基于灰色馬爾科夫鏈優化模型的船舶到港量預測

何眾穎, 劉 虎

(浙江海洋大學 港航學院， 浙江 舟山 316022)

港口是水陸交通的集結點和樞紐，對區域經濟的發展具有十分重要的作用。浙江省出口市場遍布全球五大洲的221個國家和地區，全省95%的外貿物資由水路運輸來承載。原材料進、產品出，兩頭在外的浙江經濟，對水路運輸的需求依存度將日益提高。由《寧波舟山港整體規劃(2014—2030)》可知，寧波舟山港2016年完成吞吐量9.22億t，預測2020年和2030年貨物吞吐量將分別達到11.7億t和14.4億t，年均增速5.0%和2.1%[1]，可見港口吞吐量呈現明顯的增長趨勢，船舶到港量也將隨之增長, 到港船對錨地的需求與發展滯后的錨地設施之間的矛盾逐漸顯現。錨地資源不足、利用率低下和錨地發展規劃滯后,不僅制約著港口的發展，而且對船舶的錨泊安全有一定威脅。因此,基于預測理論開展港口船舶到達量預測對于港口錨地的合理規劃和水路交通的高效管理而言至關重要。

1 預測方法簡介

港口船舶到達屬于典型的隨機到達事件。目前，許多學者針對隨機到達事件的預測進行相應研究?；疑獹M(1，1)預測方法在港口交通流量、農產品物流、城市軌道交通客流和港口吞吐量預測等方面都開展研究[2-5],該方法是對原始數據的生成處理來尋求系統變化的規律，可根據“部分信息已知、部分信息未知”的小樣本作為研究對象，其中GM(1，1)模型的背景值是一個平滑公式，適合時間間隔小且數據小的預測。該預測模型精度對于呈遞增關系的隨機事件有一定保障，但如果有遞減的異常點則精度大幅降低。

針對傳統灰色預測模型的預測缺陷，有學者[6-8]將指數平滑法與灰色預測模型相組合進行預測。指數平滑法是一種特殊的加權平均法，不需要存儲很多的歷史數據，既考慮到各期數據的重要性，又使用全部的歷史資料，當中三次指數平滑法適合于二次曲線趨勢變化的數據，因此可對受環境影響的異常數據進行較好的優化。還有許多學者[9-11]將馬爾科夫預測與灰色預測相結合，在交通事故預測、背景值優化等方面進行應用。馬爾科夫預測是將時間序列看作一個隨機過程，通過對事物不同狀態的初始概率與狀態之間轉移的概率進行研究，確定事物未來狀態的變化趨勢。馬爾科夫鏈預測基于其無后效性特點，能夠彌補灰色預測的缺陷，提高其與灰色預測組合預測的精度。

綜上所述，針對隨機事件港口船舶到達量數據具有遞增但有異常波動的特點，吸取3種預測方法的優點，利用指數平滑法對受環境影響的異常數據進行平滑處理，優化灰色馬爾科夫鏈預測模型，可進一步提高港口船舶到達量的預測精度。

2 灰色馬爾科夫鏈預測優化模型建立

針對隨機事件港口船舶到達量具有總體趨勢遞增但有異常波動的特點，對指數平滑法、灰色預測法和馬爾科夫鏈預測法等3種預測方法進行組合，提出基于指數平滑的灰色馬爾科夫鏈優化預測模型，建模過程主要分為以下4步。

2.1 根據時間序列建模

設時間序列為y1,y2,…,yt,建模為

(1)

(2)

(3)

將建模數據序列記為X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，將數據進行累計生成數，生成序列為X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}。

2.2 建立GM(1,1)模型

對X(1)建立GM(1，1)模型，解得對應的微分方程為

(4)

求出其最小二乘估計參數列

(5)

式(8)中：x(0)(1)=x(1)(1)為初始值。

建模后需要進行殘差檢驗、關聯度檢驗和后驗差檢驗，滿足條件才可得到預測值，否則需進行修正。

2.2.1殘差檢驗

殘差大小檢驗，即對模型值和實際值的殘差進行逐點檢驗。

(9)

(10)

(11)

(12)

式(12)中：一般要求p0>80%，最好p0>90%。

2.2.2關聯度檢驗

記原始序列為

X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}

(13)

模型計算得到的數據序列記為

(14)

(2) 計算關聯系數。

由于只有2個序列(即一個參考序列，一個被比較序列)，故不再尋求第2級最大差和最小差。

(15)

式(15)中：P為小殘差概率,0

(3) 計算關聯度。

(16)

根據經驗,關聯度大于0.6便是滿意的。

2.2.3后驗差檢驗

(1) 計算出原始數據的平均值為

(17)

(2) 計算原始序列X(0)(i)的均方差S1;

(3) 計算殘差的均值;

(4) 計算殘差的均方差S2;

(5) 計算方差比C為

(18)

(6) 計算小殘差概率為

(19)

表1 后驗差檢驗判別參照表

2.3 二步建模的序列值

二步建模得到的序列值為

(20)

將殘差絕對值序列定義為

t=1,2,…

(21)

對殘差絕對值序列進行累加，得到累加序列

Δ(1)(t)={Δ(1)(1),Δ(1)(2),…,Δ(1)(n)}

(22)

對Δ(1)建立GM(1，1)模型，解得對應的微分方程為

(23)

同樣求出殘差序列的最小二乘估計參數列，并得到改進后的二步模型

(24)

(25)

當1≤t≤n時，sgn(t)的值可由原來的殘差確定;當t>n時sgn(t)的值的概率就由狀態轉移概率組成的馬爾科夫鏈進行計算。

2.4 建立轉移概率矩陣

轉移概率矩陣的建立

(26)

式(26)中狀態轉移概率滿足：

1) 0≤Pij≤1,i,j=1,2,…,n。

將狀態分為3類，即殘差為正，殘差為零，殘差為負。因此,分3種情況進行馬爾科夫矩陣的建立并應用于sgn(t)當中。

3 應用實例與對比分析

選用浙江省寧波舟山港老塘山港區2008—2017年的到港數據進行分析，因為船舶到港有旺淡季度，因此分月進行預測，最終將每個月的預測結果總和為2018年全年預測結果。本實例分析只選取2008—2017年間的一個月份進行分析，分別利用灰色預測、灰色馬爾科夫鏈預測、指數平滑與灰色組合預測和基于指數平滑的灰色馬爾科夫優化預測等4種預測模型進行精度比較。

3.1 GM(1，1)預測實例

選用2008—2017年5月份的數據序列作為樣本，樣本數據見表2，原始數據累加數據見表3。

表2 2008—2017年5月份船舶到港數

表3 原始數據累加結果

使用MATLAB進行編程，代碼[13]如下：

1.clear all;

2.symsab;

3.c=[ab]′;

4．A=[298，325，380，398，432，454，459，542，548，921];

5.B=cumsum(A);

6.n=length(A);

7.fori=1:(n-1)

8.C(i)=(B(i)+B(i+1))/2;

9.end

10.D=A;D(1)=[];

11.D=D′;

12.E=[-c;ones(1,n-1)];

13.c=inv(E×E′)×E×D;

14.c=c′;

15.a=c(1);b=c(2);

16.F=[];F(1)=A(1);

17.fori=2:(n+1)

20.F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a;

21.end

22.G=[];G(1)=A(1);

23.fori=2:(n+1)

24.G(i)=F(i)-F(i-1);

25.end

船舶到港數灰色預測結果見表4。

表4 船舶到港數灰色預測結果

進行殘差檢驗、關聯度檢驗和后驗差檢驗，檢驗結果分別見表5～表7。平均殘差為11.49%，精度為88.51%，符合精度要求；當P=0.50時，關聯度為0.67>0.60，符合模型準則；90%的ei<0.674 5S1，P=0.9>0.8，C=0.29<0.50，模型精度合格。因此可不用進行修正。

min絕對殘差為0,max絕對殘差為171.087 7。

關聯度為0.670 7>0.600 0，符合模型準則。

表5 殘差檢驗

表6 關聯系數檢驗

3.2 灰色馬爾科夫鏈預測實例

選用2008—2017年5月份的數據序列作為樣本，對其進行灰色馬爾科夫鏈計算，在第3.1節灰色預測的基礎上，先對其殘差序列進行建模預測，計算結果見表8。

表7 后驗差檢驗

表8 灰色馬爾科夫鏈船舶到港數預測結果

3.3 三次指數平滑灰色預測實例

選用2008—2017年5月份的數據序列作為樣本，對其進行三次指數平滑計算，計算結果見表9。在進行三次指數平滑時，通過對平均殘差率的計算，得到T=1時精度最高。

把三次指數平滑計算得到的值記為X(0)，并對其進行殘差檢驗、關聯度檢驗和后驗差檢驗。平均相對殘差為11.73%，精度為88.27%，符合精度要求；當P=0.6時，關聯度為0.63>0.60，符合模型準則；所有ei小于0.674 5S1，P=1，C=0.23<0.35，模型精度優。因此,可不用進行修正。

3.4 灰色馬爾科夫鏈優化模型預測實例

選用2008—2017年5月份的數據序列作為樣本，前面兩步建模同第3.3節三次指數平滑灰色預測，在第3.3節建?；A上進行殘差建模和馬爾科夫概率矩陣建立。殘差數列值Δ(0)(t)見表10。

Δ(0)(t)={0，30.789 3，73.890 9，38.402 9，37.765 1，34.063 1，63.700 9，50.825 2，80.061 6，127.200 1}

計算得到數值見表11。

對于2017年之后，sgn函數取值根據馬爾科夫的狀態轉移概率P。狀態1為正數殘差值，狀態2為負數殘差值，狀態3為殘差值為0。

表9 指數平滑值計算表

表10 三次指數平滑灰色預測結果

表11 灰色馬爾科夫鏈優化模型預測結果

2018年及以后各年5月份的預測數據則為灰色預測值+概率值×殘差預測值。如2018年5月份的預測數為737.054 4+3/5×112.965 9=804.833 9。

3.5 4種模型精度比較

模型的精度比較主要通過殘差均值與相對殘差率和數據曲線的擬合程度進行,分別見表12和圖1。

由表12可知:改進后的灰色馬爾科夫模型預測得到的殘差均值和相對殘差率有一定程度的降低；由曲線擬合比較圖可知，中間3條為灰色預測、灰色馬爾科夫和三次指數灰色模型，它們的線性和趨勢相差不大，但是與原始數據擬合度不高，而優化的灰色馬爾科夫鏈預測基本與原始數據擬合。因此，改進后的灰色馬爾科夫模型較大地提高了擬合度。

表12 4種模型精度比較

圖1 曲線擬合比較

4 結束語

針對隨機事件港口船舶到達數具有趨勢遞增但有異常波動的特點，結合隨機事件常用的預測方法，提出基于三次指數平滑的灰色馬爾科夫鏈優化預測模型，并詳細說明了模型的建立步驟。

基于2008—2017年5月寧波舟山港老塘山港區船舶到港統計數據，分別利用灰色預測、灰色馬爾科夫鏈預測、指數平滑與灰色組合預測和基于指數平滑的灰色馬爾科夫優化預測等4種預測模型進行預測與精度比較。對比結果表明：灰色馬爾科夫優化預測模型的預測值與實際值基本符合，殘差均值和相對殘差率有一定程度的下降，擬合程度有一定程度的提升，證明灰色馬爾科夫鏈優化預測模型的精度明顯提高。