探究幾類遞推數(shù)列的解題方法和技巧

貴州省畢節(jié)市赫章縣第一中學(xué) 顧開鵬

一階遞推數(shù)列定義：對于任意n∈N+，由遞推關(guān)系an+k=f（an+k-1，an+k-2，…an）確定的數(shù)列｛an｝稱為遞推數(shù)列（或遞歸數(shù)列），k為階數(shù)。若f是線性的，則稱此數(shù)列為線性遞推數(shù)列，否則稱為非線性遞推數(shù)列。

以下就介紹幾種一階遞推數(shù)列的種類，并分析了求相應(yīng)遞推數(shù)列通項公式的方法。

一、一階線性遞推數(shù)列

本節(jié)闡述兩種常見的一階線性遞推數(shù)列：

與等差數(shù)列求通項公式的方法相同，這類遞推數(shù)列通項公式求解方法依然沿用疊加法。

例1：數(shù)列{bn}中，b1=2，bn+1=bn+cn（c是常數(shù)），且b1，b2，b3成公比不為1的等比數(shù)列。

（1）求c的值；

（2）求{bn}的通項公式。

解：（1）由題可知：b1=2，b2=2+c，b3=2+3c，因為b1，b2，b3成公比不為1的等比數(shù)列，所以（2+c）2=2（2+3c），解得c=0或c=2。

當c=2時，b1=b2=b3，不合題意，舍去，所以c=2。

（2）當n≥2時，由于b2-b1=c，b3-b2=2c，……bn-bn-1=（n-1）c，所以

又b1=2，c=2，故bn=2+n（n+1）=n2-n+2（n=2，3，……）。

當n=1時，上式同樣成立，所以bn=n2-n+2（n=1，2，……）。

【類型評注】

求解這種類型的數(shù)列通項公式的方法叫作“疊加法”，這種方法是由高中數(shù)學(xué)教材中等差數(shù)列通項公式的求法演變而來的，將等差數(shù)列的遞推式 an-an-1=d 拓展到 an-an-1=f（n），只要 f（0）+f（2）+f（3）+…+ f（n-1）是可求的，就可以由恒等式an-an-1= f（n）以n=1，2，3，…，n-1代入，得到（n-1）個等式，再將其累加而求an。

2．a(chǎn)n+1=pan+q（pq（p-1）≠ 0）

在高考數(shù)學(xué)考卷中，這是一種較為常見的遞推數(shù)列類型題，本節(jié)運用兩種方法解出典型例題的通項公式。

定理（1） 已知遞推數(shù)列a1=a，an+1=pan+q（pq（p-1）≠0），則通項公式為：an=[apn+（a-q）pn-1-q]/（p-1）。

以上定理的證明過程如下：

由an+1=pan+q（n≥1）得an=pan-1+q（n≥2），

所以an+1-an=p（an-an-1）（n≥2）。

所以數(shù)列{an+1-an}是首項為a（p-1）+q、公比為p的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式可證。

我們可以利用初等代數(shù)中構(gòu)造法的思想，通過設(shè)定一個待定系數(shù)來構(gòu)造一個全新的等比數(shù)列，并求解出待定系數(shù)，從而借助等比數(shù)列的形式來求解出題目中原先的遞推數(shù)列的通項公式。

解：由題可知：

所以，數(shù)列{ bn-}是首項為2-，公比為-1的等比數(shù)列，所以bn-=（-1）2，即bn的通項公式為bn=[（-1）n+1]。

【類型評注】

本題將構(gòu)造法簡化，我們就可以得出特征方程法，特征方程法將很多煩瑣的推導(dǎo)計算過程都省略掉了，在縮短解題時間的同時，在很大程度上也避免了解題過程中出現(xiàn)錯誤的幾率。

定理（2） 已知a1=a，an+1=pan+q，其中pq（p-1）≠0，稱方程x=q+px為數(shù)列{an}的特征方程，設(shè)特征方程的根為x'（x'稱為不動點），則有：

①當x'=a1時，數(shù)列{an}為常數(shù)列，an=a1；

②當x'≠a1時，數(shù)列{an-x'}是公比為p的等比數(shù)列，通項公式為：an=[apn+（a-q）pn-1-q]/（p-1）。

二、一階非線性遞推數(shù)列

一階非線性遞推數(shù)列主要包括以下幾種類型，本節(jié)通過對這幾種類型的典型例題進行求解來分析其通項公式。

【類型評注】

求解這種類型的通項公式的方法叫作“乘積法”，這種方法是由高中數(shù)學(xué)教材中等比數(shù)列通項公式的求法演變而來的，將等差數(shù)列的遞推式拓展到，只要 f（0）·f（2）·f（3）·…·f（n-1）是可求的，就可以由恒等式以 n=1，2，3，…，n-1代入，得到（n-1）個等式，再將其乘積而求an。

2．a(chǎn)n+1=f（n）+pan且 p（p-1）≠ 0，f（n）≠ c

bn，an2+bn+c（a≠0），kn+b（kb≠0）這三種形式是f（n）的常見形式。

例4：已知b1=1，bn+1=2an+3n-1，求{ bn}的通項公式。

解：首先構(gòu)造出形式為{bn-αn-β}形式的等比數(shù)列，

使 bn+1-α（n+1）-β=2（bn-αn-β），

對應(yīng)系數(shù)相等，所以α=-3，β=-2。

所以bn=5·2n-1-3n-2。

本文著重介紹了一階遞推數(shù)列求通項公式的方法，希望讀者可以通過本文提出的例題并加以聯(lián)系。相信在今后解題的過程中，可以準確快速地推導(dǎo)出相應(yīng)遞推數(shù)列的通項公式，并且通過本文對特征方程法和構(gòu)造法的介紹與比較，我們也可以了解到這兩種方法都是依托待定系數(shù)法推導(dǎo)出相應(yīng)的通項公式。當然，當我們遇見不同類型的遞推數(shù)列時，仍然應(yīng)該選用最適合的方法解答題目。另外，采用其他方法對結(jié)果進行驗證也是保證題目解答正確的有力措施。