一個最快到達方案問題

姜紅

一、問題呈現

甲、乙、丙三人要從A地沿同一路線到60千米外的B地，甲有一輛電動車，除了自己一次只能再搭載一個人.車速為30千米/時，人行走的速度為6千米/時.想要設計方案，使三人能盡快到達B地.現有如下兩個方案：

1.甲先騎車送乙到B地，再返回A地接丙到B地;

2.甲先騎車送乙到離B地不遠的某處，讓乙下車步行前往B地，再折返A地接丙到B地;

3.丙步行往B地走，同時甲騎車送乙到離B地不遠的某處，讓乙下車步行前往B地，再折返接上步行前來的丙，三人同時到達B地.

二、問題分析

方案1、2中，因為沒有讓人與車進行充分同時行動，故必然不是最快到達方案;

方案3中，行走情況用線段圖示意如下：（其中實線代表騎車，虛線代表步行），因此，關鍵在于何時把乙放下，讓他步行到B地，同時甲回頭，并在點E處遇到正在行走中的丙.

三、問題解決

依據原題題意，要求三人同時到達，故：

車走AC的時間+乙走BC的時間=丙走AE的時間+車走BE的時間

可設：BC=x千米，則AC=（60-x）千米.

方法1 因為從開始車和丙一直都在走，故

丙從A到B的時間=車走AC，CE，EB時間的和用含有x的代數式表示CE是問題的關鍵，

由于V車∶V人=30∶6=5∶1，

所以AD=15AC，CD=45AC，

在CD段丙與車相向而行，是相遇問題，

故CE=55+1CD=56CD=56×45AC=23AC=23（60-x），

故AC+CE+EB=（60-x）+23（60-x）+23（60-x）+x=60+43（60-x）=140-43x，

可列方程60-x30+x6=140-43x30，

解得x=15.

方法2 若要三人同時到達B地，則乙后走的CB段路程必須等于丙先走的AE段路程.

設BC=x千米，則AE=BC=x千米，CE=（60-2x）千米.

依據乙走CB的時間等于車走CE+EB的時間，可列方程如下：

x6=（60-2x）+（60-x）30，

解得x=15.

注意：此法，對車輛載人后速度發生變化時也一樣適用.

方法3 若要三人最快到達，則應該三人都在行進，同時到達B地.

∵車走AC的時間+乙走BC的時間=丙走AE的時間+車走BE的時間，且車速、人行走的速度都不變，所以二者只是先后順序不同，BC必等于AE.即只有乙、丙兩人步行的路程和乘車的路程分別相等，兩批人才能同時到達.而30÷6=5，即車速是步行速度的5倍，所以可得下圖：

上圖中，AC和AD段甲乘車、丙步行時間相同;CE和DE段甲、丙的時間也相同.所以，AC是AD的5倍，CE是DE的5倍.于是假設DE的長為y，那么CE為5y，CD=DE+CE=6y，而CD是AD的4倍，AD=6y÷4=1.5y，CB=AE=1.5y+y=2.5y.

由此，一共有1.5y+6y+2.5y=10y，點C所在的位置就是2.5y10y=14處，60的14是15，所以在離B地15千米處把甲放下來即可.

四、問題的一般化

假設車速是步行速度的k倍，依據以上方法3可得下圖：

同樣的方法可以得出：

CBAB=（k+1）yk-1+y（k+1）yk-1+（k+1）y+（k+1）yk-1+y=2k+3.

所以，對這種最快到達方案問題，若載人后車速發生變化，則可依據方法2列方程進行計算，若車速始終不變，只要計算2k+3的值，就可以知道該怎樣設計方案了.