表1 分段轉(zhuǎn)動(dòng)的每階段情況

限于文章篇幅，僅并列出相應(yīng)的可觀測(cè)狀態(tài)變量的奇異值表格。

1）當(dāng)載體處于靜止時(shí)，捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)指向：東、北、天，陀螺儀和加速度計(jì)敏感到的信號(hào)以及載體的姿態(tài)矩陣分別為

利用SVD分解得到靜止?fàn)顟B(tài)下各個(gè)狀態(tài)量的可觀測(cè)度如表2。

表2 位置1可觀測(cè)性

由上表可以看出，當(dāng)載體處于靜止?fàn)顟B(tài)下時(shí)，水平加速度計(jì)零偏、方位陀螺儀漂移均處于不可觀測(cè)的狀態(tài)，因此需要將全部的誤差參數(shù)激勵(lì)出來(lái)，必須依靠載體轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)完成。

2）當(dāng)載體從位置2旋轉(zhuǎn)至位置3時(shí)，起始時(shí)刻陀螺儀和加速度計(jì)敏感到的信號(hào)以及載體的姿態(tài)矩陣為

由直方圖分析載體在由位置2轉(zhuǎn)至位置3的過(guò)程中可觀測(cè)的狀態(tài)變量及其奇異值如表3所示。

由表3明顯看出，當(dāng)載體從位置2轉(zhuǎn)到位置3時(shí)，加速度計(jì)的兩個(gè)水平零偏和水平安裝誤差可觀測(cè)，陀螺儀的零漂和Y軸上的安裝誤差可觀測(cè)，另外，水平姿態(tài)角及速度誤差也是可觀測(cè)的。將載體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的可觀測(cè)情況與靜止時(shí)比較，證明載體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)能激勵(lì)慣性器件的各誤差參數(shù)，使其可觀測(cè)。

表3 位置2轉(zhuǎn)動(dòng)至位置3可觀測(cè)性

6 結(jié)語(yǔ)

本文首先對(duì)PWCS理論及SVD理論進(jìn)行了介紹，進(jìn)而構(gòu)建了基于DVL信息輔助下SINS初始對(duì)準(zhǔn)的系統(tǒng)模型，最后利于基于系統(tǒng)可觀測(cè)矩陣奇異值分解（SVD）的方法分別對(duì)模型在靜止和轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)下進(jìn)行可觀測(cè)性分析，結(jié)果表明轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)下能激勵(lì)慣性器件的各誤差參數(shù)，使基于DVL信息輔助下SINS初始對(duì)準(zhǔn)的系統(tǒng)模型可觀測(cè)。