數學文化下的完全平方教學設計

吳佐紀

【摘要】作為一線教師眼中的數學文化教學，從二基要求到數學核心素養的培養，教與學如何辯證地把握？筆者從情感努力出發，抓住一詞一句一文化在感染學生的學習和生活，“啊哈”“楊輝三角”等好記的詞來激發學生對數學課學習的熱情，把數學的教與學作為人類文化的重要組成部分來進行詮釋，突出以中國“芯”要求為教與學的爆破點，強調自信地學，不惟考試論.

【關鍵詞】數學文化;正方形面積

【基金項目】福建省教育科學“十三五”規劃教育科研基地專項課題“基于問題導引的初中數學“五學”教學模式的實踐研究”（課題編號：FJKYJD16-11）.

學完數學我們剩下什么？第一是我們“菜大媽”級的強大計算力，第二呢？就是沒有什么實用的了，這是很多人的想法.難道是真的嗎？不是.其實，我們剩下很多很多，有一種叫思維，有一種叫能力，還有一種叫思考的習慣，還有一種叫學習的樂趣，一種可以終身為之而努力的學習情感等.我們義務教育階段的數學教育除了滿足學業水平和升學考試需要外，我們還要培養學生什么.對教師來說，數學文化視域中的數學教師應該追求“超越”水平的數學教學，而這種“超越”水平的數學教學則應充分體現“整體、聯系與轉換”“留有余地”等特征[1].在《標準》中的前言是這樣說道：“數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民具備的基本素養.作為促進學生全面發展教育的重要組成部分，數學教育既要使學生掌握現代生活和學習所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代作用.”[2]最近“中國芯”在人民心中產生不少地震動，而數學這個基礎學科，是自然科學的重中之重的學科，對學生的啟蒙發展起著很大的作用.最近本人總是以“中國芯”的開發為教與學的爆破點，一直在強調只有自己有“芯”，祖國才會昌盛.當然每個個體發展的不一樣，那他們的“芯”要求也不一樣，但對自己有要求之后，才會對學習產生興趣，而興趣是個非常好的老師.

筆者很喜歡在北師大版七年級上冊第五章的第一節練習中的一個問題：在一卷公元前1600年左右遺留下來的古埃及紙書中記載這樣一個問題：“啊哈，它的全部，它的七分之一，其和等于19.”這個“啊哈”的詞令本人激動不已，它是對字母表示數解決問題的快，對方程應用的感嘆，是一種新思維的快挑戰，是一種學習的奇樂趣.

今天討論的問題來自：在教學多項式乘多項式的課時作業中有幾題（x+y）2型的乘方算式，很多同學大膽地使用了積的乘方公式來進行計算得x2+y2，“啊哈，這是真的嗎？”

由此，筆者對完全平方公式的教學就有了筆者的創意了.為使學生在教學中積極探索，不是跟著教師走，筆者設計如下三節課時來探究完全平方公式.

一、第一節課的課題是研究正方形面積的加

案例簡要：

此課時的開篇引入是求正方形面積.學生高興壞了，不就是等于a的平方.“好的，如果一組兩鄰邊長均增加長度b再成正方形，那么新正方形的面積是多少？請同學們在小組里討論討論.”這時學生個個躍躍欲試，討論聲是此起彼伏.最后經過學生小組討論，一致地認為，要解此問題，先畫一個相當的圖比較合適，然后在圖中進行觀察并計算，可以得出結果為（a+b）2，或是可以看作是幾個小塊圖形的面積之和即a2+ab+ab+b2.這樣的討論結果很好，是本節課很想要的預構目標，也為本節課的演繹奠定了學習的基礎.探究繼續：“如若正方形的兩鄰邊長均增加2后構成新的正方形，那么新圖形面積會是多少？還是把解決問題的權利交給學習小組，讓他們玩去吧！”筆者作為一個巡查者，觀察者到處看看.大部分學生在小組中都能找到解決的方案，并且較順利地進行利用圖形進行圖解題意.

“好吧，大家對剛才自己的探討有什么發現？”

接著，教師道：“我弱弱地問大家一個神秘地問題.”教師神經兮兮地把上一節的錯誤問題給列出來：“那大家知道（x+y）2會等于多少？真是等于x2+y2嗎？”學生沉默了一會兒.平時幾個數學鬼靈精就要開口欲言.筆者見狀，趕緊說“你們若想好了，不如先向小組同學匯報一下你們的看法如何？小組如果力推你，我就讓你講.好吧，好吧，開始，用你的智慧說服你的隊友，尋求你隊友的支持.”最后在師生相互交流中我們得到共識：（a+b）2=a2+2ab+b2.

于是，大家來一起定義這樣一個基本事實，（a+b）2的展開與（ab）2展開是不一樣的，道理應當是這樣的：（ab）2=a2b2，這是叫積的乘方，而對（a+b）2=a2+2ab+b2這樣的等式，我們稱它為完全平方公式.應用中：（x+4）2，（x+3y）2，1022.大家利用剛才的發現來解決這些問題，當然大家還要用圖形對她們進行解釋說明.啊哈，英雄們沖啊！

二、第二課時的課題是研究正方形面積的減

案例簡要：

昨天大家探索得出一個叫完全平方公式的等式，復習一下：“她的圖形特征是怎樣的，等式特征如何？你會怎樣描繪她的代數式形狀？”這里的復習要求是從圖形和代數兩個角度來考查學生的記憶特征.

好的，我們再次積極地來探索一個反方向的問題：“你知道（a-b）2等于多少？好了，問題已經擺在我們的面前，你們可以征服她嗎？來吧，勇士們！”

學生積極地在小組中進行研究討論，發表自己的見解.學生根據昨天地學習經驗在畫圖，在計算，在討論.師生交流：“把一個邊長為a正方形邊長的兩領邊分別減去b的長度，再做出正方形，則余下的圖形面積是（a-b）2.如若從分塊角度，大家認為如何表示新的正方形的面積？”教師再次積極地引導大部分的學生進行再次思考，這個非常有必要，因為學生的層次差別很大的.最后大家共同得出：a2-ab-ab+b2.“為什么最后要加一個b？從圖中可以得知減去兩個ab的面積，在角落多減去一片b的面積.于是我們可以得到怎樣的一個等式？哦，是的：（a-b）2=a2-2ab+b2.請同學們思考，這個等式與昨天的探索出的等式是否有聯系？請同學們認真的比對和思考.”幾分鐘過去，交流時間開始.一生說：“同學們，你們看，等式右邊都是三項，每項除符號外均相同，有兩項是完全相同，它們分別是a2和b2，就是2ab項是有正負的，昨天的是正的，今天這個是負的.”另一生積極地補充道：“括號內是加時，2ab項前的符號就是加的，括號內是兩項相減的，則2ab項前的符號就是減的.真是如這兩個同學所言嗎？請大家在小組里就剛才這兩個同學的發言進行再次的審視和論證.”

既然大家發現有這樣的特征關系，我們可以正確地使用它嗎？練習鞏固：（x-4）2，（x-3y）2，982.

三、第三課時的課題是用三角形解（a+b）5展開式

案例簡要：

“課題很動人哦！好吧！回憶前面兩節我們探索得知有這樣兩個等式事實：她們叫著什么來著？”生一起悅言道：“完全平方公式.”“你知道在中國什么時候就出現這樣的公式.今天我們來好好了解一下，好好來考古一下.”下面材料從網上下載，制作成幻燈片，與學生共同學習和了解：

北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算.（不會吧，這么厲害，是高次開方，說明中國先人早早就對自然科學進行的研究.）楊輝，南宋時期杭州人.在1261年所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄了三角形數表，稱之為“開方作法本源”圖，并說明此表引自11世紀中葉（約公元1050年）賈憲的《釋鎖算術》，并繪畫了“古法七乘方圖”.故此，楊輝三角又被稱為“賈憲三角”.元朝數學家朱世杰在《四元玉鑒》（1303年）擴充了“賈憲三角”成“古法七乘方圖”.

意大利人則把它稱之為“塔塔利亞三角形”（Triangolo di Tartaglia）以紀念在16世紀發現一元三次方程解的塔塔利亞.在歐洲直到1623年以后，法國數學家帕斯卡在13歲時發現了“帕斯卡三角”.布萊士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介紹了這個三角形.帕斯卡搜集了幾個關于它的結果，并以此解決一些概率論上的問題，影響面廣泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亞伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡來稱呼這個三角形.21世紀以來國外也逐漸承認這項成果屬于中國，所以有些書上稱這是“中國三角形”（Chinese triangle）.

“同學們看完這個中國三角形的歷史介紹，你當如何想呢？”今天，中國要在品牌品質上要進一步發展壯大，更加需要在自然科學方面做出更加重大的突破，來破解中國發展中諸多方面的“芯”要求.在學習中，要善于發現新的計算規律，去探索空間里存在的規律.

“我們已經知道（a+b）2=a2+2ab+b2，那么（a+b）3的三次方會等于什么？當然，我們可以根據以前所學進行求解，把（a2+2ab+b2）再乘（a+b），而后再次使用乘法分配律進行計算.那么（a+b）4會等于多少？”師生一起操練.

“如果將上述每個式子展開的各項系數排成列表，與書上的楊輝三角一樣嗎？你們可以看出這個三角形的數字排列來怎樣的規律？好的，我們現在一起利用這個規律來展開（a+b）5.”

教師通過這節課讓學生知道一下中國的自然科學探索古就有之，而不是全部是外國引進的，建立起初步地文化自信，民族自信，夢想自信.

四，教學反思

圖形是數學最美的東西，是解開數學美的一個好工具，有了圖形數學就變得生動，變得有味道.是的，你可以從圖形中看到數學的美.“啊哈，我可以記住，我可以容易地記住數學”，這就是圖形給你和我的驚喜.有圖有數是快樂，有圖無數缺點什么，有形無圖好無味.

在以上案例教學中，我們從平常地正方形面積變化，到歷史長河中的楊輝三角，學生可以較有味道地進行理解和解讀中學階段的一個重要公式，從這樣的探索中，學生可以更加深刻地體會數形結合產生的研究成果，也感受到楊輝三角解二項式的直觀.這里為什么要設計第三課時學習和認識楊輝三角，這是數學文化作為一種文化形態，在低學段開展對人發展的影響作用可能更大，義務教育階段的積極開展數學文化的教學與研究具有重要的意義[3].

【參考文獻】

[1]徐文彬，彭亮.中國數學教育哲學研究的回顧與反思（2000-2015）——兼論數學文化的教育哲學探索[J].數學教育學報，2017（2）：6.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012：2-3.

[3]裴昌根，宋乃慶.我國數學文化研究的文獻計量分析[J].全球教育展望，2017（2）：89-98.