初中數學基本圖形觀念下問題解決的案例分析及教學建議

易秋燕

【摘要】基本圖形觀念是指學生能夠利用基本圖形解決問題的意識.本文通過幾個案例分析說明樹立基本圖形觀念是培養學生幾何直觀的重要途徑之一，在基本圖形觀念下將復雜圖形分解成基本圖形以解決問題，在基本圖形觀念下合理添加輔助線構造基本圖形探索解題思路.最后給出培養基本圖形觀念的教學建議.

【關鍵詞】基本圖形觀念;案例分析;教學建議

基本圖形觀念是指學生能夠利用基本圖形解決問題的意識.關于基本圖形的界定，不像數學概念那樣嚴格清晰，傅佑珊老師認為：“現行中學平面幾何教材在概念、定理、公理所對應的圖形都稱為基本圖形.”基本圖形來源有兩類，一類是現行中學教材中的定義、公理、定理以及推論所對應的圖形，另一類是具有一定典型性的例題、習題所對應的圖形.

一、樹立基本圖形觀念是培養學生幾何直觀的重要途徑之一

直觀想象是普通高中數學課程標準修訂專家組提出的普通高中數學學科核心素養之一.“直觀想象指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程.”直觀想象包括：利用圖形描述、分析數學問題.直觀想象的這部分內容實際上就是初中的幾何直觀.幾何直觀是《義務教育數學課程標準（2011版）》提出的十大核心概念之一.“幾何直觀主要指的是利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果.幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用.”幾何直觀是直觀想象的基礎，在初中階段培養學生的幾何直觀直接為高中階段養成直觀想象的核心素養奠定基礎.幾何直觀在問題解決中可以幫助學生從復雜圖形中分解出簡單的、基本的圖形，從基本圖形中尋找出基本元素及其關系，由此將復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果.基本圖形觀念是指學生能夠利用基本圖形解決問題的意識.由此可見，樹立基本圖形觀念是培養學生幾何直觀的重要途徑之一.

（一）在基本圖形觀念下將復雜圖形分解成基本圖形以解決問題

案例1 如圖1所示，BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC.求證：四邊形ABDF是平行四邊形.

案例分析 本題涉及的基本圖形有三線八角基本圖形（如圖2所示）、線段垂直平分線基本圖形（如圖3所示）、平行四邊形的基本圖形（如圖4所示）.在基本圖形觀念下，學生熟知線段垂直平分線的圖形及其中的基本元素及關系，因此，由線段垂直平分線的基本圖形易得∠BCD=∠BAD，從而∠BAD=∠ADF，在三線八角基本圖形中由∠BAD=∠ADF得到AB平行于FD，再由題設條件AF⊥AC和BD垂直于AC，在三線八角基本圖形中得到AF平行于BD，從而證得四邊形ABDF是平行四邊形.

（二）在基本圖形觀念下合理添加輔助線構造基本圖形探索解題思路

案例分析 本題涉及的基本圖形有等邊三角形、平行四邊形.學生在基本圖形觀念下，由問題：“AB+CD>AC”可想到三角形的三邊關系，由此需要構造一個與AB，CD，AC相關的三角形.由已知條件“AC=BD，∠DOC=60°”可聯想到基本圖形“等邊三角形”，通過平移AC（或者BD）可得到等邊三角形BDE，同時得到一個平行四邊形ACEB和三角形DCE，如圖7所示，將AB，AC轉化到CE，DE，從而利用三角形DCE的三邊關系得到“AB+CD>AC”.

案例3 （2016年廈門市中考16題）如圖9所示，在矩形ABCD中，AD=3，以頂點D為圓心，1為半徑作⊙D，過邊BC上的一點P作射線PQ與⊙D相切于點Q，且交邊AD于點M，連接AP，若AP+PQ=26，∠APB=∠QPC，則∠QPC的大小約為度分.（參考數據：sin11°32′=15，tan36°52′=34）

案例分析 本題涉及的基本圖形有矩形ABCD、最短路徑問題基本圖形（如圖10所示）、圓的切線的基本圖形（如圖11所示），直角三角形（如圖12所示，直角邊為1，26，斜邊為5，以及直角邊為3，4，斜邊為5）.

解法一 在基本圖形觀念下，由已知條件AP+PQ=26及圖形中分解出的最短路徑問題的基本圖形，學生就能預測解題思路，如圖13所示，將最短路徑問題的輔助線添加方法用到本題中來，結合圓的切線的基本圖形，作A點關于BC的對稱點E，連接PE，BE，則將AP，PQ轉化到同一個線段EQ上，而由EQ⊥QD可聯想到直角三角形EDQ，結合題中所給參考數據sin11°32′=15，連接ED，構造直角邊為1，26，斜邊為5，由sin11°32′=15可得∠QED=11°32′，由題中所給另一個參考數據tan36°52′=34提示圖中另一個直角邊長為3，4，斜邊長為5的Rt△EDA，由此可得∠AED=36°52′，得∠AEQ=25°20′，從而∠QPC=64°40′.

在教學過程中可利用思維導圖進行引導：

解法二 在基本圖形觀念下，由所給參考數據sin11°32′=15，tan36°52′=34可聯想到邊長比例關系為26∶1∶5以及3∶4∶5的兩個直角三角形，結合題目已知條件AP+PQ=26可將AP+PQ轉化到同一條直線上，于是可延長QP，截取PE=AP，連接ED得到邊長比例關系為26∶1∶5的Rt△EDQ和邊長比例關系為3∶4∶5的Rt△EDA，可得∠QED=11°32′，∠AED=36°52′，得∠AEQ=25°20′，從而∠QPC=64°40′.

在教學過程中可利用思維導圖進行引導：

二、培養基本圖形觀念的教學建議

（一）加強學生對“基本圖形”的學習

1.加強對教材中概念、定理、公理所對應的“基本圖形”的學習.熟識基本圖形和基本圖形的基本元素及其關系所對應的文字語言，符號語言，做到由此及彼.能由基本圖形得到它所對應的基本元素及其關系的文字語言信息和符號語言信息，也能由描述基本元素及其關系的文字語言信息和符號語言信息聯想其所對應的基本圖形.

2.總結教學中常見的例題，習題所對應的基本圖形，進行歸納和學習.熟識基本圖形和基本圖形的相關結論所對應的文字語言、符號語言，做到由此及彼.能由基本圖形得到它相關結論的文字語言信息和符號語言信息，也能由描述相關結論的文字語言信息和符號語言信息聯想其所對應的基本圖形.

1.在日常教學中訓練學生利用“基本圖形觀念”在復雜圖形中分離出基本圖形.

2.在問題解決中，有意識地讓學生利用“基本圖形觀念”通過添加輔助線構造基本圖形，尋找解題思路.

【參考文獻】

[1]傅佑珊.平面幾何基本圖形與解題分析[M].北京：地質出版社，1985.