試論線性代數原理

盛輝

（安徽新華學院國際教育學院，安徽 合肥 230088 ）

一、線性代數重點內容

上三角和下三角行列式都是a1a2a3.....an=A

反三角行列式為A*（-1）^n(n-1)/2

行列式的一行的代數余子式分別乘以另一行元素，值為零。

正反三角行列式如果不記得公式了，可以通過上下換行的形式變成正三角行列式。

范德蒙法則：行列式的值=(xn-xn-1)(xn-xn-2)……(xn-x1)(xn-1-xn-2……)(x2-x1)

若一個線性方程組有非零解，則它的行列式式值等于零。

行列式中行叫c，列叫r

寫行列式變換過程中要在等號上寫變換方法，如c2-c3.不然老師看不懂步驟，無法給分

化三角行列式先化第一列，在化第二列，按順序來化，這樣才不會出現問題。

n維向量分橫向量和列向量。

寫向量時一定要記得在上面加箭頭。

任意一個n維向量都能由n個n維單位向量線性表示。

如果b1=k1a1+k2a2+k3a3,線性表示不一定要求k1,k2,k3不全為零。

如果一個向量a線性相關，則a=0

由一個非零向量構成的向量組一定線性無關。即a≠0則a這個向量組線性無關。

含有零向量的向量組一定線性相關。

例a1=（1，1）a2=（2，3）求這兩個向量組是否線性相關。

解：k1a1+k2a2=0 k1(1,1)+k2(2,3)=0

a3=a1+a2,則a1,a2,a3線性相關.

如果一個向量組一部分向量線性相關，則，整個向量組線性相關。

一個向量組線性無關，那么它的一部分也線性無關

向量組線性相關，減少其中幾維一樣線性相關，向量組線性無關，增加幾維向量一樣無關。

二、應用

要證線性相關，則增加維，如果增加后相關，則原向量組相關。

要證線性無關，則減少維，如果減少后無關，則原向量組無關。

要證線性相關，則增加向量個數，如果增加后相關，則原向量組相關。

要證線性無關，則減少向量個數，如果減少后無關，則原向量組無關。

向量個數大于維數一定線性相關。

一個向量組的每個最大線性無關組中的向量個數一定相等。

向量空間：線性無關組ab……n 若a+b……n屬于v Ramadaa屬于v 則v為向量空間v的維數就是向量組的秩，a b ……n稱為空間的基數和矩陣的乘法和數和行列式的乘法是不同的，行列式是乘到一行里，矩陣是乘到每個元素里。

矩陣乘矩陣沒有交換率，但有結合率。

A+B的轉置矩陣等于A,B的轉置矩陣相加。

AB=B’A’

矩陣的乘法有分配率，無論是數還是矩陣都有，唯有AB≠BA對稱矩陣是除主對角線外以主對角線對稱的矩陣A=A’。

行等于列的矩陣稱為方陣。

只有方陣才有冪。

（A+B）2≠A2+B2+2AB

因為AB≠BA

A乘以單位矩陣E還是A。

非奇異矩陣即矩陣的行列式值不等于零的矩陣

若A*B=E則B是A的逆陣，B=A-1

單位矩陣E2=E

要想求一個矩陣的逆矩陣，一種是用上三行的那種方法，對于是字母的就湊個B讓他們乘積等于E。