構造法在中小學數學中的應用

張正華

構造法是指當解決某些數學問題使用通常方法按照定向思維難以解決問題時，應根據題設條件和結論的特征、性質，從新的角度，用新的觀點去觀察、分析、理解對象，牢牢抓住反映問題的條件與結論之間的內在聯系，運用問題的數據、外形、坐標等特征，使用題中的已知條件為原材料，運用已知數學關系式和理論為工具，在思維中構造出滿足條件或結論的數學對象，從而，使原問題中隱含的關系和性質在新構造的數學對象中清晰地展現出來，并借助該數學對象方便快捷地解決數學問題的方法.

平時在教學中，讓學生在課堂中感覺到數學的樂趣，數學的快樂，我們教師設計學生喜歡的問題，設計一些化繁為簡的妙解.

一、雞兔同籠的構造

《孫子算經》是中國古代重要的數學著作.成書大約在四、五世紀，也就是大約一千五百年前，作者生平和編寫年不詳.傳本的《孫子算經》共三卷.卷上敘述算籌記數的縱橫相間制度和籌算乘除法，卷中舉例說明籌算分數算法和籌算開平方法.卷下第31題，可謂是后世“雞兔同籠”題的始祖，后來傳到日本，變成“鶴龜算”.書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭;從下面數，有94只腳.求籠中各有幾只雞和兔？此題被義務教育課程標準實驗教科書人教版數學五年級上冊選為補充教材并且在部分五～六年級的課外習題所用及義務教育課程標準實驗教科書北師大版數學八年級上冊“應用二元一次方程組——雞兔同籠.”

此題可以根據學生年齡特點用不同的方法解答

（一）擺一擺、畫一畫（二年級學生）

此題對二年級學生來說，因為有兩個未知數，解答起來很困難，所以采用畫圖的方法.

第一步先畫35個頭

第二步每個頭畫兩只腳

剩下的24只腳可以分給12個頭，每個頭可以畫兩只腳.由此可得4只腳的是兔子，2只腳的是雞.兔有12只，雞有35-12=23（只）.

（二）假設法（五六年級學生）

方法一：假設全部是雞，一共有：35×2=70只腳，但實際上有94只腳.少算了94-70=24只腳.因為每只兔少算了2只腳，因此，共有多少只兔呢？24÷2=12只.則雞有35-12=23（只）.

方法二：假設全部是兔，一共有：35×4=140只腳，但實際上有94只腳.多算了140-94=46只腳.因為每只雞多算了2只腳，因此，共有多少只雞呢？46÷2=23只.則兔有35-23=12（只）.

方法三：金雞獨立.兔兩個后腳著地，前腳抬起;雞一個腳著地，一個腳抬起.則腳的數量是原來的一半94÷2=47只.現在雞有一只腳，兔有兩只腳.籠子里只要有一只兔子，則腳數比頭數多1.那么腳數與頭數相差47-35=12個就是兔子只數，則雞有35-12=23（只）.

方法四：砍腿法.先砍掉每只雞、兔的兩只腳，則雞沒腳了，兔還有兩只腳.腳的總數就變成94-35×2=24只.這24只腳就是砍掉兔的兩只腳后的兔子的腳.兔的只數：24÷2=12只.則雞有35-12=23（只）.

（三）一元一次方程法（七年級）

解：設雞有x只，則兔有（35-x）只.列方程得：2x+4（35-x）=94.解得x=23，則兔35-23=12（只）.

（四）二元一次方程組法（八年級）

解：設雞有x只，兔有y只.列方程組得x+y=35，2x+4y=94， 解得x=23，y=12.

二、等式性質的構造

等式性質：性質1等式兩邊同時加上（或減去）同一個整式，等式仍然成立.若a=b那么a+c=b+c性質2等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的整式，等式仍然成立.若a=b那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c（c≠0）性質3等式具有傳遞性：若a1=a2，a2=a3，a3=a4，…，an=an，那么a1=a2=a3=a4=…=an.

很多課堂中的一些復雜計算，列方程解應用題，動點問題等，如果構造等式的性質，會讓一些問題迎刃而解.

（一）妙用參數解計算

數學化歸的基本形式有化難為易、化生為熟、化繁為簡、化整為零、化曲為直等等.

對較復雜的計算，如果采用構造參數的方法，會化難為易.

例2 計算：1+12+13+14×12+13+14+15-1+12+13+14+15×12+13+14.

這是兩個積的差，觀察算式發現.兩個積的因數有一部分相同.為了簡化算式，我們設12+13+14=a，12+13+14+15=b這樣就得：

1+12+13+14×12+13+14+15-1+12+13+14+15×12+13+14

=（1+a）×b-（1+b）×a

=b+ab-a-ab

=b-a

=15.

（二）妙用等式解方程（組）

例3 將內徑為60毫米的圓柱形長桶（已裝滿水）中的水向一個內徑為40毫米，高為135毫米的圓柱形塑料杯倒入.當注滿塑料杯時，長桶中水的高度下降多少毫米？（用方程解）

解 設長桶中水的高度下降x毫米.根據題意列方程：π×6022x=π×4022×135.有些學生還要一步步計算，這樣很復雜，如果用等式性質，兩邊同除以π，得3600x=400×135，再兩邊同除以400，得9x=135，兩邊再同除以9，得X=15.學生說太妙了.真正激發了學生學習數學興趣.

（三）妙用等式應用外角定理

例4 如圖所示，已知∠xOy=90°，點A，B分別在射線Ox、Oy上移動，BE是∠ABy的平分線，BE的反向延長線與∠OAB的平分線相交于點C，試問∠ACB的大小是否發生變化？如果保持不變，請給出證明;如果隨點A，B移動發生變化，請求出變化范圍.

解 利用外角定理：∠yBA=∠AOB+∠BOA，∠4=∠C+∠1.

又∵BE是∠ABy的平分線，BE的反向延長線與∠OAB的平分線相交于點C，

∴∠3=∠4，∠1=∠2，∴2∠4=90°+2∠1，由等式性質得，∠4=45°+∠1.又∠4=∠3+∠1.由等式性質得，∠3=45°，可知保持不變.

生活中處處有數學，數學中處處有計算，計算中處處有等式性質，只要同學們能夠巧妙地運用構造法的數學思想，總是能找到捷徑之路，讓我們的課堂更精彩.

綜上所述，數學思想中的構造法在生活中處處可見，那就要我們的數學教育工作者，去捕捉嘗試找到適合可以激發學生想象力的、可以培養數學思維的題目，讓他們在解題過程中找到樂趣的數學題.

課前預習，讓學生對即將要學的新知識有初步的認識，使得學生對數學知識的理解經歷從簡單到復雜、從舊到新、從巧入深、從具體到抽象的變遷過程.學生通過教師設計的數學史料導學單，不僅可以讓學生帶著問題去聽課，提高數學課堂的教學效率，還可以發揮學生的自主學習能力，提高學生學習數學的興趣，培養他們良好的學習習慣，同時，逐漸培養學生學會看書查閱資料，養成自主學習的良好習慣.

（三）作為課堂結束語

課堂結束語的最高境界和最終目的應該是實現教學內容的升華，通過課堂結束語對教學內容加以提煉、挖掘、整理，使得學生不僅能掌握教學內容的深刻內涵，又能理清教學過程的整體脈絡.此外，作為課堂結束語，教師應該有目的的為下節課或以后要學的教學知識作為鋪墊，只有引起學生對后續的學習材料產生興趣，才能有效地激發學生的求知欲，而學生的積極思維往往都來自“疑”.因此，作為教師我們就應該好好利用這點，恰當利用數學史的知識來結束教學內容，設置疑問來激發學生興趣.

例如，在六年級“圓的認識”的教學過程中，當學生已經理解了圓、圓的半徑與直徑的概念之后，教師可以談話引入，其實在很久以前，人們就對圓進行了研究，并且發現了圓的一些規律.“比如，在春秋戰國時期，有一位偉大的思想家墨子，在《墨子·經上》中，描述了他對圓的認識和研究：‘圓，一中同長也，請問同學們誰能把這句話進行解釋？”[5]于是學生就會結合本節課所學的知識點，嘗試著回答自己對這句話的理解.

數學史料在課堂結束語的使用，可以讓學生在探索知識的奧秘中體現出一種“余音繞梁，三日不絕”的藝術魅力.把墨子對圓的解釋作為小結，可以巧妙地把數學史有機的滲透在數學的教學過程中，使得數學教學更多了一種文化的厚重感.

三、小 結

將數學史滲透在小學數學的教學過程中，它方法是多種多樣的.它不僅僅取決于教學內容，還取決于數學理念和歷史背景等等.在實際的數學教學過程中，教師就要需要具體情況具體的分析，挖掘數學史料背后的深層知識，合理、有效的利用數學史，將它高效的滲透到小學數學的教學中.讓數學史料的滲透成為小學數學的日常教學過程中，使從數學史角度出發的教學設計成為小學數學課堂的教學常態，還學生一個有魅力的、熱情的數學.

【參考文獻】

[1]劉開軍.高等數學教學中滲透數學史的探索與實踐[J].漯河職業技術學院學報，2014（5）：174-175.

[2]陳曉敏.數學史應滲透在數學教學中[J].金色年華：下，2012（7）.

[3]王娟.數學史料融入初中數學課堂的研究[D].濟寧：曲阜師范大學，2012.

[4]吳絢燦.數學史料融入小學數學課堂教學的研究[D].杭州：杭州師范大學，2016.

[5]陳朝東，穆琳.數學史在我國小學數學教材中的滲透[J].現代中小學教育，2013（3）：7-10.