基于數學建模的集群運動模擬仿真研究

韓莉淼 楊中元 耿顯亞

【摘要】針對動物集群運動中魚群的集群運動，通過仿真模擬，建立無差別個體的集群運動，優化Vicsek模型，在有領導者存在的群體中，利用離散數學中的圖論建立魚群中的信息傳遞網絡，個體的運動受領導者的運動所影響，信息傳遞機制形成小世界網絡，在此網絡中信息傳遞快速，當次領導者的個數達到最優時，信息覆蓋范圍廣，有利于魚群的穩定.

【關鍵詞】集群仿真模擬;小世界網絡;Vicsek模型優化;圖論

【基金項目】大學生創新創業項目（201710361095）支持.

集群是自然界中普遍存在的一種現象，動物在運動中經過自組織行為形成穩定的群體，研究表明集群行為對動物的生存有很大的益處，如有利于節約能量，理論計算表明，集群時所耗的摩擦力，大約只需要單獨行動時的15;集群還有利于種群躲避捕食者，同時對種群的生殖、索餌和洄游中有很重要的意義[1].集群行為是一種動態穩定狀態，也是通過個體以及局部的最基本的行為完成的復雜行為，對集群運動的研究，是仿生的重要組成，也具有重要意義.

根據Reynolds提出的Boid模型，知道魚群運動所遵循的規則，但是模型存在一定的缺陷，它給出的規則都是局部規則，每個個體僅僅根據它周圍附近區域內的個體行為調整自己的行為，只能做到局部一致性，局限性比較強，并且模型是在虛擬的、沒有障礙存在的空間內進行模擬的，而實際中不可能沒有障礙物.因此，提出Vicsek模型得出的魚群的連通性與一致性[6]，來克服以上模型存在的缺點，而leading-following[8]模型中進一步提出了領導者在群體中的重要作用.根據領導者的存在，本文研究群體中的次領導者的信息傳遞，次領導者的數量對群體的影響.

一、無差別個體的集群行為仿真模擬

根據Boid模型中，魚群的聚集原則：避免碰撞、速度匹配、中心聚集、慣性因素，利用Matlab設計迭代程序，模擬出散亂的魚群，在不同時間的聚集程度，選取100個個體，設其初始速度為0.1，安全范圍為0.2，通過不同時間的不同聚集狀態，反映出魚集群運動的過程[2].

從以上圖中可以看出初始態魚群分布散亂，時間為500時，魚群中開始有小群體出現，時間為2000時，魚群的聚集程度更加明顯.

二、Vicsek模型優化

Vicsek模型是由N個具有自我意識的個體組成的離散時間系統，它們在平面中以大小相同的速率v運動，每個個體的角度按照鄰居角度的矢量平均來更新，個體i的“鄰居”由以該個體的當前位置（xi（t），yi（t））為中心，與該個體的Euclid距離小于正常數r的個體組成，用Ni（t）表示個體i在時刻t的鄰居，即

Ni（t）={j|dij（t）

其中dij（t）=（xi（t）-xj（t））2+（yi（t）-yj（t））2，顯然，每個個體都是自身的“鄰居”，每個個體在平面中按照恒定的正速率v運動，因而，每個個體的位置按照下面的方式進行更新：

xi（t+1）=xi（t）+vcosθi（t），yi（t+1）=yi（t）+vsinθi（t），i=1，2，…，N，

其中θi（t）為個體i在時刻t的角度，它按照下面的方式進行更新

θi（t+1）=tan-1∑jNi（t）sinθj（t）∑j∈Ni（t）cosθj（t）.

注意到上面系統的動態行為完全由初始狀態、鄰域半徑r和運動速率v確定.進一步，每個個體的鄰居由其他個體的位置決定，每個個體的角度由鄰居的角度決定;同樣，角度也會影響位置，因此，所有個體的位置和角度之間形成復雜的非線性關系，這使得問題的理論分析比較困難.

很顯然，由Vicsek模型描述的多個體系統形成一個動態網絡，圖論中的一些基本概念對問題的分析是有幫助的，注意到每個個體的鄰居會隨時間而變化，Jadbabaie等人用無向圖序列G={V，εt}來描述個體間的相互作用，其中V={1，2，…，N}為所有個體的集合，εr為隨時間變化的邊集合.邊是這樣形成的：如果個體i與j在時刻t的距離小于r，則在它們之間連一條邊，記作（i，j）εr.一個連通圖是指該圖中的任何兩個節點之間總存在一條路徑.為方便分析，將上面公式寫成下面等價的“擬”線性形式;

tanθi（t+1）=∑j∈Ni（t）cosθj（t）∑k∈Ni（t）cosθk（t）tanθj（t），

進而可寫成矩陣形式為

tanθi（t+1）=A（t）tanθ（t），

其中tanθ（t）（tanθ1（t），tanθ2（t），…，tanθN（t））T，A（t）（aij（t））為加權平均矩陣，

aij-cosθj（t）∑k∈Ni（t）cosθk（t），若（i，j）∈εr，0，否則，

為分析Vicsek模型的同步性，Jadbabaie等人研究了公式的線性化形式

θi（t+1）-1ni（t）∑j∈Ni（t）θj（t），

其中ni（t）是集合Ni（t）內元素的個數.相應地，角度更新可寫成下面的矩陣公式

θi（t+1）=A（t）θ（t），

其中θ（t）=（θ1（t），θ2（t），…，θN（t））T，矩陣A（t）稱為平均矩陣，其元素為

aij（t）=1ni（t），若i與j在時刻t為鄰居，0，否則，

通過此優化模型來進一步仿真魚群運動.

三、小世界信息傳遞網絡的構建

自然界中的群體通常有領導者的存在，魚的集群運動會受領導者的運動影響，領導者有明確的運動方向和目的地，群體中還有次領導者的存在，次領導者可以預測領導者在下一時間階段內的動態行為，然后根據判斷在魚群中傳播信息，使群體行為保持穩定.

領導者與次領導者之間可以構成小世界網絡，次領導者隨機地分布在追隨者之間，在以次領導者為圓心，r為半徑的圓形區域內，追隨者可以接收到次領導者傳遞的信息，調整運動狀態，追隨領導者的運動.

研究有領導者的魚群的信息傳遞，采用構建信息傳遞網絡的模型.一般的構建網絡機制要用到圖論中的有向圖和無向圖，引入離散數學的一些基本概念[7]：

一個有向圖D是一個二元組（V，E），記為D=（V，E），其中：

（1）V是一個非空集合，其元素稱為圖的頂點（vertices）、結（節）點（notes）或端點;

（2）E是卡氏積V×V的多重子集，其元素稱為圖的有向邊（簡稱邊）（edges）或弧.

將魚群的信息傳遞網絡定義為

G={V，E，Cv，Ve，T}，（4）

其中V表示網絡的結點集合，E表示邊的集合，Cv，Ve分別為結點和邊的集合，T為時間點的集合.則用結點表示魚的個體，邊表示個體之間的信息傳遞關系，不同的傳遞用有向圖或無向圖表示，本文中次領導者通過預測領導者的運動傳遞信息，追隨者接收到次領導者傳遞的信息，以及自身感受到的鄰居的信息，則追隨者個體之間是否有信息交互，可以用表達式表示

bij=1，dij≤r，0，dij>r，（5）

bij=1表示有信息交互現象，bij=0表示無信息交互現象.

以△表示魚群中的領導者，☆表示次領導者，○表示追隨者，次領導者的信息傳遞范圍用半徑為r的虛線表示，在此范圍外的追隨者接收不到信息，△—△—表示次領導者對領導者的行為預測，構建下圖所示信息傳遞網絡.

四、次領導者最優數量模擬

以二維平面為例，有100個追隨者隨機均勻地分布在二維平面內，根據次領導者的數量以及信息傳遞范圍，作代表追隨者的點以及代表次領導者的信息覆蓋范圍的模擬圖形，從圖中可以看出次領導者的數量對整個范圍的信息覆蓋概率A，當然A越大，魚群信息覆蓋范圍越大.

魚群的次領導者存在最優數量，低于最優數量時，群體會由于信息傳遞網絡不完整穩定性下降;高于最優數量時，信息傳遞范圍會有過多交集，而在交集范圍內的追隨者接收到來自不同層次領導者傳遞的信息，信息之間會產生干擾，從而影響追隨者的判斷，導致群體的穩定性下降.

【參考文獻】

[1]胡鶴永.魚類集群行為及其優越性[J].海洋漁業，1988（3）：140-141.

[2]宋運忠，劉毛妮.基于改進智能體模型的群集運動行為研究[J].河南理工大學學報，2015（6）：818-825.

[3]余亞東，侯為根.二維空間中有唯一領導者的集群模型分析[J].安徽工業大學學報，2015（1）：72-75.

[4]李小雪.生命集群動態行為的預測機制研究[D].武漢：華中科技大學，2008.

[5]Reynolds C W.Flocks，herds，and schools：A distributed behavioral model[J].ACM SIGGRAPH Computer Graphics，1987（4）：25-34.

[6]劉志新，郭雷.Vicsek模型的連通與同步[J].中國科學：E輯，2007（8）：979-988.

[7]劉愛民.離散數學[M].北京：北京郵電大學出版社，2004.

[8]HONG Y，CHEN G，BUSHNELL L.Distributed observers design for leader-following control of multi-agent networks[J].Automatica，2008（3）：846-850.