兩種典型串、并聯機器人速度精度可靠性分析

王海芳,皇甫一樊,張 恒,褚天爭

(東北大學秦皇島分校 控制工程學院,河北 秦皇島066004)

機器人的末端速度精度直接影響了其工作性能.機器人速度精度的誤差主要來源于以下幾個方面:機器人桿件加工造成的尺寸誤差、桿件運動副間隙誤差、裝配誤差、工作環境造成的變形誤差等.目前針對閉環控制的機器人位姿精度的研究較多,采用閉環控制的機器人可以通過反饋調節減小位姿誤差,提升速度精度.但由于成本和機械結構等方面因素,開環機械臂在工業中的應用較廣泛,因此,研究開環控制的機器人位姿與速度精度有著重大的意義.

Rao等[10]結合Monte Carlo法,給出了機器人動力學可靠性的計算方法.Ting等[11-12]對空間機器人的運動副間隙誤差及桿件方向公差進行了研究.Kim等[13]建立了基于桿件尺寸加工誤差的機器人動力學可靠性模型,并將改進的一次二階矩法運用于機器人可靠性分析中.

由于機器人各組成件的幾何長度以及各關節的電機輸出速度(角速度)均存在誤差,這些隨機因素導致機器人末端速度的實際值與速度的期望值之間存在偏差.

本文分別在串聯及并聯機器人中各選取一例,以2自由度串聯機械臂以及三平動并聯平臺作為算例,建立機器人運動學模型,求出機器人末端速度的正解表達式.同時,建立了機器人可靠性模型,并運用可靠性理論進行機器人速度精度設計,從而實現對偏差的控制.本文運用可靠性靈敏度技術得出各隨機變量對速度精度可靠度的敏感程度,作為連桿參數設計時的依據.在此基礎上,得到了機器人末端執行器隨位置變化的可靠性曲線,并利用Matlab中的優化函數求出可靠性最低的位置,為機器人工作區域的選定提供了理論依據.

1 機器人運動學模型

1.1 2自由度串聯機械臂

圖1為串聯機械臂的結構簡圖.圖1中:OA為機械臂大臂,其長度為l1;AB段為小臂,其長度為l2;機械臂的末端執行器位于B位置.在機器人的結構較為簡單時,機器人的正解可通過直接求取機器人的雅克比矩陣得到[14].

機械臂關節末端位置為

(1)

雅克比矩陣為

圖1 串聯機械臂結構簡圖Fig.1 Structural sketch of the serial manipulator

(2)

由機器人運動學規律可知

(3)

對時間求導,得

(4)

聯立式(1)～式(4),可求得機械臂的關節的末端速度為

(5)

式中：vx1，vy1分別為機械臂末端沿x方向和y方向的線速度；ω1，ω2分別為機械臂末端沿x方向和y方向的角速度.

1.2 三平動并聯平臺

圖2為三平動并聯平臺的結構簡圖,動平臺幾何中心到上端球鉸鏈幾何中心的距離為r,動平臺與靜平臺之間的連桿距離為lm,靜平臺的3個移動副距離靜平臺幾何中心的距離分別為d1,d2,d3.本文研究動平臺幾何中心點的速度精度.

根據文獻[15-17],三平動并聯平臺的速度雅克比矩陣J2為

J2=

(6)

圖2 三平動并聯平臺結構簡圖Fig.2 Structural sketch of the tri-translationalparallel mechanism platform

式中:x,y,z可由式(7)～式(9)確定，即

x,y,z的表達式極為復雜,但均為精確的解析解,在此不列出.且z有正、負兩個解,分別對應動平臺在固定平臺的上下側的情況,此處,取正值進行可靠性分析.

三平動并聯平臺的速度分量可由以下雅克比矩陣求得,即

(10)

三平動并聯平臺的動平臺中心點速度v2為

(11)

2 機器人速度精度可靠性分析

2.1 速度精度可靠性定義

為了使機器人能夠正常工作,必須使其末端速度輸出誤差保持在允許范圍內.由于機器人的幾何參數存在誤差,機器人各關節速度(或角速度)的輸出值也存在誤差,因此，對于每一個位置,機器人末端的真實速度與該位置的期望速度之間存在偏差.該位置的期望速度便是機器人處于該位置時,各隨機變量取均值時的機器人末端速度,即標準速度.用概率的方法衡量真實速度偏離標準速度的可能性.由此定義機器人末端執行器的速度精度可靠性:對于每一個位置,真實速度與標準速度之間的相對偏差小于允許偏差,則視為機器人的速度精度滿足要求.構造機器人關節末端的速度可靠性狀態函數為

(12)

式中:[δ]為許用的偏差比;v為真實速度,即式(5)求出的機器人末端執行器的速度；ve為期望速度.

為了使機器人末端速度精度誤差控制在允許范圍內,需滿足:

(13)

機器人速度精度可靠性可分為兩部分討論,即滿足下限的可靠度Rs和滿足上限的可靠度Ru.兩部分的極限狀態函數分別為

整體可靠度R和Rs,Ru的關系為

(16)

經過推導可知,當各隨機變量的概率密度函數關于均值對稱,則滿足可靠性上界的概率與滿足下界的相等.正態分布的概率密度函數關于均值對稱,故當各隨機變量均為正態分布時,式(16)可進一步簡化為

(17)

2.2 一次二階矩法

g(X)為可靠度狀態函數,X為隨機變量向量,根據一次二階矩與攝動方法[18-19],有

式中:(?)[2]=(?)?(?),符號?為Kronecker積；Var(X)為隨機變量的方差向量.

可靠性指標為

(20)

可靠度為

(21)

2.3 可靠性靈敏度設計

根據可靠性靈敏度理論[20],機械臂速度精度可靠度對機構的基本參數向量X的均值和方差的靈敏度為

式中:μg為可靠性狀態函數的均值；σg為可靠性狀態函數的均方差.

式中：Φ(β)為標準正態分布函數；φ(β)為標準正態分布概率密度函數.

2.4 任意位置的機器人速度可靠性分析

機器人末端速度精度可靠性分析針對某一特定位置進行速度精度及可靠性靈敏度分析.通過改變機器人的形位,便可得到機器人不同形位的速度精度可靠度.

此時,可將機器人末端速度精度可靠度視為位置參數的多元函數.通過多元函數的圖形可直觀地觀察機器人不同位置的末端速度可靠度.同時,還可利用算法求出速度精度可靠度的極值,確定速度精度最低的位置,得出機器人末端速度精度可靠度隨位置參數的變化規律，為選定合理的機器人工作姿態提供理論依據.

3 數值算例

3.1 串聯機械臂速度可靠性

以圖1為2自由度串聯機械臂為例:l1=500 mm,l2=100 mm,ω1=0.1 rad/s,ω2=1 rad/s.各桿件的幾何尺寸服從正態分布,差變系數為0.005,ω1,ω2的差變系數為0.001,機械臂速度精度的誤差允許值[δ]=5%,求θ1=60°,θ2=120°時，機械臂末端執行器速度精度可靠度和可靠性靈敏度.

利用式(1)～式(5),可求得機械臂末端速度的正解表達式,將此表達式代入式(15),便可求得可靠性狀態函數.將狀態函數以及各隨機變量的均值與方差信息代入式(18)～式(21),計算出Rs,再利用式(17)求得此位置機械臂速度精度可靠度R1=0.999 8.由式(22)～式(28)可得串聯機械臂速度精度可靠度R1對基本隨機參數X=[l1,l2,ω1,ω2]T的均值和方差的可靠性靈敏度矩陣分別為

由靈敏度矩陣dR/dVar(X)可以看出,基本隨機變量ω1,ω2,l1,l2方差的增加,都會降低串聯機械臂速度精度可靠度,其中，桿長l2的變化對機械臂末端執行器速度精度可靠性的影響最大.因此，在設計及制造環節應嚴格控制桿長l2的誤差范圍.桿長l1的方差對機械臂速度精度可靠度影響較小,可適當放寬桿長l1的制造精度.

求出可靠度R關于自變量θ1,θ2的二元函數表達式,自變量θ1,θ2的范圍均為[-2π,2π].圖3可以直觀地看出串聯機械臂速度精度可靠性隨角度θ1,θ2的變化規律.經過計算,角度θ1的值與機械臂的運動精度無關.串聯機械臂的末端速度精度可靠性僅隨θ2的變化而變化,變化規律如圖4所示.

數值求解可靠度函數的極小值點,當θ2=180°時,R取最小值0.947 6.在θ2=0°附近,機械臂的速度精度較高,但當兩桿重合時,機械臂失去一個自由度,此位置為機械臂的奇異位置,其雅克比行列式為0.機械臂速度可靠性的最低點和最高點分別發生在θ2=180°和θ2=0°時,恰好為兩個奇異位置.因此,機械臂的合理工作區應避開θ2>120°或θ2

圖3 串聯機械臂末端速度可靠性曲線Fig.3 Speed reliability curve of the end effector ofthe serial manipulator

圖4 串聯機械臂速度可靠性隨θ2的變化曲線Fig.4 Speed reliability curve of the serial manipulatorchanging with θ2

接近0°的區域.

3.2 三平動并聯機器人速度可靠性

某型三平動并聯平臺如圖2所示.平臺的幾何參數(各幾何長度的意義已于上文闡述)的均值如下:r=500 mm,lm=500 mm.幾何尺寸滿足正態分布,其差變系數為0.005.靜平臺上的3個移動副的運動速度也視為隨機變量,vd1=0.3 m/s,vd2=0.3 m/s,vd3=0.3 m/s,移動速度也近似服從正態分布,其差變系數為0.003.動平臺中心點合成速度的允許誤差為5%,求d1=300 mm,d2=340 mm,d3=300 mm時的速度精度可靠性.

利用式(6)～式(11),可以求得三平動并聯平臺的動平臺中心點速度表達式,將此表達式代入式(15)即可求得速度可靠性狀態函數.將狀態函數及均值與方差的數值代入式(17)～式(21),可得此位置的速度精度可靠性R2=0.950 4.

由式(22)～式(26)可得并聯機構速度可靠度R2對基本隨機參數X=[r,lm,vd1,vd2,vd3]T期望及方差的靈敏度為

從可靠度對均值的靈敏度的計算結果可以看出：隨機變量r,vd1,vd2,vd3均值的增加會提升速度可靠度,而隨機變量lm的增加會降低可靠度,且可靠度對隨機變量lm的均值變化最為敏感.

從可靠度對方差的靈敏度的計算結果可以看出：各隨機變量的方差的增加均對可靠度有負面影響,且隨機變量r,lm對可靠度的影響最大,故在設計、制造以及裝配等環節,應著重控制r,lm的尺寸公差.

三平動并聯平臺機構的速度可靠性隨機構位置的變化而變化,平臺的位置可由d1,d2,d33個參數來表征.因此，可以建立速度可靠度隨d1,d2,d3變化的函數,由于這是一個三元函數,故無法如上例一樣用圖形的方式直觀地描述可靠度隨位置參數變化的情形,但可以使用數學工具求出函數在可行域內的極限值.

此問題可以視為一個多維優化問題.利用Matlab的優化函數,可以求得當d1=d2=d3=271 mm時,機器人的速度可靠性最低.因此，在選定平臺工作位置時,應避開這一區域.

4 結論

(1) 分別對兩種典型的串聯、并聯機器人建立了速度可靠性模型,并結合算例,運用一次二階矩陣法以及可靠性靈敏度算法分別給出了機器人速度可靠性的計算方法.

(2) 機器人速度可靠性靈敏度的計算結果可以為機器人速度可靠性設計提供理論依據,在設計、制造以及裝配等環節,應對敏感參數加以控制,同時可適當放寬非敏感參數的公差要求.

(3) 在可靠性模型的基礎上,給出了任意位置機器人速度可靠性的分析方法,為合理劃定機器人工作區間提供理論依據.