基于數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)

葉蓉

【摘要】“數(shù)學(xué)抽象”是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容.高中數(shù)學(xué)教學(xué)，以核心素養(yǎng)為目標(biāo)和依據(jù)著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，需要引導(dǎo)學(xué)生積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，通過(guò)抽象概括，把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)，逐漸養(yǎng)成一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣，并能在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式解決問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)抽象;核心素養(yǎng);教材;目標(biāo);情境;探究;設(shè)計(jì)意圖;反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（征求意見(jiàn)稿）》中明確指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步形成的.高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面.”其中“數(shù)學(xué)抽象”是六大核心素養(yǎng)之首，數(shù)學(xué)抽象一般表現(xiàn)在四個(gè)方面：形成數(shù)學(xué)概念和規(guī)則;形成數(shù)學(xué)命題與模型;形成數(shù)學(xué)方法與思想;形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.對(duì)普通高中教師來(lái)說(shuō)，如何落實(shí)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成與發(fā)展至關(guān)重要，需要教師精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，以核心素養(yǎng)為目標(biāo)和依據(jù).筆者以形成數(shù)學(xué)概念為例，選取人教A版高中數(shù)學(xué)教材必修1第3章第1節(jié)第一課時(shí)中“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”內(nèi)容為例，構(gòu)思基于核心素養(yǎng)視角下的教學(xué)設(shè)計(jì).

一、背景分析

數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程是最典型的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，在傳統(tǒng)教師的概念課中，一般以講授為主，學(xué)生缺乏經(jīng)歷得到完整概念的抽象過(guò)程，導(dǎo)致學(xué)生的理解停留在表面，后期需要學(xué)生經(jīng)過(guò)大量的練習(xí)來(lái)達(dá)到能力的提高.因此，在概念形成之初，就要求教師能夠綜合運(yùn)用多種教學(xué)方法，通過(guò)開(kāi)展系列問(wèn)題探究，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行抽象思考，最終概括出數(shù)學(xué)本質(zhì)，理解和掌握所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念.

二、教學(xué)內(nèi)容解析

（一）教材地位

本節(jié)主要內(nèi)容是函數(shù)零點(diǎn)的概念、函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，是一節(jié)概念課.本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了基本初等函數(shù)及其相關(guān)性質(zhì)，具備初步的數(shù)形結(jié)合能力的基礎(chǔ)之上，利用函數(shù)圖像和性質(zhì)來(lái)判斷方程的根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而掌握函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法，為下節(jié)“用二分法求方程的近似解”和后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).因此，本節(jié)內(nèi)容具有承上啟下的作用.

（二）教材分析

函數(shù)的零點(diǎn)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，從函數(shù)角度來(lái)看，零點(diǎn)是使得函數(shù)f（x）等于0時(shí)的實(shí)數(shù)x;從函數(shù)圖像的角度來(lái)看，是函數(shù)f（x）與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo);從方程的角度來(lái)看，是對(duì)應(yīng)方程f（x）=0的實(shí)根.函數(shù)的零點(diǎn)，將數(shù)與形，函數(shù)與方程有機(jī)地聯(lián)系起來(lái).作為函數(shù)應(yīng)用的第一節(jié)課，學(xué)生在了解函數(shù)與方程的關(guān)系過(guò)程中，教材選擇了一元二次方程與二次函數(shù)作為切入點(diǎn)，再推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)，教師有必要通過(guò)問(wèn)題的設(shè)置，從直觀到抽象，從特殊到一般，抽象出所學(xué)的零點(diǎn)的概念.

零點(diǎn)存在性定理，就是通過(guò)尋找函數(shù)的零點(diǎn)來(lái)研究方程的根，這個(gè)定理不需要證明，在缺少證明的環(huán)節(jié)下，關(guān)鍵在于讓學(xué)生結(jié)合具體實(shí)例，直觀感知體驗(yàn)，加強(qiáng)對(duì)定理的全面認(rèn)識(shí)，抽象概括出定理，并加以利用來(lái)解決問(wèn)題.對(duì)定理的條件和結(jié)論，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生考慮不夠全面，教師通過(guò)系列問(wèn)題，從各種角度重新審視，完成函數(shù)零點(diǎn)存在的判定定理的構(gòu)建.

（三）教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能

（1）了解函數(shù)零點(diǎn)的概念：能夠結(jié)合具體方程（如一元二次方程）說(shuō)明方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)三者的關(guān)系.

（2）理解函數(shù)零點(diǎn)存在性定理;了解圖像連續(xù)不斷的意義及作用;知道定理只是函數(shù)存在零點(diǎn)的一個(gè)充分條件;了解函數(shù)零點(diǎn)可能不止一個(gè).

（3）能利用函數(shù)圖像判斷某些函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及所在區(qū)間.

2.過(guò)程與方法

經(jīng)歷“構(gòu)建—反思—完善—總結(jié)”數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，感悟由具體到抽象的研究方法，培養(yǎng)歸納概括能力，體會(huì)從特殊到一般的轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)函數(shù)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想，在數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀

在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主探究，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題的過(guò)程中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和求知欲，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)觀察、類比，提高發(fā)現(xiàn)、分析、反思、解決問(wèn)題的能力.

三、“數(shù)學(xué)抽象”核心素養(yǎng)視角下的案例分析

（一）創(chuàng)設(shè)情境，感知概念

問(wèn)題1：解方程：2x-4=0;

問(wèn)題2：作出函數(shù)y=2x-4的圖像;

問(wèn)題3：令函數(shù)y=2x-4的函數(shù)值為0，得x=2，方程的根也是x=2，是巧合還是必然？

（二）探究新知（零點(diǎn)的概念）

問(wèn)題4：求出下列一元二次方程的根，并作出相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像.

（1）方程x2-2x-3=0與函數(shù)y=x2-2x-3;

（2）方程x2-2x+1=0與函數(shù)y=x2-2x+1;

（3）方程x2-2x+3=0與函數(shù)y=x2-2x+3.

問(wèn)題5：對(duì)比方程的根與相應(yīng)的函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)了什么？

（方程的根與函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一致的）

這個(gè)根既有數(shù)的意義，又有形的意義，它還有一個(gè)名稱叫作函數(shù)的零點(diǎn).

問(wèn)題6：對(duì)一般的函數(shù)y=f（x），如何定義它的零點(diǎn)？

學(xué)生回答：（1）方程f（x）=0的根，叫作函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).

（2）函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，叫作函數(shù)的零點(diǎn).

兩種解答分別從數(shù)和形的角度理解了零點(diǎn)的概念，并從中得出零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是一個(gè)數(shù).

得出結(jié)論：

函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)函數(shù)y=f（x），我們把使f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生推出一元一次方程，一元二次方程的根就是對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得出一般性的結(jié)論.對(duì)一般式子分析解釋，對(duì)概念形成系統(tǒng)正確的概念.完成從特殊到一般，從具體到抽象的思維過(guò)程.

問(wèn)題7：函數(shù)零點(diǎn)的求法有哪些？定義法、圖像法.

教師引導(dǎo)完成等價(jià)關(guān)系的知識(shí)：

方程f（x）=0的根函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)過(guò)程強(qiáng)化了零點(diǎn)的概念，在強(qiáng)化函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)關(guān)系的過(guò)程中，對(duì)概念的發(fā)生和形成過(guò)程再次體驗(yàn)，完成對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程.

（三）例題鞏固

例1 判斷函數(shù)f（x）=x2-x-1是否存在零點(diǎn)，如果存在，請(qǐng)求出.

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生熟悉定義法與圖像法求函數(shù)零點(diǎn)，鞏固概念的過(guò)程中，有一半學(xué)生選擇圖像法（作出二次函數(shù)頂點(diǎn)位置和開(kāi)口方向，得出有兩個(gè)零點(diǎn)），一半學(xué)生選擇定義法（即求方程f（x）=0的判別式，得出兩個(gè)根）.學(xué)生在內(nèi)化過(guò)程中自己體驗(yàn)兩種方法的優(yōu)劣，以尋求最合適的方法做題.

（四）探究零點(diǎn)存在性定理

問(wèn)題8：函數(shù)f（x）=x2-x-1在區(qū)間（1，2）上存在零點(diǎn)嗎？

問(wèn)題9：函數(shù)f（x）=x2-x-1在區(qū)間（-1，0）上存在零點(diǎn)嗎？

學(xué)生根據(jù)例1的解題方法，分為兩個(gè)陣營(yíng)，利用定義法的同學(xué)，已經(jīng)計(jì)算出零點(diǎn)，經(jīng)過(guò)估算得出結(jié)論;利用圖像法的同學(xué)，可以由對(duì)稱軸x=12，開(kāi)口向上，通過(guò)計(jì)算f（1）<0，f（2）>0，f（-1）>0，f（0）<0可知，函數(shù)圖像在這兩個(gè)給定區(qū)間內(nèi)均穿過(guò)x軸，則在給定區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn).

問(wèn)題10：函數(shù)f（x）=log2x-12x在區(qū)間（1，2）上是否存在零點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生從數(shù)與形的兩個(gè)不同角度給出了判斷，從例1在整個(gè)定義域上的零點(diǎn)存在性問(wèn)題到給定區(qū)間的零點(diǎn)存在性問(wèn)題，給學(xué)生提供了兩種方法.在問(wèn)題10出現(xiàn)之后，產(chǎn)生了一個(gè)認(rèn)知沖突，圖像法與定義法均無(wú)法順利解決問(wèn)題時(shí)，是否可以利用上述的結(jié)論，如果函數(shù)在給定區(qū)間穿過(guò)x軸，則在給定區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何判定函數(shù)圖像是否穿過(guò)x軸.通過(guò)分析可知，計(jì)算函數(shù)在給定區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，如果一個(gè)大于0，另一個(gè)小于0，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn).

問(wèn)題11：得出的這個(gè)結(jié)論都成立嗎？

學(xué)生活動(dòng)，提出質(zhì)疑與給出反例，教師進(jìn)行補(bǔ)充.

問(wèn)題12：請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言來(lái)表達(dá)以上的結(jié)論.

問(wèn)題13：剛才使用的所有區(qū)間都為開(kāi)區(qū)間，這種使用合理嗎？

問(wèn)題14：何為f（a）·f（b）<0，如何解讀？教師作圖，學(xué)生辨析.反思當(dāng)f（a）·f（b）>0時(shí)，就一定沒(méi)有零點(diǎn)嗎？

問(wèn)題15：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，又該如何解讀？具體有幾個(gè)？

問(wèn)題16：是否可以加上某個(gè)條件，得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)是唯一的呢？

設(shè)計(jì)意圖：一系列的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，零點(diǎn)存在性定理僅能用來(lái)判定零點(diǎn)是否存在，而不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，定理的逆命題及否命題都不成立，零點(diǎn)存在性定理是零點(diǎn)存在的充分不必要條件.而在進(jìn)一步探究的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，如果加上函數(shù)單調(diào)的前提，將得到函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)的充要條件.至此，函數(shù)零點(diǎn)存在的判定完成了完整的構(gòu)建.學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)生、發(fā)展、形成、完善的過(guò)程，在過(guò)程中一步步地抽象出數(shù)學(xué)概念，將每個(gè)關(guān)鍵詞進(jìn)行解讀，提升了數(shù)學(xué)抽象的能力.

四、課后反思

在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，遵循學(xué)生獨(dú)立思考為先，互動(dòng)交流在后的原則，鼓勵(lì)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并解決問(wèn)題，避免直接把概念拋給學(xué)生.互動(dòng)過(guò)程中進(jìn)行構(gòu)建-反思-完善-總結(jié)，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)與語(yǔ)言表達(dá)研究的對(duì)象，對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行完整的建構(gòu)，并且將數(shù)學(xué)抽象的方法在心里扎根發(fā)芽，提升自我的核心素養(yǎng).

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)基于學(xué)生已有的認(rèn)知水平上，學(xué)生對(duì)二次函數(shù)、一元二次方程等很熟悉，教學(xué)設(shè)計(jì)關(guān)注點(diǎn)在于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，力圖做好以下兩個(gè)方面：

（一）突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)

上述教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)，圍繞著零點(diǎn)的概念及零點(diǎn)存在性定理開(kāi)展，以問(wèn)題串的形式來(lái)突出重點(diǎn)和突破難點(diǎn).通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，學(xué)生動(dòng)手操作，通過(guò)解決一個(gè)個(gè)問(wèn)題，參與每一個(gè)活動(dòng)，激發(fā)興趣，引起思考，最后在活動(dòng)中獲取新知.

（二）強(qiáng)化概念的理解與運(yùn)用

在對(duì)零點(diǎn)存在性定理完善的過(guò)程中，通過(guò)具體的圖像，結(jié)合形象的語(yǔ)言描述，學(xué)生對(duì)概念的理解是非常深刻的，不僅對(duì)數(shù)學(xué)抽象有了很強(qiáng)的體會(huì)，還培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理和批判性思維品質(zhì).

經(jīng)課堂教學(xué)實(shí)踐與學(xué)生交流討論后，得知學(xué)生對(duì)本節(jié)課掌握情況良好，達(dá)到了原定的目標(biāo)，修改和完善的環(huán)節(jié)為問(wèn)題14與問(wèn)題15的設(shè)問(wèn)方式及解決方法.原設(shè)計(jì)是由教師給出具體的情況，由學(xué)生分析哪些情況是符合要求的，并加以總結(jié).修改為進(jìn)一步對(duì)零點(diǎn)存在性定理做一個(gè)反思，學(xué)生會(huì)得到問(wèn)題：

1.在零點(diǎn)存在性定理的條件下，得到的零點(diǎn)唯一嗎？

2.定理的逆命題，如果函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，一定有f（a）·f（b）<0嗎？

3.如果f（a）·f（b）>0，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)一定沒(méi)有零點(diǎn)嗎？

通過(guò)學(xué)生的反例，教師加以補(bǔ)充，再以形象化的語(yǔ)言加以描述.反思的過(guò)程由學(xué)生自我完成，讓成長(zhǎng)中的學(xué)生主動(dòng)探索，自主構(gòu)建，不斷完善與發(fā)展，以其獲得更為理想的課堂教學(xué)效果.

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