探究不定積分的計算方法

丁倩倩

【摘要】本文通過對不定積分的研究，提出了求幾種計算不定積分的新方法.在知道一個函數的微分或者導數的情況下，將這個函數“復原”出來，對不定積分的教學有著一定的啟發作用，通過不定積分教學過程中的研究和學習，現總結幾種不定積分的教學計算方法.

【關鍵詞】不定積分;導數;微分

【基金資助】國家自然科學基金項目資助項目（11761023），貴州省普通高等學校科技拔尖人才支持計劃（黔教合KY字[2017]81）.

一、引 言

眾所周知，高等數學的學習對理工專業的學生來說有著極其重要的作用，因此，高等數學教學的研究非常重要.而互為逆運算的微分學與積分學是高等數學的重要內容.不定積分的計算在理工類專業中的應用十分廣泛，因此，掌握不定積分的計算方法，對學生的學習具有重要作用，原函數與不定積分的關系和定義告訴我們，在熟練掌握微分公式的情況下，應當充分關注“被積函數f（x）是由哪個函數得來的”這一基本事實.我們在教學時就告訴學生：求不定積分的過程，就是用函數求導的結果去尋找原來的函數.而積分學的教學通常是在我們講授微分學的基礎上繼續授課，因此，并且通過微分學的知識儲備，我們對不定積分的計算方法予以研究，并且通過對不定積分的深度研究學習，總結了以下幾種情況下的學習心得并舉例說明.

二、不定積分的計算方法

當連續函數的原函數均為初等函數時，可用以上四種方法求解.有理函數的原函數也是初等函數，那么在學習和授課過程中，我們是如何求出其不定積分的呢？下面就以例2為例，說明有理函數的積分計算方法.

（五）有理函數的積分

解（二） 記I=∫x-1x2-2x+2dx=∫x-1（x-1）2+1dx，令x-1=t，則I=∫tt2+1dt=12ln（1+t2）+C=12ln（x2-2x+2）+C.

由此，可總結出當求有理函數的原函數時，首先，應該將假分式化為整式加真分式，其次，對真分式的分母因式分解，則不定積分即可求出，對比解（一）和解（二）的解法可以看出，按照有理函數的求解不定積分的計算方法十分復雜，因此，做有理函數積分的求解時，應優先考慮方法（一）-（四）.那么求解含有三角函數的有理式R（sinx，cosx）的積分時，我們是否可以通過轉化為有理式來進行積分呢？可用的方法有萬能公式法，主要針對被積函數含有sin2x，cos2x，sinxcosx這三種形式下的有理式，令tanx=t即可直接轉化為有理函數的積分，其他情況下，則仍需首先考慮方法（一）-（四）.

（六）可化為有理函數的積分

例5 ∫sinxcosx1+sin2xdx=12∫d（sin2x）1+sin2x=12ln（1+sin2x）+C.

【參考文獻】

[1]華東師范大學數學系.數學分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010（6）.