轉動慣量測量研究的進展及展望

王小三 劉云平 倪懷生 張 寧

(1.北京航天計量測試技術研究所，北京 100076；2．上海商用航空發動機有限責任公司，上海 200000)

1 引 言

轉動慣量是剛體轉動慣性的度量，是剛體繞定軸轉動時的慣性量，其重要性等同于平動物體的質量。幾乎所有繞定軸轉動或做平面運動的剛體的運動定律均與轉動慣量緊密相關，關于轉動慣量測量的研究是航空航天強國的研究熱點[1～10]，多年以來取得了較好的研究成果。從測量方法來看，按測量準確度從高到低以次為：扭擺法、落體法、三線擺法、復擺法、單線扭擺法和質量線法[13]。從測量適用性來看，復擺法不適用于較大物體，且該方法需要事先精確測量物體的質心[14]；落體法和單線擺法適用于陀螺轉子、螺旋槳、齒輪、馬達轉子等繞軸線對稱分布的構件[15]；三線擺法和扭擺法均可對外形不規則物體進行測量[12,15]；質量線法的理論基礎復雜，測試精度較難保證，試驗重復性較差，對試驗人員要求較高,較難應用[16]。從國內外測量水平來看，美國空間電子公司、NASA、加拿大航空署等借助氣浮球軸承，使用扭擺法研制了測量準確度達到0.1%FS的轉動慣量測量設備；哈爾濱工業大學借助氣浮軸承，使用扭擺法研制了測量準確度達到0.15%FS的轉動慣量測量設備；西北工大、南京理工大學、鄭州工程機械研究所等借助機械轉臺，使用扭擺法研制了測量準確度達到0.3%的轉動慣量測量設備[17，18]。各類轉動慣量的技術指標如表1所示[1，8]。

表1 扭擺法測量裝置及精度Tab.1 Measuring device and precision by torsion pendulum method

2 轉動慣量測量研究情況及成果

轉動慣量是物體轉動慣性的度量，測量原理及方法較多，下面重點介紹扭擺法、落體法、三線擺法等當前應用較多的方法。

2.1 扭擺法測量原理及其優缺點分析

2.1.1 測量原理

如圖1所示，采用氣浮或機械軸承，構建可繞定軸轉動的扭擺系統，通過剛性連接，賦予扭擺系統剛度，測量時，通過主動驅動，使扭擺系統偏離平衡位置后釋放，扭擺系統做正弦扭擺，測量扭擺周期，通過公式(1)計算待測物體轉動慣量的測量方法為扭擺法。

1-被測對象；2-測量平臺；3-氣浮或機械軸承；4-機架；5-定軸；6-扭桿；7-驅動與剎車機構。圖1 扭擺法轉動慣量測量原理示意圖Fig.1 Principle of torsion pendulum method

(1)

式中：J——物體對于扭擺轉軸的轉動慣量，kgm2；K——與扭擺系統扭桿剛度有關的一個常量；T——擺動周期，s。

2.1.2 優缺點分析

扭擺法是當前最為主流的轉動慣量測量方法，具有以下優點：

a)測量準確度高。這種方法最高可達到0.1%的引用誤差；

b)應用廣泛。美國、德國等國的商業產品全部采用此種方法，我國的大部分設備采用此種方法；

c)測量效率較高。一次測量時間一般不超過4h；

d)承載能力突出。機械軸承的承載幾乎沒有上限，氣浮軸承的承載上限約10t。

扭擺法的應用也有一定的局限性，表現在：

a)測量范圍較小。該方法利用扭桿提供剛度構建機械扭擺系統，只有在一定的范圍內扭桿剛度才能保持不變，而且該范圍還必須與扭擺系統的適當扭擺頻率基本保持一致，這個范圍較小，也就是該方法所做出的測量設備，其測量范圍較?。?/p>

b)測量溯源性較差。該方法以扭擺系統的簡化理論模型為基礎，通過測量剛度恒定的扭擺系統的扭擺周期測量轉動慣量。一般來說，周期的測量沒有問題，而系統的剛度及剛度恒定的要求在溯源上存在一定困難。

2.2 落體法測量原理及其優缺點分析[20～22]

2.2.1 測量原理

如圖2所示，通過機械或氣浮軸承，構建可繞定軸轉動的轉動系統，將質量、半徑已知的圓形測量平臺固定在轉動系統上，并使測量平臺的圓心過轉軸，將吊線一端纏繞在圓盤上，一端通過等高的定滑輪懸掛一質量塊，釋放質量塊后，轉動系統將作勻角加速度運動，被測對象的轉動慣量按公式(2)計算。

圖2 落體法轉動慣量測量原理示意圖Fig.2 Principle of fall method

(2)

式中:m1——落體的質量，kg；R——圓形測量平臺半徑，m；φ″——角加速度，rad/s2；T0——摩擦力矩,Nm;J0——圓形測量平臺轉運慣量，kgm2。

2.2.2 優缺點分析

落體法在物理試驗、教育教學中有較多應用，具有以下優點：

a)理論清晰。以剛體轉動動力學為基本理論，與扭擺法的近似理論模型相比，具有理論清晰的突出優點；

b)適用特殊場合。有的電機，不允許或不便于取出其轉子，無法知道其轉動部分的質量和摩擦力矩。利用其他方法測其轉動慣量無能為力，只有落體法可以勝任；

c)成本低廉。由于被測對象一般有自身的回轉軸，可以因地制宜，不需要添置特殊的測量裝置，成本低廉，因此本方法常用于物理試驗、教育教學中。

落體法的應用也有一定的局限性，表現在：

a)測量空間要求較大。在實際測量時，理論上被測對象一直呈勻角加速運動，因此，準確測量角加速度、軸承摩擦力矩及質量塊的質量即可測得較高準確度的轉動慣量，但實際上軸承摩擦力矩較難準確測得而且不恒定，物體的轉動并非勻角加速度，只能利用較大的運動空間來測出平均的角加速度，因此測量空間要求大;

b)實際測量準確度較低。由于測量過程中，所測得的角加速度用平均值表征，而平均值對應的設計值的波動性一般較大，因此，實際測量的準確度較低。

2.3 三線擺法測量原理及其優缺點分析[23～25]

2.3.1 測量原理

如圖3所示, 當三線擺的下圓盤以oo′為軸轉過一個角度時，由于懸線張力的作用, 將使下圓盤在一確定的平衡位置左右往復扭動, 即做扭擺運動。 若擺角很小, 則可視此扭動為角諧振動。此時，公式(3)成立。

(3)

式中：J′——被測對象繞oo′旋轉的轉動慣量，kgm2；m0——被測對象質量，kg；R′——下懸線節點距離轉軸距離，m；r——上懸線節點距離轉軸距離，m；l——懸線長度，m。

圖3 三線擺法轉動慣量測量原理示意圖Fig.3 Principle of three wire pendulum method

2.3.2 優缺點分析

三線擺法是應用較多的轉動慣量測量方法，具有以下優點：

a)結構簡單。為了測量被測對象，只需在空間上固定一個上圓盤，在上圓盤上懸掛三根線，即可對下圓盤或置于其上的被測對象的轉動慣量進行測量；

b)操作簡便。懸掛后，一般用手即可驅動被測對象扭擺，完成測量，操作十分簡便。

三線擺法的應用也有一定的局限性，具有以下優點：

a)測量準確度較低。該方法在實際操作過程中，容易出現平動和轉動的耦合，影響測量準確度；而且，該方法一般假定懸掛的三線為輕質(質量為0)，而實際情況下，由于被測對象的質量影響，三線的質量一般不能忽略，這也導致測量準確度較低；

b)等效條件較難滿足。用三線擺測量轉動慣量，有一定的先決條件，如扭擺角度小于6°，扭擺阻尼的影響，以及被測對象質心與下圓盤之間的位置關系等等。

3 新型轉動慣量測量測量方法及裝置

2015年，北京航天計量測試技術研究所研究人員提出了一種新的轉動慣量測量方法，該方法通過主動控制氣浮轉臺作正弦扭擺，實時測量扭擺的角加速度和扭擺的驅動力矩，完成扭擺轉臺上剛體的轉動慣量測量，取得了較好的效果。

3.1 測量原理

對于按一定頻率和幅值的正弦運動，不考慮風阻及摩擦阻力的影響，可以根據公式(4)得到扭矩與角加速度的關系。

M(t)=J·a(t)

(4)

式中：M(t)——對轉軸的力矩時域函數，Nm；a(t)——對轉軸的角加速度時域函數，rad/s2。

3.2 測量設備

2016年9月，對該測量設備進行實測，在1000kgm2和2200kgm2測量點附近，重復性達到0.006%。測量設備實物圖如圖4所示。

圖4 新型轉動慣量測量設備Fig.4 A new type MOI device

3.3 優缺點分析

本方法是落體法和扭擺法的綜合，具有以下優點：

a)理論清晰。以轉動剛體的力學理論為基礎，將轉動慣量測量轉化為便于測量的力矩及角加速度測量；

b)測量準確。測量重復性達到0.006%，這為提升測量設備的測量準確度奠定了良好基礎，通過研究轉動慣量校準技術，可望將該類測量設備的測量準確度由當前國際上最高的0.1%提升至0.01%；

c)安全可靠。在測量過程中，可根據被測對象的實際情況，合理調整扭擺的幅值及頻率，以得到期望中的角加速度，可根據被測對象的特點進行操作，對被測對象來說，提供了安全選項。

本方法作為一種全新的測量方法，在一些方面仍有較大的提升空間：

a)理論簡單，實際復雜。從測量原理來說，非常簡單，但要構建一個寬測量范圍的轉動慣量測量系統，控制系統硬件的設計及選型、控制算法的設計、控制參數的調整等等，都比較復雜，有待簡化；

b)結構簡單，成本高昂。從結構上來說，非常簡單，但要構建一個高準確度的轉動慣量測量系統，主動控制系統的控制準確度、力矩測量系統的測量準確度、角加速度測量系統的測量準確度等等，都需要投入遠遠高于傳統轉動慣量測量設備的經費，成本太高，有待優化。

4 結束語

提升轉動慣量測量準確度的研究是相關領域的重點和熱點。從實際情況來看，在測量原理既定的情況下，通過動力學模型分析、考慮空氣阻尼等影響來提升測量結果的準確度的研究目前陷入了瓶頸，而考慮空氣阻尼的試驗由于涉及到了大型真空艙等試驗條件，成本很高。

由于高準確度轉動慣量測量多用于國防工業，收集到的國外有關的資料中，多與原理相關，而技術細節極少。北京航天計量測試技術研究所研制的新型轉動慣量測量設備，具有較高的應用價值，通過優化和簡化，應用于工程實踐，將可使我國的轉動慣量測量能力得到較大幅度的提升。