2007~2017年幾何概型高考試題分析

程嶸 廖運章

【摘要】縱觀近11年的數學高考試卷，可以發現，幾何概型與其他知識點的交會是考查概率的一個方式.通過分析十余年幾何概型高考試題的分布、知識、特點和科學性，對幾何概型教學提出一些建議.

【關鍵詞】概率;幾何概型;數形結合

幾何概型是2003年《普通高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱《課程標準》）的新增內容，與古典概型不同，其等可能基本事件為無限個.幾何概型高考試題是滲透數學文化、發展學生數學核心素養的重要陣地.歷經十余年的教學實踐，人們逐漸認識和理解幾何概型的課程、教學與評價定位，為更好地把握幾何概型本質，促進幾何概型的有效教學，本文擬對近11年幾何概型高考試題予以分析，期望對幾何概型教學有所裨益.

一、幾何概型高考試題分析

（一）試題分布

幾何概型高考試題首次出現在2007年海南省.據統計發現，2007～2017年高考數學試題，每年都有幾何概型試題，且每份試卷至多有一道幾何概型試題，題型主要以選擇、填空題為主，只有2010年福建·理立體幾何解答題涉及幾何概型.近11年高考數學試題共有54道幾何概型試題，其中有些省份文理同屬一題（以下統計為2題），如圖1所示，每年幾何概型題在高考數學試題中所占的數量百分比，總體呈增長趨勢，幾何概型題越來越受到命題者的重視.

圖1

（二）試題知識點分析

就數學內容而言，54道幾何概型試題涉及長度、面積有關的問題，且常結合其他知識予以考查，例如，不等式（組）、定積分、復數等，重在考查學生的概念理解與綜合應用.

從試題背景來看，有10道題具有一定的實際背景，這些背景包括：（1）向規定區域拋、撒、扔、投豆類等物品背景，如2011年湖南省·理15，這類試題通常圖文并茂，且為二維圖形，學生通過理解題意，將概率轉化為計算面積之比即得答案;（2）建立通信站背景，如2013年陜西省·理5，此題計算所給圖形面積與面積之比即可;（3）閃爍燈、上學背景，如2013年四川省·理9，試題并未給出圖形，需根據題中所涉及兩個事件進行作圖，轉化為求平面直角坐標系中圖形面積之比;（4）等車、紅綠燈背景，如2016年全國卷1·理4，試題亦未提供圖形，需自行畫圖轉化為求線段長度之比.

從涉及圖形看，幾何概型問題可轉化為求線段長度、幾何圖形面積或體積之比，可知幾何概型與圖形有著密切的聯系.54道幾何概型高考試題有19道題是圖文相結合的，其給出圖形的原因可能為：（1）題設所需圖形較難用文字描述，如2012年湖北省·文10中圖形為較復雜的組合圖形，試題給出圖形較直觀且便于計算面積;（2）命題者重在考查求圖形面積，且該計算過程可能較復雜，如2014年福建省·理14，需用定積分計算陰影部分面積;（3）圖形對題設條件進行補充，如2013年陜西省·理5，其圖形標注了矩形區域的邊長.其余未給出圖形的試題，命題者可能考慮到作圖相對較容易，或者希望考查學生的作圖能力.

二、幾何概型高考試題的命題特點

（一）滲透數學文化的考查

《2017年普通高考數學考試大綱》（以下簡稱《考綱》）明確提出在高考中增加對數學文化的考查，這說明結合高考數學考查數學文化已然開始實施.隨著數學文化關注度的提升，高考對數學文化的考查也逐漸加強，2017年幾何概型高考試題對數學文化進行了一次有意義的嘗試.

解析 設正方形ABCD邊長為2a（a>0），則圓的半徑為a.由圖形的對稱性可知，圖2黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半，其中正方形、圓的面積分別為4a2，a2π.由幾何概型計算公式可知，此點取自黑色部分的概率為12a2π4a2=π8.

結合數學文化中的太極圖來考查幾何概型符合《考綱》新增要求.解題過程中引導學生發現圖形的對稱性，使學生進一步發展幾何直觀、數形結合的能力，增強運用圖形解決問題的意識.本題不僅考查了數學文化，還體現了數學核心素養，是一道綜合性題.

（二）試題與《課程標準》要求一致

《課程標準》對幾何概型的要求為：了解隨機數的意義，能運用模擬方法（包括計算器產生隨機數來進行模擬）估計概率，初步體會幾何概型的意義[1]，可知幾何概型為隨機模擬作鋪墊.統計發現，共5道考查隨機模擬的幾何概型高考試題.

例2 （2016年全國卷2·理10）從區間[0，1]隨機抽取2n個數x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構成n個數對（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中兩數的平方和小于1的數對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為（）.

解析 隨機數對（xi，yi）（i=1，2，…，n）落在圖3所示方格中，平方和小于1的點均落在陰影部分.由幾何概型計算公式可知，點落在陰影部分的概率為14π1≈mn，可得π≈4mn.

通過隨機模擬來考查幾何概型符合《課程標準》要求.題設中的隨機數對落在正方形內的概率與面積之比近似相等，從而得圓周率π的近似值.由上可知幾何概型是為隨機模擬所服務的.通過信息技術模擬得到概率，體現了信息技術與數學課程整合的意義，這也應是高中階段幾何概型課程的合理定位.

（三）圖形是解決幾何概型問題的重要因素

分析54道幾何概型高考試題，不難發現解題的一般步驟為分析題意、根據題意作圖、識別所作圖形、使用圖形進行計算，可以說圖形是解決幾何概型問題的重要因素，且歷年幾何概型高考試題圖形有著一定的特點，下面對此予以分析.

與對稱性有關的圖形.題設所給的復雜組合圖形面積計算較困難，而其對稱性可簡化陰影部分面積的計算過程.

（四）試題逐漸科學化

數學是一門嚴謹的學科，在命題過程中需注意試題的科學性.幾何概型高考試題的題設所應注意的科學性為題目條件是否充分、用語是否準確等.剖析近11年幾何概型高考試題發現，大部分試題的設計符合科學性，但部分試題的科學性仍值得商榷.

解析 （1）圓O、正方形EFGH的面積分別為π，2，由幾何概型計算公式可知，隨機扔一顆豆子落在正方形中概率為P（A）=2π;（2）略.

題設“將一顆豆子隨機地扔到該圓內”易使讀者產生疑惑，所求概率是現實概率還是數學概率？現實概率的計算需考慮許多現實因素，如本題中需考慮豆子的大小、扔豆子的角度等.若考慮以上因素，將超出高中所學知識范疇，需使用大學知識進行求解.如若該概率只是數學概率，則可忽略上述現實因素，但需作相應假設，如將豆子看成一個沒有大小的質點，豆子最終必定落在圓O中，落在圓O中的任一點是等可能的，從而求得上述答案.

近11年的高考試題除例5外，還有5道試題存在上述科學性問題.為使試題符合科學性，命題者可對試題進行修改.以例5為例，提供兩種修改方法.第一種方法是舍去實際背景，把“將一顆豆子隨機地扔到該圓內”改為“在圓O中隨機取一點A，求點A取自圓O內接正方形的概率”.第二種方法不舍去實際背景但需做出一些假設，把“將一顆豆子隨機地扔到該圓內”改為“某人向圓內拋豆子，假定每次所扔豆子均落在圓內，落在圓內每個點都等可能，且不考慮扔豆子的角度”，這樣較符合題目科學性.其余試題也可按上述方法進行修改來避免科學性問題.

科學性有待商榷的試題主要分布在2008，2011，2014這三個年份，而2015年至今的高考試題中并未出現科學性問題，說明幾何概型高考試題漸趨科學化.

三、教學建議

《課程標準》要求學生對幾何概型有初步的認識和體會，高考對該部分的考查難度相對較低，但學生對此內容的學習仍存在一定困難，主要原因是學生未掌握幾何概型的實質，難以將題設條件轉化為幾何圖形.為此提出以下教學建議.

（一）重視幾何概型概念的教學

幾何概型教學，教師首先應準確把握幾何概型的《課程標準》要求（為概率模擬之需），不宜深挖、拓展其內容，也不提倡一味地按題型分類講解與盲目訓練.其次，教師應向學生解釋清楚為什么要學習幾何概型（引進幾何概型的必要性），講清幾何概型的定義，并由此推證幾何概型的計算公式，讓學生體味幾何概型建模的基本過程，理解幾何概型的本質，使之知其然知其所以然.第三，通過對比古典概型，分清古典概型與幾何概型的異同，幫助學生理解教材練習題，進而發展學生解決幾何概型問題的基本素養.

（二）幾何概型教學與信息技術相結合

幾何畫板、超級畫板、GeoGebra等信息技術的動態演示有助于學生理解幾何概型，也符合《課程標準》基本要求.一般的，隨機模擬的幾何概型問題均可引入信息技術予以處理.

一般的幾何概型題目可轉化為圖形處理.學習此內容的初始，學生較難想象相應圖形，教師可使用信息技術手段來幫助學生.

例6 在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ABC內部任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求|AM|<|AC|的概率.

此題可使用信息技術，如在幾何畫板中畫等腰直角三角形ABC，度量線段AC長度后，以點A為圓心，線段AC的長度為半徑作圓，圓與線段AB交于點N，則線段AC，AN的長度相等.讓點M在線段AB上運動并度量線段AM的長度，與線段AN的長度相比較，得圖8.由幾何概型計算公式可知，所求概率為線段AN與線段AB長度的比值.[2]

本文對近11年幾何概型高考試題進行研究，總結了試題的分布情況、命題特點，整理了信息技術在幾何概型教學方面的應用，希望通過此研究幫助讀者理清幾何概型高考試題的考查特點.學習此內容時，我們應注重概念的理解和蘊含的數學思想方法，進而提高學生的數學核心素養.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]何建中.巧用幾何畫板演示幾何概型[J].考試：高考數學版.2010（Z1）：100-102.

[3]張志勇.隨機模擬方法在《幾何畫板》中的算法實現[J].中學數學月刊.2006（12）：12-14.