多正交信號水下導(dǎo)航系統(tǒng)位置校準的CRLB研究?

郭錦標 張 森

（海軍工程大學 武漢 430033）

1 引言

隨著海洋開發(fā)的不斷發(fā)展，對水下導(dǎo)航定位設(shè)備的需求越來越高。基于單信標的水下導(dǎo)航系統(tǒng)由于其實用性和經(jīng)濟性等優(yōu)勢受到越來越多的關(guān)注和研究。

多正交信號水下導(dǎo)航系統(tǒng)［1］通過一個信標同時發(fā)射一組正交信號，使得接收端接收到信號就可以解算出自身位置，系統(tǒng)由水下的聲學設(shè)備和船上的信號處理設(shè)備及GPS等組成，如圖1所示。

由于在布放水下信標時，只能獲得信標的概略位置，其在水下的精確位置不得而知。接收端需要獲知信標的精確位置，以此修正解算值。信標的位置信息是導(dǎo)航系統(tǒng)位置解算的必須數(shù)據(jù)，因而通過校準獲得水下信標的地理坐標是多正交信號水下導(dǎo)航系統(tǒng)的一項關(guān)鍵技術(shù)。

校準航跡的選擇直接影響位置估計的效果。國外超短基線系統(tǒng)技術(shù)比較成熟，生產(chǎn)設(shè)備的公司中，Sonardyne公司采用“⊕”字型的校準航跡［2］，而IxSea公司的Posidonia采用“8”字型的校準航跡［3～4］進行數(shù)據(jù)獲取，至于他們?yōu)楹芜x擇這樣的航行軌跡，我們不得而知。而在國內(nèi)，最早由唐秋華等［5］提出超短基線定位系統(tǒng)的校準算法，它是將安裝校準的三個旋轉(zhuǎn)角度偏差和三個位移偏差等效作參數(shù)估計問題，在最小二乘準則下估計各個量的值，并對其進行優(yōu)化，但其并未提到校準航跡的選擇問題。之后的校準研究都是基于這個方法而進行改進，2005年喻敏在研制長程超短基線時提出了校準數(shù)據(jù)采用航船繞行方式獲?。?］，2007年鄭翠娥［7］在USBL的水下平臺對接應(yīng)用中提出了校準航跡需要選擇繞行半徑較大、水深不易過淺的測線。楊保國［8］通過建立校準觀測方程，研究方程最小二乘解的唯一性和無偏性，提出了校準航跡需滿足一定的尺度和對稱性的要求，并且驗證了“⊕”字型和“8”字型航跡的可行性。

圖1 多正交信號水下導(dǎo)航系統(tǒng)

多正交信號水下導(dǎo)航系統(tǒng)的校準航跡在現(xiàn)有的傳統(tǒng)的“⊕”字型和“8”字型中選擇，本文通過比較不同航跡的位置估計性能，合理規(guī)劃校準的路徑選擇，可以有效提高位置估計的性能。

2 誤差模型建立

基于最小二乘準則的位置估計［9］需要先建立觀測模型，根據(jù)空間測距交會原理得到觀測方程為

其中，x，y，z為待求的水下信標在大地坐標系下的坐標，xi、yi、zi(i =0，1，...n )為接收端（水聽器）在大地坐標系的坐標（n為船測量的次數(shù)），di為利用聲學方法測出的信標與水聽器的距離。

在觀測過程中，存在兩方面的誤差：1）距離測量的誤差；2）GPS定位誤差。

2.1 考慮距離測量的誤差

當存在距離測量誤差時，則式（1）應(yīng)改寫為

式中的觀測距離誤差量ni是直接由距離測量誤差帶來，實質(zhì)上距離測量誤差是由于使用聲學設(shè)備測量接收端與發(fā)射端之間信號傳播的時延誤差所致，誤差可以看成是零均值的高斯隨機變量，si表示實際的觀測值。

2.2 考慮GPS測量的誤差

接收端的大地坐標由GPS測量獲取，在測量過程中也存在誤差，因此接收端的位置誤差也是影響位置估計的主要誤差來源之一。為了清楚分析GPS測量誤差的影響，這里先忽略距離測量的誤差，即假設(shè)GPS測量誤差是唯一的誤差來源，此時式（1）可以改寫為

將第i個接收端位置的坐標誤差記為

式中 ，xi，yi，zi是接收端的實際位置為GPS測量的位置。同樣假設(shè)GPS定位誤差服從零均值的高斯分布，三個坐標軸方差分別為

對式（3）進行泰勒展開并取其一次項得到

所以可以得到觀測距離的誤差為

則

GPS的定位精度水平方向和垂直方向稍有差異，一般垂直方向的定位精度約為水平方向的2～3倍［10～11］，為了后續(xù)計算方便，將水平定位精度與垂直方向定位精度近似相等，因此可以得到：

2.3 總誤差模型

上面分別討論了只存在距離測量誤差和GPS測量誤差時觀測方程的建立，實際上，觀測方程誤差既有來自距離測量的誤差，也同時存在GPS的測量誤差，所以觀測方程的方程應(yīng)該寫為

3 CRLB推導(dǎo)

式（9）可以表達成簡潔形式：

式中p=(x ，y，z)為待估計的向量，即水下信標的位置。

假設(shè)誤差是相互獨立的高斯隨機變量，則條件概率密度函數(shù)p(s|P)為

將式（11）取對數(shù)并略去常數(shù)項可以得到對數(shù)：

位置估計向量 p的第k個參數(shù)（即 pk）的CRLB定義為［12］

通過數(shù)學處理，可以得到費歇爾信息矩陣如下：

根據(jù)上述公式，利用矩陣求逆可以得到三個位置坐標估計的CRLB為

4 CRLB的仿真分析

基于最小二乘的位置估計是一種無偏估計的過程，CRLB作為評價無偏估計性能的界限，能對估計結(jié)果的性能做出評估。在引言中介紹過，不同航跡的選擇影響到校準結(jié)果的性能，目前常用的校準航跡是“⊕”字型和“8”字型，因而可以運用本文推導(dǎo)的CRLB對二者的估計性能進行比較，并結(jié)合多正交信號水下導(dǎo)航系統(tǒng)的實際做出較佳校準路徑的選擇，同時也可以建立CRLB與GPS測量誤差及時延測量誤差的關(guān)系。

4.1 航行軌跡的仿真

仿真“⊕”字型和“8”字型的航行路線，在航行路徑上取均勻的觀測點用于獲取數(shù)據(jù)。假定海平面深度為0，向下為正方向，船繞著信標航行，兩種路徑如圖2所示。

圖2 船的測量點與信標的位置

4.2 位置估計結(jié)果的比較

在航跡上均勻取點作為數(shù)據(jù)測量點，在每個測量點上，檢驗1000次的測量結(jié)果，對水下信標位置估計結(jié)果進行性能平均，比較在兩種航跡下算法估計的均方根誤差，用CRLB作為兩種航跡估計性能的檢驗標準。假設(shè)水下信標的真實位置是在測量點的位置誤差為GPS的測量誤差所致，且x、y和z軸坐標的誤差為獨立的高斯隨機變量，其均值為0，并假設(shè)水平定位標準偏差為1.5m；時延測量誤差同樣為獨立的高斯隨機變量，其均值為0，標準偏差為10-4s。

根據(jù)仿真結(jié)果計算這兩種航跡位置估計的均方根誤差。按照下式計算CRLB的開方:

位置估計的均方根誤差（RMSE）按照下式計算:

其中L表示在每個測量點上的實驗次數(shù)。

仿真圖中的圖例解釋如下：

circular-sim表示基于“⊕”字型航行軌跡位置估計的均方根誤差模擬結(jié)果。

eight-sim表示基于“8”字型航行軌跡位置估計的均方根誤差模擬結(jié)果。

CRLB1表示基于“⊕”字型航行軌跡位置估計的CRLB計算結(jié)果。

CRLB2表示基于“8”字型航行軌跡位置估計的CRLB計算結(jié)果。

圖3 航行軌跡半徑與位置估計誤差的關(guān)系

考慮在航跡上均勻測量400個點，其中“⊕”字型航行軌跡在圓周上均勻取200個測量點，在兩條直徑線上各均勻取100個測量點；“8”字型航行軌跡在兩個圓周上各均勻取200個測量點。從圖中可以看出，采用“8”字型航行軌跡位置估計的CRLB計算結(jié)果優(yōu)于“⊕”字型航行軌跡定位，但隨著測量半徑的增加，兩種航行軌跡位置估計的性能差距越來越小，在半徑達到200m左右時，“⊕”字型航行軌跡位置估計的CRLB計算結(jié)果開始低于“8”字型航行軌跡的計算結(jié)果。采用最小二乘的計算方法進行位置估計，估計得到結(jié)果的均方根誤差可以逼近CRLB，因而我們采用的CRLB計算方法可以用于預(yù)測位置估計算法的性能。從這個仿真結(jié)果可以指導(dǎo)我們在實際測量中根據(jù)測量船航行的半徑選擇航行路徑，使得位置估計的精度理論上盡可能地得到提高。

考慮測量點的數(shù)目對位置估計性能的影響。同樣比較兩種航跡的CRLB計算結(jié)果和位置估計的均方根誤差模擬結(jié)果，鑒于上面比較的航跡半徑對位置估計性能的影響，取航行半徑為200m，這樣航行半徑對不同航行軌跡的影響相近。

圖測量點數(shù)目與位置估計誤差的關(guān)系

從圖中可以看到，采用“⊕”字型航行軌跡位置估計的CRLB計算結(jié)果優(yōu)于“8”字型航行軌跡定位，但這種優(yōu)勢是十分微弱的，所以測量點的數(shù)目對兩種路徑的位置估計影響是一致的。

圖5 測量點數(shù)目與位置估計誤差的關(guān)系

在實際測量環(huán)境中可能達不到大半徑的需求（航行半徑在200m以內(nèi)），且為了降低成本盡量減少測量的次數(shù)，所以若要得到較高的位置估計精度，應(yīng)選擇采用“8”字型的航行軌跡。但這種航跡是由兩個外切圓組成，完整的航跡需要走過的水域面積是“⊕”字型航行軌跡的兩倍。現(xiàn)在我們考慮“8”字型的航行軌跡半徑為100m，“⊕”字型航行軌跡半徑不變，觀察兩種航跡對位置估計性能的影響。

可以看出在這種情況下，“⊕”字型航行軌跡位置估計的性能優(yōu)于另外一種。對于多正交信號水下導(dǎo)航系統(tǒng)，其功能是實現(xiàn)一定區(qū)域的水下導(dǎo)航，若船的航行區(qū)域過廣，也可能會出現(xiàn)接收不到水下信標信號的情況。所以無論水域可航行區(qū)域有限，或是出于校準的可實現(xiàn)性考慮，“⊕”字型的航行路徑選擇優(yōu)于“8”字型。

4.3 CRLB與系統(tǒng)測量設(shè)備誤差的關(guān)系

水下導(dǎo)航系統(tǒng)用于位置校準的測量設(shè)備主要有GPS和聲信號傳播時延測量儀器，這些設(shè)備的誤差決定了校準的性能。在位置校準中可以利用CRLB與測量設(shè)備誤差的關(guān)系選擇測量設(shè)備的參數(shù)，從而達到位置校準的精度需求。

選擇“⊕”字型的校準路徑，航行半徑200m，觀測在不同的GPS測量誤差和時延測量誤差下CRLB的趨勢，如圖6所示。

圖6 CRLB與GPS及時延測量誤差的關(guān)系

通過建立上面的趨勢圖，可以直觀地看出CRLB與GPS測量誤差及時延測量誤差的關(guān)系。當校準技術(shù)指標要求達到多大精度的位置估計時，那么就可以在z軸找到對應(yīng)的的數(shù)值，用一個垂直于該數(shù)值的面與得到的這個曲面相交，將相交所得的曲線投影至xoy面上，坐標值對應(yīng)的便是GPS測量誤差和時延測量誤差的精度要求，因此利用此關(guān)系圖可以指導(dǎo)選擇測量設(shè)備的參數(shù)。

5 結(jié)語

本文采用傳統(tǒng)的基于最小二乘原理的方法對多正交信號水下導(dǎo)航系統(tǒng)的信標位置進行校準，主要提出并完成了以下幾個工作：

1）建立了位置校準的誤差模型；

2）推導(dǎo)了用于評估位置估計性能的CRLB；

3）通過計算機仿真分析，“⊕”字型的校準航跡得到的位置估計結(jié)果性能更優(yōu)；

4）建立CRLB與系統(tǒng)GPS測量誤差、時延測量誤差的關(guān)系。