洞察學生思維，追求不同解法

周躍佳

【摘要】數(shù)學教學不僅要教給學生已發(fā)現(xiàn)的數(shù)學知識和方法，更重要的還要教給學生如何進行數(shù)學思維活動.針對2017年高考全國Ⅲ卷理科第12題，筆者通過解題教學收集了解學生原始思維，在學生思維障礙點處設(shè)問引導，得出不同解法，并提出了幾點思考.

【關(guān)鍵詞】洞察思維;解法研究;高考題

一、問題簡介

2017年高考全國Ⅲ卷理科第12題：在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=λAB+μAD，則λ+μ的最大值為（）.

A.3

B.22

C.5

D.2

該題綜合性較高，涉及直線與圓的位置關(guān)系、向量、線性規(guī)劃、參數(shù)方程等考點.考查學生對中學的基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握程度，對數(shù)學思想方法和數(shù)學本質(zhì)的理解水平.從不同的思維角度可以得到不同的解法，該題既注重基礎(chǔ)，又關(guān)注能力，是學生平時訓練的一個良好素材，高考剛結(jié)束，筆者就將本題選為高二部分學生參與的習題課教學的例題，教師對學生的解答做出統(tǒng)計和分類.

二、學生的解答分析

題目下發(fā)10分鐘以后，有學生提交了完整的解答，多數(shù)學生完成了一半，通過收集統(tǒng)計學生的解決方案，大致分為兩類：

第一類，建立起平面直角坐標系之后，求出了圓C的方程，通過觀察幾何圖形，直觀分析得出了結(jié)論：當連接AC并延長交圓C于點P時，取得λ+μ的最大值，一部分學生通過直線AC方程與圓C方程的聯(lián)立，算出了此時P點坐標，進而得到λ+μ的值，發(fā)現(xiàn)沒有選項，另一部分學生正在計算的過程中.致使這類學生解題失敗的原因在于通過直覺找錯了λ+μ取得最大值時P點的位置.

第二類，建立起了λ+μ與圓C上的動點P的坐標x和y之間的聯(lián)系，選擇這個解法失敗的學生，原因在于建立起了變量之間的聯(lián)系之后，發(fā)現(xiàn)變量是x和y的二元函數(shù)，不知如何求出最大值.

三、教學過程

（一）變換視角，“柳暗花明又一村”

教師展示學生解答過程：

解法1 連接AC延長交圓C于點P，如圖建立平面直角坐標系，設(shè)A（0，1），B（0，0），D（2，1），P（x，y），

求得直線AC方程為12x+y=1.①

再根據(jù)等面積公式可得圓的半徑是25，

即圓的方程是（x-2）2+y2=45.②

由①②兩式求得P點的坐標145，-25，

又AP=145，-75，AB=（0，-1），AD=（2，0）.

由AP=λAB+μAD得λ=μ=75，

所以此時λ+μ取得最大值145.

教師點評引導：以上解答錯在哪里？為什么上面求出的點P處不是使λ+μ取最大值時的點？那最大值點在哪里呢？

師生共同研討：如圖所示，圓C與BD切于點Q，設(shè)AP交BD于點E，過點A作AM⊥BD于點M，過點P作PN⊥BD于點N.

設(shè)AP=kAE，AE=mAB+nAD，由于B，D，E三點共線，所以m+n=1，AP=kmAB+knAD，又因為AP=λAB+μAD，所以λ=km，μ=kn，λ+μ=km+kn=k（m+n）=k，即λ+μ=|AP||AE|=|AE|+|PE||AE|=1+|PE||AE|，又由于Rt△AME與Rt△PNE相似，所以|PE||AE|=|PN||AM|=|PN|25=52|PN|，λ+μ=1+52|PN|，記|PN|=d，λ+μ=1+52d，所以問題轉(zhuǎn)化為求圓C上一點到直線BD的距離的最大值.顯然，P點在QC延長線與圓C交點P′處時，λ+μ取最大值，即dmax=45，所以（λ+μ）max=1+52×45=3.

（二）架一個臺階，“一覽眾山小”

對第二類未完成的解答，教師通過平板電腦發(fā)送給每一位學生，并留5分鐘一起持續(xù)思考，尋找解決方案.

解法2 學生解答展示：

如圖所示，建立平面直角坐標系，設(shè)A（0，1），B（0，0），D（2，1），P（x，y），根據(jù)等面積公式可得圓的半徑是25，即圓的方程是（x-2）2+y2=45，

AP=（x，y-1），AB=（0，-1），AD=（2，0），若滿足AP=λAB+μAD，

即x=2μ，y-1=-λ， μ=x2，λ=1-y，

所以λ+μ=x2-y+1.

困難：含x和y兩個變量，不知道如何求最值？

教師提問引導：λ和μ是隨x和y變化的兩個變量，能否將λ+μ看成一個變量呢？

學生令z=λ+μ，得z=x2-y+1.

思路1 z=x2-y+1，即x2-y+1-z=0，點P（x，y）在圓（x-2）2+y2=45上，所以圓心到直線的距離d≤r，即|2-z|14+1≤25，解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ+μ的最大值是3.

思路2 化x2-y+1-z=0為y=12x+1-z，于是1-z為該直線的縱截距，當直線縱截距取得最小值時，z取得最大值，即將直線y=12x向下平移至與圓相切時取得最大值，算得此時的z=3.

教師點評并引導：以上方法是建立起了λ+μ與P點坐標x和y之間的聯(lián)系而得到的，λ+μ隨P點坐標x和y的變化而變化，由于λ+μ=f（x，y）是二元函數(shù)，不會求最值，從而考慮將λ+μ看成一個變量，利用直線與圓的位置關(guān)系或線性規(guī)劃的方法解決.

（三）二元變一元，“隨風潛入夜”

教師提問引導：x和y為什么在變化？隨什么量在變化？能否將x和y與某個量建立起聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)呢？（學生思考片刻）

學生回答：圓上的點的坐標x和y隨其旋轉(zhuǎn)角θ在變化，所以可以將x和y與θ建立起聯(lián)系，也就需要先寫出圓的參數(shù)方程.（留5分鐘給學生解答）

教師展示學生解答：

解法3 以A為坐標原點，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，設(shè)P（x，y），

則由題意，得x=λ，y=2μ，

圓C的圓心坐標為C（1，2），半徑為25，

所以圓C的參數(shù)方程為x=1+25cosθ，y=2+25sinθ （θ為參數(shù)），于是λ+μ=x+12y=1+25cosθ+122+25sinθ=2+sin（θ+φ），其中sinφ=25，cosφ=15.

當θ+φ=π2時，sin（θ+φ）=1，λ+μ取得最大值3，此時cosθ=sinφ=25，sinθ=cosφ=15， P95，125.

教師點評：λ+μ隨圓上動點P的坐標x和y變化，而x和y又隨圓的旋轉(zhuǎn)角θ變化，建立起x和y與θ的關(guān)系，就將問題轉(zhuǎn)化為一元變量問題了.但不同的建系方式，得到圓的參數(shù)方程不同，解答過程也就不同，但結(jié)果相同，剩下的課堂時間交給學生，按照之前自己建立的平面直角坐標系，繼續(xù)解決.

四、解題教學的幾點思考

筆者通過這道高考題的教學，感受頗深，有幾點思考與同行共勉：

1.解題教學需要收集了解學生原始思維，在學生思維障礙點處設(shè)問.教師對學生的想法越了解，就越能觸及學生的需求點，給予適當?shù)膸椭?所以教師一定要重視學情分析，首先應該給學生足夠的時間去思考，才能獲得準確的信息，然后花一定的時間去分析學生解決問題的情況，針對學生解決的情況設(shè)計思維鏈引導糾正并完善解法.

2.解題教學要引導學生多角度思考.洞察學生思維，追求不同的解法.不同的學生會有不同的思考方式，當學生思維達到“憤悱”狀態(tài)而得不到及時幫助時，容易被“參考答案”所“同化”而“順應”，失去了思維鍛煉的大好時機，所以教師應該尊重學生的思維，在學生認識水平下，陪伴學生挖掘出不同的解法，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力.

3.解題教學中選擇的題目要少而精.既要覆蓋高中階段的重要知識，又要能夠考查學生對數(shù)學思想方法的掌握程度.本節(jié)課只講了一道高考題，但從不同的角度將數(shù)學化歸轉(zhuǎn)化的思想方法滲透在對數(shù)學知識的考查中，解法1通過向量共線的過渡將λ+μ的最大值轉(zhuǎn)化為圓上一點到直線的距離的最大值;解法2通過將λ+μ看成一個變量z，將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題;解法3通過參數(shù)方程，將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題.在知識的運用中將知識得到鞏固，在問題的轉(zhuǎn)化中實現(xiàn)思維的提升.

【參考文獻】

[1]黎棟材.一堂活動課帶來的驚喜[J].數(shù)學通報，2016（2）：51-53.

[2]趙加營，謝桂香.平常問題“非常”思考[J].中學數(shù)學教學參考，2016（5）：14-17.