北斗空間信號誤差統計特征及描述方法研究

馮 帥，李 亮，程 春，劉媛媛

(哈爾濱工程大學自動化學院，哈爾濱 150001)

0 引言

衛星導航定位技術是以衛星技術和通信技術為基礎，利用導航衛星發送導航定位信息為目標用戶提供測距和授時服務。繼美國的全球定位系統(Global Positioning System，GPS)和俄羅斯的全球衛星導航系統(Global Navigation Satellite System，GLONASS)之后，中國的北斗衛星導航系統(BeiDou Navigation Satellite System，BDS)成為世界上第三個面向全球提供服務的衛星導航系統。BDS在衛星導航市場面臨著GPS和GLONASS的競爭與挑戰，系統的性能即成為決勝市場的關鍵。對于實時導航的用戶而言，廣播星歷是其能夠正常導航定位的前提，而廣播星歷中衛星軌道和時鐘的精度是影響導航定位精度的重要因素[1]。

空間信號誤差(Signal-In-Space Errors，SISEs)反映的是與衛星有關的誤差，主要由衛星軌道和衛星時鐘誤差組成，其大小將會影響導航用戶的定位精度及可靠性。用戶測距誤差(User Range Error，URE)是廣播星歷軌道和衛星時鐘誤差的綜合體現，指在接收機到衛星視線方向上的投影，反映了空間信號的精度，并最終影響實時導航用戶定位精度。用戶測距精度(User Range Accuracy，URA)用來描述URE的精度。Zhang等通過一個月廣播星歷的SISE統計分析，與武漢大學精密星歷相比，得到中地球軌道衛星(Medium Earth Orbit，MEO)、傾斜地球同步軌道衛星(Inclined GeoSynchronous Orbit，IGSO)和地球同步軌道衛星(Geostationary Earth Orbit，GEO)的軌道URE值分別為0.5m、0.6～0.8m和0.9～1.8m[2]。毛亞等統計了廣播星歷軌道誤差1d的均方根(Root-Mean-Square，RMS)和衛星時鐘誤差的標準差(Standard Deviation，STD)，結果表明多數衛星時鐘誤差精度優于10ns，軌道精度優于5m。若URE的分布服從零均值正態分布，那么URA就可表示為URE的1-sigma界限[3]。Walter和Blanch已經證明，GPS SIS URE的URA值為2.4m，GPS SIS URE的精度可由其URA準確描述[4]。對于BDS，Liu等通過分析2013年3月到2016年9月的數據發現，北斗廣播星歷播發的2.0m的URA過于樂觀地描述了北斗URE的精度，能夠滿足URE 1-sigma界限的URA應為2.4m[5]。

本文利用2018年1月到6月的導航數據進行BDS空間信號誤差的統計特征研究，分析了影響空間信號誤差的因素，建立了北斗URE的描述方法，并驗證了廣播星歷播發的URA是否適用于BDS。

1 SISE計算

對空間信號誤差的研究主要是針對衛星軌道誤差和衛星時鐘誤差的研究。在利用內插對比法進行星歷對比前，首先要統一時空基準，然后計算時鐘和軌道誤差。

1.1 軌道誤差

進行軌道對比時，首先要統一空間基準。主要包括兩部分：

1)統一坐標參考框架。通過比較廣播星歷和精密星歷來計算SISE，必須確保廣播星歷和精密星歷參考坐標系的一致性。北斗廣播星歷軌道參考2000國家大地坐標系(China Geodetic Coordinate System 2000，CGCS2000)，精密軌道參考IGS14坐標系(The International GNSS Service 14，IGS14)，但這2個框架相差在幾厘米之內，對于米級的軌道誤差影響極小[6]，所以在對比過程中忽略坐標系統的差別。

2)校正天線相位中心。精密星歷以衛星質心為坐標零點，而廣播星歷以天線相位中心為零點。所以，在比較廣播星歷和精密星歷之前，通常進行天線相位中心偏移校正。修正參數來源于igs14_1949_plus.atx文件。

由于廣播星歷和精密星歷都基于地心地固坐標系(Earth-Centered，Earth-Fixed，ECEF)，而本文研究的是衛星導航系統的空間部分。由于在衛星軌道坐標系(Radial-Along-Cross，RAC)下可以更明確地展現出衛星的運動特性，因此在進行統計之前，本文將ECEF坐標系下的各向誤差轉換到RAC坐標系下進行計算[7]。

設P1,P2,…，Pn為某顆衛星在某個等差時間段內的已知位置，可通過8階拉格朗日多項式內插法計算出該衛星在這個時間段內的任意時刻的速度[8]。由位置向量和速度向量可求出單位方向向量。

(1)

其中，ei是單位方向向量(i=radial,along,cross)，Δx、Δy、Δz分別為ECEF坐標系下的軌道徑向、切向和法向誤差，R、A、C分別為RAC坐標系下的軌道徑向、切向和法向誤差。

1.2 衛星時鐘誤差

北斗廣播時鐘Tb以單頻B3I信號為參考。然而，本文選用的德國地球科學研究中心(GeoForschungsZentrum，GFZ)發布的北斗精密時鐘產品Tp是通過使用雙頻(B1I和B2I)無電離層組合計算得到的，因此，應移除14s的BDT-GPST偏移量。在比較Tb和Tp之前，還應考慮時間群延遲(tgd)[9]：

(2)

(3)

(4)

由于在Tb和Tp的計算過程中采用了不同的參考原點，因此為了獲得正確的廣播衛星時鐘誤差，還應該去除公共時間尺度偏差。在歷元k的衛星i的時間偏移量可以表達為

(5)

其中，μ(k)是在歷元k處的公共時間尺度偏差；δTi(k)是衛星i的廣播時鐘誤差;Δi(k)是噪聲。通過加權最小二乘方法可以估計公共時間尺度偏差

(6)

在估計共同時間尺度偏差之后，衛星時鐘誤差通過以下計算得到

(7)

2 北斗URE描述方法

BDS衛星軌道和時鐘的解算方式不同于GPS，所以在計算北斗URE時不能完全套用GPS URE的描述方法，必須針對BDS的特點對傳統URE的描述方法加以修改，使其能夠恰當準確地描述BDS的URE。

2.1 瞬時用戶測距誤差

瞬時用戶測距誤差(Instantaneous SISURE，IURE)就是指某一時刻的瞬時URE。北斗IURE計算公式為

(8)

2.2 全球平均用戶測距誤差

地球上不同地點的GNSS用戶會遇到不同的UREs。為衡量空間信號整體上的精度，綜合軌道誤差和衛星時鐘誤差，提出了全球平均用戶測距誤差(Global-Average URE，avgURE)。對于GPS，avgURE由式(9)計算

(9)

式中，A表示軌道的切向誤差，C表示軌道的法向誤差。(R-δT)代表著衛星時鐘誤差和徑向軌道誤差之間具有負相關性，這是由GPS的軌道和衛星時鐘誤差解算算法決定的。然而，北斗采用雙向衛星時間、頻率傳遞(Two-Way Satellite Time and Frequency Transfer，TWSTFT)方法來確定衛星時鐘。TWSTFT測量衛星和地面站之間的下行和上行偽距觀測值，以計算相對于地面主時鐘的衛星時鐘誤差。該方法將衛星時鐘與軌道分開估算。因此，北斗徑向軌道誤差與衛星時鐘誤差之間的相關性并不顯著。同時由于BDS衛星軌道高度與GPS軌道高度不同，因此BDS的URE的計算可區別如下。

對于GEO/IGSO衛星

(10)

對于MEO衛星

(11)

avgURE涉及軌道誤差和衛星時鐘誤差，是軌道誤差和衛星時鐘誤差的綜合體現。

2.3 軌道部分的用戶測距誤差

根據式(10)和式(11)，在不考慮衛星時鐘誤差的情況下，軌道部分的用戶測距誤差(Orbit-only URE，OrbitURE)公式為

(12)

(13)

OrbitURE是將軌道誤差和衛星時鐘誤差進行誤差剝離，僅考慮軌道誤差在計算avgURE時的作用，為下面分析軌道誤差和衛星時鐘誤差何者在計算avgURE時占主導地位奠定了基礎。

2.4 最差用戶測距誤差

就SIS完好性而言，最差用戶測距誤差(Worst-case URE，worstURE)對評估SIS性能至關重要。對于BDS，衛星時鐘誤差與徑向誤差之間沒有顯著相關性。因此，衛星時鐘誤差和徑向誤差被獨立傳播到最差SIS URE[10]。因此，北斗worstURE的公式可以用式(14)來描述

worstURE=

(14)

本節根據北斗獨有的衛星時鐘誤差測定方法會導致衛星軌道徑向誤差和衛星時鐘誤差之間相關性較弱這一推論，對GPS的URE描述方法進行了修改，使之符合BDS空間信號誤差的特點。相比于直接套用GPS的URE計算公式，修改后的描述方法可以更準確地描述BDS的URE，更加簡潔的公式也有利于之后對其統計特征的分析。

3 實驗結果及分析

實驗首先基于內插對比法分析了北斗衛星軌道和衛星時鐘誤差的變化規律及精度。為了探究軌道誤差和衛星時鐘誤差對于SISRE的影響，驗證SISRE描述方法修改的正確性，以及確定適合描述SISRE的URA，實驗還對北斗空間信號誤差的統計特征進行了分析。

3.1 廣播星歷和精密星歷數據源以及數據預處理

本文采用的廣播星歷和精密星歷來源于多GNSS實驗網(Multi-GNSS Experiment，MGEX)(ftp://cddis.gsfc.nasa.gov/，廣播星歷數據為brdm0010.18p到brdm1820.18p，精密星歷sp3數據為gbm19821.sp3到gbm20080.sp3，精密星歷clk數據為gbm19821.clk到gbm20080.clk，數據時間跨度為6個月)?；趦炔鍖Ρ确ǎ訥FZ提供的精密軌道和時鐘作為真值，分析從2018年1月1日到2018年6月30日的廣播星歷軌道和衛星時鐘誤差。為保證樣本獨立性，采樣率選為15min。同時在比較廣播星歷和精密星歷之前，應排除2個數據集中的無效星歷。無效星歷可用以下條件篩選[11]：

1)導航信息不健康，即健康狀態字為1。

2)|tk-Toe|>1h或|tk-Toc|>1h。其中tk是歷元k的時間，Toe是星歷參數的參考時間，Toc是時鐘參數的參考時間。

3)精密星歷/時鐘壞值或缺失被設置為“0.000000”/“999999.999999”。

3.2 鐘軌誤差分析

圖1展示了C01、C06和C11號衛星廣播星歷的軌道誤差。

圖1 北斗衛星軌道誤差圖Fig.1 BDS orbit error

C01號衛星為GEO，GEO為地球同步軌道衛星，其軌道周期等于地球的自轉周期，為23h56min4s。為了得到軌道變化的一些細節，圖1給出了C01號衛星1月1日到11日的軌道誤差圖。從放大圖中可以看出，軌道徑向、切向和法向的誤差變化都具有周期性，而且三者的變化具有一致性，周期大約為24h，這也與GEO的軌道周期相符。

C06號衛星為IGSO，IGSO是傾斜地球同步軌道衛星，與GEO一樣，其軌道周期等于地球的自轉周期，約為24h。與C01號GEO相比，C06號衛星的軌道誤差明顯要小，尤其是切向和法向誤差。從放大圖中可以看出，三向誤差具有相同的變化周期，軌道徑向和切向誤差變化具有一致性，而法向誤差變化落后徑向和切向半個周期。

C11號衛星為MEO，MEO是中地球軌道衛星，運轉周期約為12h。與其他兩類衛星相比，MEO的軌道誤差最小。從放大圖中可以看出，3個方向上的軌道誤差都具有一定的周期，大約為12h。圖中還展示出了另一個大約7d的周期。在這個周期內，軌道三向誤差的變化具有一致性。

圖2展示了北斗三類衛星的時鐘誤差。從圖2中可以看出，GEO的時鐘誤差在5m以內，大多為負值；IGSO的時鐘誤差在3m以內，大多為正值；MEO的時鐘誤差在2m以內，大多為負值。整體來看，MEO的時鐘誤差最小，IGSO次之，GEO的時鐘誤差最大。

圖2 北斗衛星時鐘誤差圖Fig.2 BDS clock error

圖3展示了三向誤差的均值和標準差。從圖3中可以看出，在徑向上，GEO、IGSO和MEO可近似為零均值，三類衛星的標準差都較小，在1m以內；在切向上，三類衛星均值圍繞零值上下波動，幅度較小，但是GEO標準差較大，達到了4m；在法向上，三類衛星均值都接近0，但標準差差距比較明顯。GEO標準差最大能達到7m，IGSO標準差最大為1m，MEO標準差則在1m以內；對于衛星時鐘誤差，大多數衛星時鐘誤差不具有零均值，但標準差都小于1m。較小的標準差說明其波動較小，穩定性好。從圖4中也可以看出，整體上，MEO的軌道精度最高，IGSO次之，GEO軌道誤差最大。

圖3 軌道三向誤差的均值和標準差Fig.3 Mean and STD for RAC

圖4 軌道三向誤差和衛星時鐘誤差均方根Fig.4 RMS for RAC and clock error

3.3 URE的統計特征

統計特征的分析對于評估系統的整體性能起到了十分重要的作用。對于統計特征的研究主要包括以下4個方面[12]：

1)計算SISRE的均值、標準差和均方根值，分析軌道誤差R、A、C和衛星時鐘誤差δT在計算SIS URE時的權重；

2)計算每個衛星的軌道誤差R、A、C和衛星時鐘誤差δT之間的相關系數，以此證明之前對于BDS SISRE描述方法修改的正確性；

3)通過對峰值和偏度值的分析驗證IURE的分布是否滿足正態分布；

4)為了研究URA能否正確描述SISRE，將avgURE和worstURE的經驗累積分布函數與當前給出的URA進行比較，并結合URE的RMS值，確定當前適合描述BDS的URA值。

圖5展示了軌道誤差和衛星時鐘誤差之間的相關性。從圖5中可以看出，A-R之間基本為負相關，C-R之間相關性較大，A-T和C-T之間相關性很弱。A-R、A-C、C-R、R-T中C10相關性較大。除了C10，R-T之間也是弱相關，從而驗證了式(10)、式(11)對于avgURE的修改。

圖5 軌道和衛星時鐘誤差相關性圖Fig.5 Orbit and satellite clock error correlation graph

假定URE服從零均值正態分布，則URA是對URE的1σ估計，68%的URE應處于以URA為上邊界的區域中[13]。從圖6中可以看出，對于GEO、IGSO和MEO，若URE的分布服從零均值正態分布，則1σ上界分別為4.1m、2.4m和1.3m。

圖6 全球平均URE和最差URE的經驗CDF圖Fig.6 Empiricial CDF of global averageURE and worst-case URE

但是如果URE的分布服從非零均值正態分布，那么利用1σ的URE界限確定URA是不合理的。為了驗證BDS的URE是否服從零均值正態分布，以GAMG測站為例，對其IURE統計特性進行分析。為了盡可能準確描述IURE的分布，在分析IURE分布之前剔除異常值。本文以4.42倍URAUB為門限值剔除異常值，其中URAUB表示廣播星歷播發URA的上邊界。圖7展示的是GAME測站GEO衛星的IURE頻率分布直方圖。圖中藍色區域是衛星IURE的直方圖，紅線是IURE的正態概率分布擬合曲線。從圖7中可以看出，C01、C04和C05號衛星存在較為明顯的側偏。

圖7 GEO衛星IURE頻率分布直方圖Fig.7 GEO satellite IURE frequency distribution histogram

從圖8的IGSO衛星IURE頻率分布直方圖中可以看出，C07和C09號衛星存在側偏，所有IGSO衛星IURE均值都不為0。

圖9中，C11和C14號衛星存在側偏。另外，圖8、圖9中擬合的正態分布曲線均值明顯都不為0。

圖9 MEO衛星IURE頻率分布直方圖Fig.9 MEO satellite IURE frequency distribution histogram

為了進一步研究IURE的分布特性，圖10展示了IURE的峰度與偏度。峰度是研究數據分布陡峭或平滑的統計量，正態分布的峰度視為0。偏度是描述數據分布對稱性的統計量，正態分布的偏度為0。從圖7可以看出，IURE的峰度均大于0，曲線較為陡峭；大部分衛星IURE的偏度值達到了0.5，個別衛星超過1，說明IURE的分布存在一定的側偏，曲線對稱性較差，不滿足正態性。所以，將URE的分布假定為零均值正態分布并不是十分合理。因此，本文選擇利用URE的均方根來確定URA。

圖11展示了每顆衛星和每類衛星URE的RMS值。從圖11中可以看出，GEO、IGSO和MEO的OrbitURE分別為1.3m、0.8m、0.6m。對于所有衛星，OrbitURE為1.0m。

圖10 IURE分布的峰度與偏度Fig.10 Kurtosis and skewness of IURE

圖11 全球平均、僅軌道、最差URE和衛星時鐘誤差的RMS圖Fig.11 RMS for global average， orbit-only， worst-caseURE and clock error

為了探究鐘差對avgURE的影響作用，圖11將δT和OrbitURE的RMS值進行比較。結果表明，與OrbitURE相比，δT的RMS值與avgURE的RMS值更為相近，最大差值僅為0.6m，而OrbitURE與avgURE的RMS值之差最大可超過1m。由此可以推斷出在avgURE的計算過程中，軌道誤差所占權重較低，尤其是切向和法向誤差。雖然徑向誤差所占權重大，但其量級小，在avgURE中的作用并不明顯。所以這三者對于avgURE的計算結果影響較少，URE的大小由衛星時鐘誤差δT主導。

worstURE代表最差情況下的URE，也就是某一時段內URE的最大值。從完好性方面考慮，應用worstURE的RMS確定URA[14]

URAi=rms(worstUREi)

(15)

其中，i=GEO,IGSO,MEO。對于GEO、IGSO和MEO，根據式(15)，從圖11中可以看出其對應的URA分別為3.0m、1.9m和1.6m。

4 總結

本文針對BDS空間信號誤差特點，對其用戶測距誤差描述方法進行了修改，并對用戶測距精度進行了驗證，實驗結果表明：

1)北斗軌道徑向誤差和鐘差之間為微相關，對其用戶測距誤差描述方法的修改是正確的。

2) MEO的空間信號精度最高，IGSO次之，GEO最差。

3)空間信號誤差各分量不服從正態分布，所以不能用用戶測距精度的1-sigma上界來確定URA的值。對于GEO、IGSO和MEO，利用worstURE的RMS值確定的URA分別為3.0m、1.9m和1.6m。