淺談中學三角函數試題中的轉化與化歸思想

牟曉丹

【摘要】轉化與化歸思想是解決數學問題時最常用、最重要的思想方法之一，本文主要從有關三角函數的問題和幾個常見函數模型著手進行研究，希望通過對此問題的研究熟悉轉化與化歸的各種變換方法，靈活解決數學問題.

【關鍵詞】轉化與化歸思想;三角函數題;函數模型

轉化與化歸思想是數學思想的精髓，也是解決中學函數試題最常用的思想方法之一.當我們遇到較難解決的數學問題時，應該通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，運用適當的數學思想方法加以解決.運用轉化與化歸思想解決問題，是化未知為已知、化復雜為簡單、化特殊為一般的過程.

一、轉化與化歸思想的含義

在做數學題時，通常會遇到一些直接解決比較困難的問題，我們可以通過觀察、分析、類比、聯想等一連串的思考過程.把問題進行轉化，挑選適當的數學手段進行相應的變換，將原問題逐漸成為一個自己較為熟知的問題或者某一早已完成的問題，借助這個新問題進行求解，實現原問題得以處理的最終目標，這一思想方法就是“轉化與化歸思想”.

二、轉化與化歸思想的基本方法

1.典型化法：把一般性問題轉化為個別典型的情況.

2.逐步逼近法：就是“退一步”，“退”到原始而不失去重要性的地方，當然，這是以“退”為“進”，“退”是為了往前進.因此，又稱“退步法”.

3.變形法：包括恒等變形和非恒等變形.

4.RMI法：是關系映射的簡稱.

三、轉化與化歸思想的原則

1.簡單化原則：把煩瑣的問題化為容易解決的問題，通過對容易解決的問題的求解與解決，再進行分析、研究、討論、總結，從而解決煩瑣的問題提供依據和啟示.

2.熟悉性原則：對一些較為抽象和一般化的數學問題，這類問題轉化為我們所熟悉的知識和經驗，達到解決問題的目的.

3.和諧統一性原則：轉化與化歸問題的已知或結論，使文字和圖形二者之間的和諧統一貫穿于問題內容與過程中，其推演過程符合人們的數學思考方式和有利于某種數學方法的體現.

4.形象化原則：將抽象的問題轉化為可以想象的數學問題.

5.正難則反原則：當從正面思考遇到障礙的時候，就可以先把思維轉化到反面進行思考、分析，使問題得以解決.

四、三角函數題中的轉化與化歸

1.第一種模型：化歸成y=Asin（ωx+φ）+k（或y=Acos（ωx+φ）+k）型函數

一般用其性質解決.以y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）為例，（1）定義域為R;（2）值域為[-A，A];（3）最小正周期為T=2πω;（4）y=Asin（ωx+φ）的圖像為中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，中心坐標為kπ-φω，0（k∈Z），對稱軸方程為x=1ωkπ+π2-φ（k∈Z）;（5）單調遞增區間為1ω2kπ-φ-π2，1ω2kπ-φ+π2（k∈Z），單調遞減區間為1ωπ2-φ+2kπ，1ω3π2-φ+2kπ（k∈Z）.

2.第二種模型：化歸成y=asin2x+bsinx+c（或y=acos2x+bcosx+c）型函數

形如y=asin2x+bsinx+c模型或者可轉化為這種形式的函數，一般可利用轉化與化歸思想和配方法將這類函數式轉化為我們熟悉的二次函數的相應形式，最后利用二次函數的相應性質和求最值的基本方法進行求解，使問題得以解決.

3.第三種模型：形如y=asinx+bcsinx+d或y=acosx+bccosx+d的函數模型

形如y=asinx+bcsinx+d或y=acosx+bccosx+d的函數，一般是先解出sinx或cosx，再利用|sinx|≤1和|cosx|≤1求y的取值范圍.若原函數式只有sinx的一次函數式，可把sinx當作未知數進行求解，再根據正弦函數的性質|sinx|≤1，最后求出y的取值范圍.

4.第四種模型：形如y=asinx+bccosx+d或y=acosx+bcsinx+d的函數模型

觀察此類函數模型可知，分式中分子和分母含有的一次式cosx或sinx各不相同，不能直接解出cosx或sinx，解決這類題型熟悉掌握轉化與化歸思想至關重要，通常轉化為f（y）=sin（ωx+φ），在利用函數的有界性求解.

5.第五種模型形如y=a（sinx±cosx）+bsinxcosx+c的函數模型

解下面的例題時一般設t=sinx±cosx，則sinxcosx=±t2-12.但應該特別注意的是t的取值范圍，利用轉換與化歸和換元法結合，使原函數轉化為二次函數求解.

五、結 論

總之，解決各種函數問題都是運用已知條件、定理等，對函數問題進行一系列的轉化與化歸，進而加以解決的一個探究過程.針對不同類型的問題，引導學生不斷進行細致的分析，從而培養學生思考的嚴謹性.學生也將不斷歸納提煉各種“轉化與化歸”方法，逐漸提升問題處理能力和活躍性.

【參考文獻】

[1]李昭平.“轉化與化歸思想”破解數學題“十法”[J].廣東教育，2014（4）：17-20.

[2]賈旭.高考函數試題中的轉化與化歸思想[J].數學學習與研究，2010（7）：71-77.