基于改進遲滯阻尼模型的混合結構抗震分析SRSS法

孫攀旭，楊紅,b，劉慶林

(1. 重慶大學 a.土木工程學院；b.山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室，重慶 400045； 2. 深圳信息職業技術學院 交通與環境學院，廣東 深圳 518172)

混合結構的地震響應計算方法與單一材料結構采用的常用方法不同。由于不同材料的阻尼比不同，混合結構的阻尼矩陣并不與質量矩陣或剛度矩陣保持比例關系，故混合結構無法直接采用基于粘性阻尼模型的實模態疊加法，抗震計算時也無法直接采用SRSS法。

目前，常用的阻尼模型為粘性阻尼模型和復阻尼模型[1]。對于混合結構，選擇結構的重要振型，可得到相應的Rayleigh阻尼矩陣，進而實現模態疊加法[2-4]，但其結果不具有唯一性，高階振型地震作用效應亦偏小[5]；采用等效阻尼比的思路，將阻尼矩陣等價為比例矩陣，同樣可實現模態疊加法[6-7]，但計算出局部結構的地震效應偏小或偏大[8]；汪夢甫[9]、Neugebauer等[10-11]利用狀態空間法，提出了基于粘性阻尼模型的復模態疊加法，但矩陣維度增加了一倍，計算量較大；劉慶林等[12]基于復阻尼模型的復模態疊加法可直接適用于混合結構，但計算較為復雜，且直接剔除復阻尼運動方程通解中發散項的做法存在理論缺陷[13]。Wang[14]采用Rayleigh阻尼矩陣等效復阻尼矩陣，Reggio等[15]將Maxwell-Wiechert本構模型等效于復阻尼本構模型，進而解決了發散問題，但上述方法得到的計算結果與復阻尼理論存在一定的誤差。遲滯阻尼模型計算結果唯一，且克服了粘性阻尼模型中每周期耗散能量與外激勵頻率相關的缺點。同時，遲滯阻尼模型的時域計算結果穩定收斂，避免了復阻尼模型的發散現象[16]。

遲滯阻尼模型克服了粘性阻尼模型和復阻尼模型的缺陷，但不滿足能量守恒的原則。本文利用結構每周期耗散能量與阻尼做功相等的特性，對遲滯阻尼模型的阻尼系數進行修正，得到改進遲滯阻尼模型，并提出了對應的混合結構模態疊加法。同時，分析改進遲滯阻尼模型的反應譜特點，計算最不利地震作用效應組合，并提出了基于改進遲滯阻尼模型的混合結構抗震分析SRSS法。

1 基于改進遲滯阻尼模型的SRSS法

1.1 改進遲滯阻尼模型

遲滯阻尼模型假定阻尼力與結構的位移大小成正比，與結構的速度方向相反[16-17]。單自由度體系的遲滯阻尼運動方程為

(1)

式中：m為質量；k為剛度；η為損耗因子，即η=2ξ[12]，ξ為阻尼比；g(t)為地震加速度。

(2)

設單自由度系統響應x=Xsinθt，一個振動周期內結構的耗散能量為

ΔE=πηkX2

(3)

一個振動周期內阻尼力做的功為

ΔW=-2ηkX2

(4)

由式(3)和式(4)可知，阻尼力做功與結構每周期耗散能量的大小不相等，需要對遲滯阻尼模型進行修正。定義遲滯阻尼模型下，單自由度體系的阻尼力為

fd=-λτkx(t)

(5)

式中：λ為阻尼系數。

由式(5)計算出每周期阻尼力做功為

ΔW=-2λkX2

(6)

利用每周期耗散能量與阻尼力做功大小相等，得

2λkX2=πηkX2

(7)

進一步計算出阻尼系數為

(8)

從而得到改進的遲滯阻尼運動方程為

(9)

1.2 基于遲滯阻尼模型的混合結構抗震分析SRSS法

改進遲滯阻尼模型下阻尼力為

(10)

由式(10)可得到改進遲滯阻尼模型的阻尼力-位移變化曲線(見圖1)，阻尼力不隨位移的變化而連續變化，因此，改進遲滯阻尼系統不再保持整體線性特征，而是具有局部非線性特征，導致多自由體系不能直接采用模態疊加法。

圖1 阻尼力位移變化曲線Fig.1 The change curve between damping

對于混合結構，多自由度體系的改進遲滯阻尼運動方程為

(11)

(12)

(13)

(14)

式(14)對應的齊次方程為

(15)

由式(15)可計算出對應的自振頻率和特征向量，采用改進遲滯阻尼模型時，Kf可視為結構的動態剛度矩陣，結構的振動過程將是剛度不斷變化的過程。由式(15)可知，方程的特征值和特征向量不僅與結構的質量、剛度和阻尼有關，還與運動過程中的符號矩陣有關。對于n自由度結構，符號矩陣的個數為2n，因此，需要計算對應的2n個特征值和特征向量。當符號矩陣確定時，利用每個符號矩陣對應的特征向量，可對式(11)進行解耦計算，進而實現改進遲滯阻尼模型的模態疊加法。

利用特征向量和加速度反應譜，可計算每個符號矩陣對應下的地震作用效應，但為了保證結構設計的安全性，用于設計的地震作用效應須選擇最不利情況，即多種地震作用效應中的最大值，從而可實現改進遲滯阻尼模型的抗震分析SRRS法。

2 基于改進遲滯阻尼模型的加速度反應譜

采用改進遲滯阻尼模型時，單自由度體系的時域積分計算仍按照時間步長Δt進行離散，任意時刻可表示為tk=kΔt(k=0,1,2…)。當Δt取值足夠小時，可利用tk時刻結構的動力響應確定tk+1時刻的符號矩陣，并得到tk+1時刻的運動方程，由此進行時域迭代計算。利用單自由度的加速度響應，可得到基于改進遲滯阻尼模型的加速度反應譜。

加速度反應譜是結構抗震分析SRSS法的重要依據。以兩條地震波為例，分析了改進遲滯阻尼模型加速度反應譜和粘性阻尼模型反應譜之間的差異。

在圖2和圖3中，計算所得的兩條地震波作用下改進遲滯阻尼模型(CZ)的加速度譜值和粘性阻尼模型(NZ)的加速度譜值表明：在短周期段，CZ計算的加速度譜值小于NZ計算結果；在中周期段和長周期段，CZ計算的加速度譜值大于NZ計算結果。

圖2 遷安波東西分量加速度反應譜Fig.2 The acceleration response spectrum of east-west Qian-an wave

圖3 El Centro波南北分量加速度反應譜Fig.3 The acceleration response spectrum of south-north El Centro

由于本文的重點在于研究遲滯阻尼理論的改進以及混合結構SRSS法的實現方法，對于遲滯阻尼理論反應譜的深入分析以及兩種阻尼模型對應的設計反應譜的差異和對地震響應計算結果的影響，有待后續研究進一步澄清。與此同時，考慮到基于粘性阻尼理論的規范設計反應譜存在人為抬高拉平的做法[18]，故在后續算例中采用改進遲滯阻尼模型進行SRSS計算時，仍暫時借用規范的設計反應譜。

3 算例分析

如圖4所示，以不同材料組成的3層剪切型框架結構為例，其具體參數為：抗震設防烈度為8度，設計基本地震加速度為0.20g，設計地震分組為第2組，場地類別為II類，鋼結構的阻尼比為0.02，鋼筋混凝土結構的阻尼比為0.05。

圖4 豎向混合結構框架的質量和剛度分布圖Fig.4 The mass and stiffness distribution of vertical mixed structure

質量矩陣為

(16)

剛度矩陣為

(17)

阻尼矩陣為

(18)

對于3層框架，其符號矩陣共有8個，因此，需要計算每個符號矩陣對應運動方程下的框架層間剪力。如上文所述，基于改進遲滯阻尼模型的SRSS法可暫時采用規范反應譜，據此可計算出8個符號矩陣對應下的層間剪力，其結果如表1和圖5所示。

在圖5中，繪制了層間剪力的散點圖，可得到最大剪力包絡線，即選擇最不利地震作用效應組合，從而計算出改進遲滯阻尼模型下的框架層間剪力。

表1 采用改進遲滯阻尼模型計算的層間剪力Table 1 Calculated story shear forces by improved hysteretic damping model

圖5 基于改進遲滯阻尼模型的層間剪力Fig.5 Story shear forces based on improved

混合結構基于粘性阻尼模型的SRSS法可采用等效阻尼比ξd計算層間剪力。選擇等效阻尼比時，若直接取阻尼比的平均值，可得等效阻尼比為0.035；若采用復頻率法[6]確定混合結構振型阻尼比，將質量參與系數作為權系數進行加權平均，得到的混合結構等效阻尼比為0.038 9。分別采用粘性阻尼模型的SRSS法(NZ_SRSS)和改進遲滯阻尼模型的SRSS法(CZ_SRSS)計算框架的層間剪力，其結果見表2。

表2 不同方法計算的層間剪力Table 2 Story shear forces with different methods

CZ_SRSS的計算結果較NZ_SRSS(ξd=0.035)計算的層間剪力增加幅度為14.81%～16.75%，表明CZ_SRSS的計算結果普遍較大，且頂層剪力增幅最大，達到16.75%；CZ_SRSS的計算結果較NZ_SRSS(ξd=0.038 9)計算的層間剪力增加幅度為16.92%～19.14%，其增幅規律類似，且頂層剪力增幅達到19.14%。

對于N層剪切型框架，第k層結構在符號矩陣中對應的對角元素為1，其他層結構對應的對角元素為-1，即

(19)

此時，相比粘性阻尼模型下原結構的剛度分布情況，第k層結構對應的剛度增大，其他層對應的剛度減小，進而導致計算結果中第k層結構對應的地震作用效應增大。

基于改進遲滯阻尼模型的SRSS法選擇每個符號矩陣對應下的最大地震作用效應，進而形成最不利地震作用效應組合，使得改進遲滯阻尼模型計算的地震作用效應大于粘性阻尼模型。

4 結論

經理論推導和算例分析，得以下結論：

1)改進遲滯阻尼模型具有每周期耗散能量與外激勵頻率無關的優點，但改進遲滯阻尼系統不再保持線性特征，具有局部的非線性特征。

2)與粘性阻尼模型相比，基于改進遲滯阻尼模型的模態疊加法可適用于非比例阻尼矩陣的混合結構。

3)基于改進遲滯阻尼模型的混合結構抗震分析SRSS法需要計算每種符號矩陣下的地震作用效應，計算量相對較大；若選擇最不利地震作用效應組合，改進遲滯阻尼模型計算的地震作用效應比粘性阻尼模型計算的地震作用效應更大，其增大幅度約為15%～20%。