以課例研究為抓手強化師范生綜合實踐能力

周昱

【摘要】以“分數的產生”為突破口，讓學生在度量、分物和計算等真實可感的情境中走進分數的世界，既是創設問題情境的需要，也是社會生產實踐中的廣泛應用助推“數概念”擴充之必需;接著在豐富分數含義的基礎上拓展單位“1”的內涵，逐步建構分數單位;緊接著分別從分母、分子的含義、累加、度量等維度系統規范呈現分數的形成;最后揭示“部分與整體”的關系，為后續解讀“分數與除法”奠定重要基礎.

【關鍵詞】平均分;單位“1”;分數單位;分數意義

【基金項目】湖南省普通高校教學改革研究項目.

【教學內容】

人教版小學數學五年級下冊教材第四單元“分數的意義和性質”45～46頁.（第1課時）

【教材分析】

產生背景.“分數”一詞大家耳熟能詳，但其淵源和發展較為復雜且鮮有所聞.人類歷史上最早產生的數是自然數，但在度量、分物、計算等均分過程中，往往不能恰好獲得整數的結果，由此便產生了一種新的數——分數.因此，從整數到分數是“數概念”的一次擴充.

分數定義.分數該怎樣定義呢？雖眾說紛紜，但較為集中的認為有張奠宙教授概括的如下四種：一是份數的定義：把一個“整體”平均分成若干份，其中的一份或幾份可以用分數表示.二是商的定義：兩個整數相除的商（除數不能為0）;三是比的定義：分數是整數q與整數p（p≠0）的比;四是公理化定義：分數就是有序的整數對（p，q），其中p≠0.另外，也有張丹教授基于“比”和“數”兩個維度、分別從“度量”“比率”“運作”“商”四個方面對分數展開的研究成果.總之，分數的內涵復雜、意義豐富.

教材編排.分數既是小學數學的核心概念，也是小學生數學學習的一個難點，還是廣大小學數學教師特別關注的教學內容之一.人教版小學數學教材編排設計：首先，在三年級上冊安排“分數的初步認識”學習單元，讓學生借助動手操作，初步認識了分數，了解了分數的各部分名稱、讀法寫法，知道把一個圖形、一個物體、一個計量單位平均分成若干份，取這樣的一份或幾份，可以用分數來表示;其次，在五年級下冊第二單元學習“因數和倍數”，讓學生掌握2，3，5倍數的特征;接著，在同冊第四單元安排了“分數的意義和性質”，是學生系統學習分數的起始，由感性認識上升到理性認識的跨越，從分數的產生、分數的意義、分數與除法的關系等維度，比較完整地建構分數的概念;最后同冊第五單元安排了“分數的加減法”、六年級上冊第二、第三單元分別安排了“分數乘法”“分數除法”等內容.綜上，本單元處于承上啟下的核心地位，為后續相關內容的學習奠定著重要的基礎.

教學思考.結合上述分析、充分考慮分數的知識結構與學生的認知規律，本節課教學思考如下：首先沿著分數產生、形成的軌跡——度量和均分，初步感知分數的意義，既有利于把握教材的編排體例、設計意圖，又符合學生的認知規律、有利于學生充分把握分數意義的內涵實質;其次聯系實際設計一些案例，基于整數疊加單位“1”均分分數邏輯關系，變換演繹單位“1”的不同含義：把一個圖形、一個物體、一個計量單位視為一個整體呈現單位“1”;把許多圖形、許多物體視為一個整體呈現單位“1”;把多組物體視為一個整體呈現單位“1”，著力引導學生不斷體會、感悟、內化分數的意義.同時，突出“平均分”，理解分數單位，借此順應“度量”的本質（被度量的事物包含多少個標準單位），將分數理解為分數單位的累積.

【學情分析】

五年級學生正處于具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的關鍵階段;同時，分數的內涵多元多維、分數的概念復雜抽象、分數的意義異常豐富，學生的數學學習存在較大的難度.為貫徹落實“學生為主體”的教學理念，設計采用動手實踐、自主探索、合作交流等多種學習方式幫助學生進行思考，讓他們不斷地感知、感悟、內化分數的意義;為突出學生的生命成長，充分順應學生的視角，采用圖形、文字、符號等多元表征方式，進行數學表達，從關系邏輯、演繹邏輯的多維視角，突出訓練學生思維品質的深刻性.總之，力爭讓學生有足夠的時間和空間經歷觀察、推理、驗證、抽象、概括等活動過程，積累數學活動的基本經驗.

【教學目標】

1.在初步認識分數的基礎上，進一步理解分數的意義及單位“1”的含義.

2.通過操作明白分數的產生并在分數的形成過程中理解分數單位和分數意義;借此過程積累數學活動基本經驗，提高遷移類推、有序思考、抽象概括能力.

3.聯系現實生活實際設計教學環節，了解數學與生活的聯系，激發數學學習興趣.

【重點難點】

1.教學重點：理解分數的意義.

2.教學難點：理解分數的形成過程.

【教學準備】

米尺、長方形、正方形、圓形圖片;神秘信封;多媒體課件.

【教學過程】

（一）創設情境 直觀感知分數

1.產生背景：從單維到多元、從孤立到聚合、從份數到量比、從簡單到復雜，直至數理邏輯水平上的感知、表象、抽象和概括.從現實來源上說：分數源于度量或均分;從數學內部而言：分數就是整數除法的延伸，分數的產生就是從“整數”到“分數”的一次“數概念”重要擴展.

課件呈現：依次呈現教材上的度量、均分、計算的情境;

（1）度量：呈現教材度量物體長度的圖片.

師：古代人在干什么？

生：他們用打結的繩子度量一個物體的長度.

師：結果怎么樣？

生：度量結果3段有余、4段不足，不能用一個整數來表示.

師：3和4就是兩個相鄰的整數，在它們之間再也沒有其他整數了.（停頓）為精確地表示該物體的長度，關鍵就是要解決這“剩余部分”的長度，這個“剩余部分”的長度又不能用整數表示，怎么辦呢？此時就迫切需要引進一個新的數——分數.

（2）分物：呈現教材均分物品的圖片.

師：1個西紅柿平均分給2個小朋友，每人得多少？

生：半個.

師：數學表示.

生：12個.

師：一個蛋糕平均分給兩位小朋友，每人得多少？

生：12個.

師：像12這樣的數就叫作分數.

（3）計算：溝通分數與除法的關系;

師：通過前面的學習，我們初步認識了分數，誰能告訴老師“分數與除法”之間有一個重要的相同點是什么？

生：平均分.

師：對！有一個愛思考的腦袋就是管用——可以透過現象，直擊本質.

師：平均分就是我們二年級學習整數除法時，講過的重要概念.例如，2個西紅柿平均分給2名同學，每人分得1個;1個西紅柿平均分給2名同學，每人分得半個，半個——數學上就用分數“12”來表示，即：1÷2=12.

師：當然分數與除法之間還有許多密切的聯系，后面再陸續研究.

師：從上面三個實例可以知道，在進行度量、分物或計算時，如果不能獲得整數結果，此時就常用分數來表示.

2.昨日重現：回顧分數初步認識的學習內容.

預設：課前每個學習小組都準備好一個神秘信封，內有蛋糕（圖片）、圓、4 cm的線段.

師：打開神秘信封，用你選擇的方式說明14的含義.（小組代表匯報）

生：把一個蛋糕平均分成四份，其中的一份就是14.

生：更準確地說，應該是：把一個蛋糕視為一個整體，用單位“1”表示，然后再把單位“1”平均分成4份，其中的1份就是14.

師：非常棒！此處應該有……（掌聲）后續仿照這樣，應該怎么說？

生：把一個圓片視為一個整體，用單位“1”表示，然后再把單位“1”平均分成4份，其中的1份就是14.

生：把一條線段視為一個整體，用單位“1”表示，然后再把單位“1”平均分成4份，其中的1份就是14.

師：一個物品、一個圖形、一個計量單位等都可以視為一個整體，用單位“1”表示，再把單位“1”平均分成若干份，其中的一份或幾份的數就叫分數.

3.揭示課題：（板書課題：分數的意義）

師：一個物品、一個圖形、一條線段可以用單位“1”表示，還有什么可以用單位“1”表示呢？今天我們繼續走進分數的世界.

（二）遷移類比 充實“整體”內涵

1.趣味填空：你會嗎？

365（天）=（1年），7（）=（），

5（）=（），10（）=（），

12（）=（），60（）=（）.

師：從上面的趣題，你得到了什么啟示？

生：許多物體或許多圖形也可以視為一個整體，用單位“1”表示.

師：多么神奇的單位“1”！

師：整數疊加單位“1”均分分數.（板書）

（三）立足單位 溝通內在聯系

1.分數單位：均分單位“1”，建立分數單位的概念.

課件呈現：充分結合課件，溝通內在聯系.

（1）一盒餅干（打開呈現出4個）視為單位“1”，把單位“1”平均分成4份，表示其中的1份，記作：14，即平均分成4份，其中的1份就是14，具體地說，是幾個？也就是說4個餅干的14是1個，或者還可以表示這樣的關系，1個餅干是這盒餅干的14;更簡潔地說，1是4的14.

（2）8個蘋果（圈成一個整體）視為單位“1”，把單位“1”平均分成4份，表示其中的1份，記作：14，即平均分成4份，其中的1份就是14，具體地說，是幾個？也就是說8個蘋果的14是2個，或者還可以表示這樣的關系，2個蘋果是8個蘋果的14;更簡潔地說，2是8的14.

（3）12顆糖（圈成一個整體）視為單位“1”，把單位“1”平均分成4份，表示其中的一份，記作：14，即平均分成4份，其中的1份就是14，具體地說，是幾個？也就是說12顆糖的14是3顆，或者還可以表示這樣的關系，3顆糖是12顆糖的14;更簡潔地說，3是12的14.

師：通過上述學習，你還有什么發現？

師：同一個分數14，它們各自對應的具體量相同嗎？為什么？

生：即便是同一個分數14，它們各自對應的具體數量不相同，分別是1個餅干、2個蘋果、3顆糖.

生：因為它們的單位“1”不一樣，或者單位“1”對應的整體不一樣.第一個單位“1”是4個餅干;第二個單位“1”是8個蘋果;第三個單位“1”是12顆糖.

師：如此抽象的問題，理解得如此到位、表達得如此清楚.掌聲送給他！

師：除了把單位“1”平均分成4份之外，還可以平均分成……

生：2份.

生：3份.

生：5份.

師：說得完嗎？該怎么說？

生：n份或者若干份

師：太棒了！就這么定了——若干份.

師：把單位“1”平均分成2份，表示其中的一份，記作：（）（）;

師：把單位“1”平均分成3份，表示其中的一份，記作：（）（）;

師：把單位“1”平均分成5份，表示其中的一份，記作：（）（）;

師：把單位“1”平均分成n份，表示其中的一份，記作：（）（）;

歸納小結：像這樣把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數叫分數單位，記作：1n，讀作：n分之一.

2.分數形成

（1）做一做：（做中學）

① 27的分數單位是（），其包含（）個分數單位;

② 415的分數單位是（），其包含（）個分數單位;

③ 1118的分數單位是（），其包含（）個分數單位;

④ 44的分數單位是（），其包含（）個分數單位.

（2）說一說：（學中思）

師：通過“做一做”，你思考了什么？發現了什么？

生：分數的形成.即：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數就叫作分數.

生：分數單位的結構——幾分之一.

生：“幾分之一”的“幾”表示把單位“1”平均分成的份數，主要取決于“分母”，分母是幾就是“幾分之一”.例如，確定分數71 000的分數單位，首先看分母“1 000”，表示把單位“1”平均分成1 000份，其中的1份就是11 000.

生：分子表示所取的份數，例如，分數71 000的分子是7，表示這個分數包含7個這樣的分數單位.

師：對.分母是幾，分數單位就是幾分之一，分子是幾就表示這樣分數包含幾個這樣的分數單位.

（四）抽象概括 拓展分數意義

1.歸納概括：我們首先通過建構單位“1”，把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或幾份的數就叫分數;其次通過溝通“分數單位”與“分數”之間的內在聯系，從“度量”的視角分析，分數可以視為“分數單位”的累加;最后通過“平均分”發現了“分數與除法”之間的共同點，分數可以理解為一個整數除以另一個非零整數的商.進而，從上述三個方面比較規范而深入地豐富了分數意義的內涵，比較系統而完整地建構了分數的概念.

2.明確關系：其實，分數還體現了這樣一種關系——部分與整體，下面我們展開研究：

例如，把1個蘋果平均分給2位小朋友，每人分得多少個蘋果？

分析：① 將1個蘋果視為一個整體，用單位“1”表示，把單位“1”平均分成2份，其中的1份，分數表示就是12，即半個.② “平均分”用除法，1÷2=12;為什么？因為“平均分”，他們分到蘋果都是“半個”，通過分數的學習，知道了“半個”的數學表示就是12.

師：通過兩種方法的比較，你發現了什么？

生：被除數就是分子、除號相當于分數線（表示平均分）、除數就是分母.

師：數學眼光非常犀利.還有發現嗎？

生：商就是分數值.

生：分數與除法都有一個共同點——平均分.

生：因為除數不能為0，所以分母不能為0.

師：還有不同點嗎？

生：除法是一種運算，分數是一個數.

師：有比較才會有鑒別，同學們非常厲害.老師欣賞你們！其實12還可以這樣理解：“2”表示平均分成的總份數，“1”表示所取的或者占有的份數，因此，12可以理解為它們的“份數比”;體現的是一種“部分與整體”的關系.

3.實踐應用：

課后練習：學校生物興趣小組收集了2只花蝴蝶、6只黃蝴蝶，問花蝴蝶的只數與蝴蝶總數的份數比是多少？花蝴蝶的只數與黃蝴蝶只數的數量比是多少？

【板書設計】

分數意義

整數疊加單位“1”均分分數

把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份（或幾分之一）的數叫作分數單位.

把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或幾份的數叫作分數.

【教學反思】

一只貝，因痛苦磨制而成長為一種永恒的美麗;一節課，因用心研磨而散發出無限的魅力;一位教師，因砥礪前行而讓生命綻放炫麗的光彩;一群執著教育的人，因對信念的追求和堅守而為學生撐起一片蔚藍的天空.