構造法在初中數學解題中的巧妙應用

徐亞妮 夏學升

【摘要】數學思想方法在初中數學教學中具有十分重要的地位，構造思想方法是一種極具創造性的數學思想方法，尤其在解決繁難的數學問題時，如能根據具體問題恰當運用構造法，那么就會化難為易、化繁為簡，使問題迎刃而解.本文將重點闡述構造法的理論簡介及應用：如構造函數、構造方程、構造幾何圖形等.

【關鍵詞】數學解題;構造法;數學問題;應用

數學思想方法是解決數學問題的靈魂.構造法作為一種傳統的數學思想方法，在解題過程中，不僅可以鞏固學生的基本知識，還能培養學生觀察、分析、猜想等數學能力，激發學生的創新意識，所以在初中數學教學中，應注重對學生運用構造法解題的日常訓練，使學生體會數學知識間的內在聯系和相互的轉化歸結，能創造性地構造數學模型，巧妙地解決問題，從而獲得學習的輕松感和愉悅感，體驗成功的快樂，培養與增強了學生學習數學的積極性，提高他們的數學核心素養.

一、構造法在解題中的應用

理解和掌握函數的思想方法有助于實現數學從常量到變量的這個認識上的飛躍.很多數學命題煩冗復雜，難尋入口，若巧妙運用函數思想，能使解答別具一格，耐人尋味.

（一）構造函數

在求解某些數學問題時，根據問題的條件，構想組合一種新的函數關系，使問題在新的觀念下轉化并利用函數的有關性質解決原問題是一種行之有效的解題手段.構造函數證（解）問題是一種創造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性.在運用過程中，應有目的、有意識地進行構造，始終“盯住”要證、要解的目標.

例1 （2017·西北師大附中蘭外招生）某工廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產Α，Β兩種產品，共50件.已知生產一件A種產品，需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤700元;生產一件B種產品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤1200元.

（1）按要求安排A，B兩種產品的生產件數，有哪幾種方案？請你設計出來;

（2）設生產A，B兩種產品獲總利潤為y（元），生產A種產品x件，試寫出y與x之間的函數關系式，并利用函數的性質說明（1）中哪種生產方案獲總利潤最大？最大利潤是多少？

解 （1）設需要生產Α種產品x件，那么需要生產Β種產品（50-x）件，由題意得：

9x+4（50-x）≤360，3x+10（50-x）≤290，

解得：30≤x≤32，

∵x是正整數，∴x=30或31或32，

∴有三種生產方案：

① 生產Α種產品30件，生產Β種產品20件;

② 生產Α種產品31件，生產Β種產品19件;

③ 生產Α種產品32件，生產Β種產品18件;

（2）由題意得：y=700x+1200（50-x）=-500x+60000.

∵y隨x的增大而減小，

∴當x=30時，y有最大值，最大值為：y=45000（元）.

答：y與x之間的函數關系式為：y=-500x+60000，（1）中的方案①獲利最大，最大利潤為45000元.

（二）構造方程

方程作為中學數學的重要內容之一，與數、式、函數等諸多知識密切相關.根據問題條件中的數量關系和結構特征，構造出一個新的方程，然后依據方程的理論，往往能使問題在新的關系下得以轉化而獲解.構造方程是初等代數的基本方法之一.如列方程解應用題，求動點的軌跡方程等即屬此法.

構造方程解題體現了方程的觀點，運用方程觀點解題可歸結為3個步驟：

A.將所面臨的問題轉化為方程問題;B.解這個方程或討論這個方程的有關性質（常用判別式與韋達定理），得出相應結論;C.將方程的相應結論再返回為原問題的結論.

1.某些題目根據條件、仔細觀察其特點，構造一個“一元一次方程”求解，從而解決問題.

例2 （2014·西北師大附中蘭外招生）設a>b>c且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a+b的范圍.

解 由a+b+c=1，得a+b=1-c.①

將①的兩邊平方并將a2+b2+c2=1代入得ab=c2-c.②

由①②可知，a，b是關于x的一元二次方程x2+（c-1）x+（c2-c）=0的兩個不等的實根.

于是Δ=（c-1）2-4（c2-c）=-3c2+2c+1>0，

解得-13b>c，

∴-13

∴1

（三）構造幾何圖形

1.對于條件和結論之間聯系較隱蔽的問題，要善于發掘題設條件中的幾何意義，可以通過構造適當的圖形把兩者聯系起來，從而構造出幾何圖形，把代數問題轉化為幾何問題來解決.增強問題的直觀性，使問題的解答事半功倍.

例4 （2011·西北師大附中蘭外招生）已知：0

分析 在求證條件不等式時，可根據題設條件做出對應的圖形，然后運用圖形的幾何性質或者平面幾何的定理、公理去建立不等式使結論獲證.

證明 如圖所示，作邊長為1的正方形ABCD，在AB上取點E，使AE=a;在AD上取點G，使AG=b，過點E作EF，使EF∥AD交CD于F;過點G作GH∥AB交BC于H.設EF與GH交于點O，連接AO，BO，CO，DO，AC，BD.

由題設及作圖知△AOG，△BOE，△COF，△DOG均為直角三角形，因此，

OA=a2+b2，OB=（1-a）2+b2，

OC=（1-a）2+（1-b）2，OD=a2+（1-b）2，

且AC=BD=2.

由于OA+OC≥AC，OB+OD≥BD，

所以a2+b2+（1-a）2+b2+a2+（1-b）2+（1-a）2+（1-b）2≥22.

當且僅當a=b=12時，等號成立.

從以上各例不難看出，構造法解題有著你意想不到的功效，問題很快便可解決.構造法解題重在“構造”，通過仔細地觀察、分析，去發現問題的各個環節以及其中的聯系，從而為尋求解法創造條件.因此，在解題時，若能啟發學生從多角度、多渠道進行廣泛的聯想，就會得到許多構思巧妙、新穎獨特、簡捷有效的解題方法，而且還能加強學生對知識的理解.運用構造法解題能培養學生思維的靈活性，提高學生分析問題的創新能力，也可從中欣賞數學之美，體會解題樂趣.