隨機人群運動荷載作用下大跨度連廊的振動響應

張瓊，南娜娜，朱前坤,2，杜永峰

(1. 蘭州理工大學 防震減災研究所，蘭州 730050；2.大連理工大學 建設工程學部，遼寧 大連116024)

近年來，隨著新型輕質材料的發展，以及人們對結構新穎、美觀的追求，使得輕質、低頻結構的使用越來越廣泛。人群荷載作為連廊、人行橋等結構的主要荷載，是引起結構振動的主要原因，當結構自振頻率較低時，易與行人步頻接近而發生共振，結構振動響應超過人體對振動舒適度的要求，可能引起行人的恐慌甚至導致結構的安全問題[1-3]。

人群荷載模型是研究人致結構振動的基礎，目前對單個行人對結構的響應研究較多，但對人群荷載的研究較少，研究表明，人群對結構的作用并不是單個行人的簡單疊加[4]。行人荷載與行人步頻有較大關系[5]，人群平均步速與人群密度有關，行人在不同人群密度下受到其他行人的影響不同，每個行人的移動方式及移動特征的表現也不盡相同，鑒于人群移動的復雜性以及隨機性，目前，人群對結構的作用大都采用簡化的計算方法，主要包括固定多人步行力法[6]、移動多人步行力法、等效同步人數法[7]等，這些模型都在一定程度上提供了人群對結構動力響應的計算方法。以上假設均沒有考慮行人個體的差異性以及個體間的隨機性。丁國等[8]通過引入步頻變異系數反映個體內的隨機性，引入體重及均值步頻的變化反映個體間的隨機性，研究了行人荷載隨機性對樓蓋結構振動響應的影響，結果表明，荷載隨機性對結構響應影響顯著，在舒適度評價中不可忽略。楊娜等[9]根據生物力學以及交通領域內對人體質量、行人步頻、步速等參數的統計分析，得到各參數的分布形式，再利用蒙特卡洛法產生相應的偽隨機數，并結合人群密度的影響作用生成考慮人群集度的隨機荷載模型。上述方法考慮了行人之間步態參數分布的隨機性以及個體在時間域內的差異性，但是忽略了行人之間以及行人與環境的交互作用。因此，得到的行人落點、步速等并不符合行人的實際情況，計算結果與實際結構響應可能會有較大偏差。

由Helbing等[10]提出的社會力模型，將人的主觀愿望、行人與行人之間、行人與環境之間的相互作用用社會力的概念表示，成功模擬了“快即是慢”“瓶頸擺動”等行人現象。筆者結合交通學以及生物力學領域內對行人步速、體重以及行人尺寸等參數的統計，考慮行人個體差異性以及個體之間的隨機性，利用社會力模型模擬人群的運動過程，得到任意時刻所有的行人落點、步速等；建立基于社會力模型的人群荷載隨機模型，并對不同行人密度下連廊結構動力響應進行計算，得到結構峰值加速度與行人密度的關系曲線，對隨機人群荷載作用下結構振動舒適度進行評價。

1 單人步行荷載模型

人行走時兩條腿交替移動，步行荷載對結構的作用具有周期性，其對連廊等結構產生的激勵主要為豎向激勵，時域內步行荷載廣泛采用傅里葉級數的形式[11]。

(1)

式中：αi是i階諧波的動力荷載因子，定義為αi=Ai/G；φi為第i階諧波的相位角；G為行人重量；fp為行人步頻；n為模型中考慮的階數；相位角φi=0。考慮前3階的影響，動載因子為

1.759 7fp+0.761 3

(2.1)

α2=0.07

(2.2)

α3=0.06

(2.3)

2 隨機人群荷載模型的建立

2.1 基于社會力模型隨機人群運動仿真

社會力模型認為行人的運動在社會力的作用下發生，其中包括自驅力、行人之間的作用力、行人與周邊環境之間的作用力。筆者在此基礎上引入了減速避讓機制[12]以及自停止機制[13]。當行人的動態空間被其他行人占據時，當前行人會采取減速機制以避免與其他行人發生碰撞，而當周圍行人對當前行人斥力過大，使行人的速度小于0，則賦與當前行人速度為0。自驅力

(3)

式中：mi為行人質量；ve為行人的期望速度；ei為行人期望運動方向；vi為行人的運行速度；Tα為松弛時間。行人之間的相互作用力包括行人之間的心理排斥力、減速避讓力和物理作用力。心理排斥力為

(4)

式中：A為行人之間的作用強度；B為行人之間的作用力范圍；(rij-dij)為行人之間的距離；λi為各向異性參數；φij為行人間的斥力與期望運動方向的夾角。減速避讓力

(5)

Fij=(KΘ(rij-dij))nij+kΘ(rij-dij)Δvijtij

(6)

(7)

式中：nij為行人j指向行人i的單位向量；tij由單位法向量nij逆時針旋轉90°得到；K與k為常數；Δvij為兩行人速度的矢量差。

行人與障礙物的相互作用與行人之間的相互作用原理一致，包括行人對障礙物的心理排斥力、減速避讓力以及物理作用力。

kΘ(ri-diw)(vi·tiw)tiw

(8)

式中：Aw為行人與障礙物作用力強度；Bw為行人與障礙物作用范圍；(ri-diw)為行人半徑與行人到障礙物的法向距離差；niw為由障礙物指向行人的單位法向量；tiw為平行于障礙物的單位切向力；[vi·tiw]為行人速度在障礙物方向上的投影。

利用MATLAB軟件對社會力模型進行仿真，仿真環境為一個長22.0 m、寬3.0 m的連廊。假定行人質量在50～80 kg的范圍內服從均值為65、方差為5的正態分布，行人期望速度與行人中老人、婦女的所占比重有關，假定在0.7～1.4 m/s的范圍內服從均值為1.29、方差為0.29的正態分布，半徑在0.2～0.3 m的范圍內服從均勻分布。其他參數的取值參考文獻[13]，如表1，仿真模擬如圖1所示。模擬結果表明，行人能夠有效地對其他行人以及障礙物進行避讓，將得到的密度-速度曲線與其他人實測的或模擬結果進行對比，結果吻合度較高。

圖1 人群模擬

2.2 行人速度-密度關系

利用社會力模型分別對2～90人范圍內選取幾種不同密度工況進行仿真，行人位置分布會影響每個行人的受力，進而影響行人速度以及結構的動力響應，考慮到行人的位置分布、期望速度等的隨機性以及仿真過程的波動性，每種密度工況下產生7組數據，計算每種工況下速度的平均值，進而得到行人速度-密度曲線，見圖2。將均值速度作為行人在某一密度下的移動速度，并與其他學者的結果進行對比，證明該社會力模型的可靠性。將得到的點進行擬合得到了密度-速度關系式

v=1.28-0.33k

(9)

式中：k為行人密度，即單位面積的行人數。由圖2速度-密度曲線可知，在行人密度小于0.5時行人速度的變化并不穩定，原因是，當密度小于0.5時，行人處于自由運動的狀態，速度具有較大的波動性，與實際情況符合；當密度大于0.5時，處于中密度狀態，行人之間的相互作用開始變得明顯，速度隨著密度的增大呈穩定下降趨勢。由文獻[14]，速度與行人步頻的關系可表示為

(10)

圖2 速度-密度曲線

2.3 隨機人群荷載

隨機人群荷載是單個行人荷載的組合。社會力模型中考慮到個體內的隨機性，質量在50～80 kg的范圍內服從均值為65、方差為5的正態分布，期望速度在0.7～1.4 m/s的范圍內服從均值為1.29、方差為0.29的正態分布。而行人真實速度則由社會力模型中任意時刻行人受力以及前一步速度共同決定。上述過程中，不僅在時間域內考慮了行人個體內以及個體間的隨機性，并且在空間域內考慮了行人運動過程中周圍環境以及與周圍行人之間的相互作用。根據社會力模型，行人下一時刻的速度以及位置由當前行人受到的來自周圍行人以及障礙物的力共同決定，不同密度下行人受到其他行人影響不同。計算不同密度下任意行人任意時刻的位置分布、速度等，由式(10)可得到任意時刻行人的步頻，再由式(11)對隨機人群中所有荷載進行疊加則可得到人群隨機荷載，而人體自重引起的結構動力響應相較于簡諧荷載而言可忽略不計[5]。

(11)

式中：m為行人數；n為在計算中考慮的總階數；αi是i階諧波的動力荷載因子，定義為步行荷載傅里葉幅值譜峰值與人體體重之比；φi為第i階諧波的相位角；G為行人體重；fp為行人步頻。

圖3與圖4中FP為所有行人步行荷載之和，G總為結構上所有行人的體重之和。圖3為單個行人荷載時程曲線圖，從圖3可以明顯看出人行荷載具有周期性。圖4對比了行人同步行走荷載與隨機人群荷載時程曲線，其中人數為10人，同步行走中將10人排成3列，前2列均為4人，第3列為2人，行、列間距一致均為0.75 m。行走過程中行人步速均為1.3 m/s,步頻均為1.93 Hz。經過對比可知，同步人群荷載時程與單個行人荷載時程類似，具有很明顯的周期性，而隨機人群荷載由于步頻并不統一，無明顯周期，行人行走過程中出現同步情況較少，因此，荷載峰值也比同步行走時的小。

圖3 單人步行荷載曲線Fig.3 Single walking load

圖4 人群荷載時程曲線Fig.4 Crowd load time-history

3 連廊的振動控制方程

將連廊簡化為簡支梁，單位長度質量為m、剛度為k、阻尼為c、I為慣性矩、E為彈性模量，連廊長度為L=21.8 m,寬為3 m。

3.1 隨機人群荷載下連廊的振動控制方程

在人群荷載的共同作用下，結構的振動控制方程

(12)

式中：下標i表示為第i行人；δ(x-vt)為Dirac函數，其性質為

δ(x-vt)=0，x≠vt

(13.1)

(13.2)

(13.3)

3.2 控制方程的求解

結構的位移變形可表示為

(14.1)

(14.2)

將式(13.2)帶入結構振動方程，其中，等式右邊廣義荷載

(15.1)

等式左邊廣義質量

(15.2)

廣義剛度數

(15.3)

則結構的振動控制方程可化為

(16)

利用MATLAB平臺，通過基于Newmark-β法自編的程序對控制方程進行求解，計算流程如圖5所示。

圖5 結構動力響應計算流程圖Fig.5 Flow chart of structural dynamic response

4 算例

某商貿城的鋼結構連廊跨度L=21.8 m，寬度為3.0 m，結構的阻尼比ξ為0.01。該鋼結構連廊截面豎向等效抗彎剛度為EI=3.268×109N·m2，單位長度質量m=1 063.5 kg，單位長度阻尼系數c為950.8 N/(m·s-1)，連廊上基于社會力模型的人群隨機荷載分布如圖6所示。《建筑樓蓋結構振動舒適度技術規范(送審稿)》中規定，連廊的第一階豎向自振頻率不宜小于3 Hz，不封閉連廊豎向峰值加速度限制為0.5 m/s2。該結構豎向基頻為4.72 Hz，滿足頻率限制的要求。當單個行人步頻為結構基頻的1/3通過該連廊，由步頻和速度的關系式得行人的速度為0.838 m/s結構加速度峰值如圖7所示為0.12 m/s2，小于加速度限制。

圖6 行人隨機分布圖Fig.6 Pedestrian random distribution

圖7 單個行人加速度時程曲線Fig.7 Acceleration time history curve of single

《建筑樓蓋結構振動舒適度技術規范(送審稿)》中指出，當行人密度為0.1人/m2是屬于完全自由行走狀態。當為0.5人/m2時行人較多，行人仍然能夠自由選擇行走，當行人密度等于1.0人/m2時，行人行走有不舒適感，人群擁擠。分別對行人密度為0.167、0.333、0.5、1.0人/m2共4種行人密度工況下的人群荷載引起的結構響應進行計算。得到結果如圖8所示。從圖8可以看出當行人密度為0.167、0.333、0.5、1.0 人/m2時結構加速度最大響應分別為0.066、0.143、0.255、0.535 m/s2，當行人密度為1.0人/m2時，結構加速度響應大于0.5 m/s2，超過連廊振動舒適度限制。由于不同行人以及期望速度等對行人的運動特性影響較大，而在同一種行人密度工況下，行人位置分布隨機，期望速度取值服從正態分布。考慮到行人的隨機性以及仿真過程的波動性，同一行人密度工況下引起的結構響應不同，針對10種行人密度工況各產生了8組不同行人模擬。表2為在各行人情況下8組不同行人分布下計算得到的結構加速度峰值，其計算流程如圖5所示，取8組結構加速度峰值的平均值作為對應行人密度下加速度響應的代表值，用以評估結構的振動舒適度。為了得到更加明顯的變化規律，將得到的峰值加速度與人群密度進行函數關系擬和，該擬合只針對該結構。擬合曲線如圖9，R2=0.922擬合度較高，擬合結果為

(17)

圖8 不同行人密度下加速度時程曲線Fig.8 Acceleration time history curve in different pedestrian density

人群密度/(人·m-2)結構加速度峰值/(m·s-2)12345678均值/(m·s-2)0.0330.017 0.014 0.015 0.083 0.012 0.027 0.020 0.018 0.027 0.1670.040 0.057 0.209 0.053 0.143 0.066 0.143 0.048 0.095 0.3330.147 0.171 0.108 0.143 0.171 0.121 0.170 0.153 0.148 0.5000.219 0.223 0.272 0.255 0.318 0.253 0.245 0.371 0.270 0.6670.261 0.264 0.424 0.173 0.425 0.709 0.639 0.531 0.428 0.8330.368 0.320 0.334 0.525 0.359 0.426 0.282 0.473 0.386 1.0000.435 0.463 0.578 0.426 0.419 0.535 0.829 0.739 0.553 1.167 0.7750.834 0.651 0.436 0.533 0.851 0.433 0.458 0.621 1.3330.491 0.499 0.357 0.525 0.450 0.546 0.621 0.499 0.498 1.500 0.422 0.530 0.355 0.412 0.401 0.607 0.516 0.582 0.478

為了驗證曲線的可靠性，分別計算0.25、0.583、0.75、0.917人/m2幾種行人密度工況下結構加速度峰值，與公式擬合的值進行對比，結果見表3。通過對比實際峰值加速度與擬合公式計算得到的加速度峰值，發現結果較為吻合。由圖9密度-加速度峰值關系曲線可知，當密度在1.15～1.30人/m2之間時，速度在0.89～0.84 m/s范圍內變化，相應的由擬合公式計算得到的速度平均值為0.841 m/s，與之對應的步頻在1.57～1.63 Hz范圍內變化，接近結構基頻的1/3。故而結構在1.15～1.30人/m2的密度范圍內取最大值。當行人密度在1.0～1.4人/m2時，結構加速度響應超出了舒適度限制，應該采取一定措施控制人群密度出現在這個范圍的概率，或者采取減振措施。

表3 實際與擬合的加速度峰值Table 3 Peak acceleration of actual value and fitted

圖9 人群密度-加速度時程曲線Fig.9 Pedestrian density-acceleration time history

5 結論

1)以社會力模型為基礎，結合生物力學以及交通領域內對于行人特性的研究，考慮了行人時間和空間內的隨機性以及行人之間、行人與環境之間的交互性，建立了更符合實際的隨機人群荷載模型。

2)人群隨機荷載引起的結構振動與行人步速有較大關系，行人步速與行人密度有直接關系，可以通過行人密度與速度的關系曲線來預測不同密度下人群引起的結構加速度響應，找出人群荷載引起結構過量振動的行人密度范圍，采取措施進行減振控制。

3)人群隨機荷載引起的結構動力響應，并不會一直呈現增大的趨勢，當人群密度過大時，人群平均步頻遠小于結構基頻的1/3，此時可將行人荷載看作是靜載，引起的動力響應很微弱。