關(guān)于無平方因子數(shù)的密率問題

華國棟

【摘要】本文給出在自然數(shù)集合中滿足無平方因子數(shù)的密率的精確公式，證明了這個密率公式與Riemann-ζ函數(shù)之間深刻的聯(lián)系.

【關(guān)鍵詞】無平方因子數(shù);密率;Riemann-ζ函數(shù)

【基金項目】本文得到教育部和國家自然科學基金項目的大力支持.

一、引 言

數(shù)論作為數(shù)學中重要的一個研究方向，在數(shù)學中有重要的地位.數(shù)論的研究對象是整數(shù)，數(shù)論的問題表述很容易理解，但是證明卻有相當大的困難.數(shù)論屬于純粹的數(shù)學，數(shù)論的研究領(lǐng)域廣泛，有很多的分支學科，比如，初等數(shù)論，代數(shù)數(shù)論，數(shù)的幾何等.數(shù)論中對不同的研究分支形成了特定的研究方法與研究的范式，這些方法從數(shù)學中的其他分支如分析學，代數(shù)學，泛函分析等不同的領(lǐng)域借鑒方法，在整合數(shù)論中的各種問題中，形成豐富多彩的數(shù)學思想與理論.數(shù)論的集大成者高斯曾說：“數(shù)學是科學的女皇，數(shù)論是數(shù)學的皇冠”.這表明數(shù)論在數(shù)學中的重要地位，數(shù)論作為純數(shù)學對促進數(shù)學本身的理論發(fā)展與完善發(fā)揮著重要的意義.

整數(shù)是數(shù)論中最常見的對象，我們一般而言處理對象是正整數(shù)集合，我們把正整數(shù)集合記作N.數(shù)論中組成正整數(shù)的基本單元是素數(shù)，素數(shù)一般用p表示，算術(shù)基本定理表述為每一個正整數(shù)都可以表示為素數(shù)的乘積，在不計次序的情形下是唯一表示的.無平方因子數(shù)定義為對任意的素數(shù)p，如若滿足對正整數(shù)n有p2n，那么n稱之為無平方因子數(shù).我們定義如下的表達式：

Q（x）=#{n≤x：n是無平方因子數(shù)}，

那么一個很自然的問題是：對Q（x）而言在正整數(shù)集合中的密率為多少，即數(shù)學表達式Q（x）x在x→∞時的比值是否存在，如若存在，這個確切的值具體是什么數(shù).我們從直觀上可以這么理解，我們需要在集合N中刪去所有22的倍數(shù)，然后刪去所有32倍數(shù)，依次類推，需要刪去所有是素數(shù)平方的倍數(shù).根據(jù)概率的方法，我們可以有如下的猜想：

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