高速鐵路CPⅢ水準網平差通用模型研究

劉江濤,李建章,劉彥軍,高志鈺

(1.蘭州交通大學測繪與地理信息學院,蘭州 730070； 2.甘肅省地理國情監測工程實驗室,蘭州 730070)

CPⅢ水準網網形狹長，普遍采用水準測量方式[1](困難時采用中間設站三角高程測量法)。《高速鐵路工程測量規范》(以下簡稱“規范”)中指出CPⅢ控制網水準測量可按矩形環單程水準網(矩形法)或往返測水準路線(中視法)構網觀測。實際作業時中視法測量每測站一個后視對應多個前視，導致觀測高差之間不獨立，存在相關性，給其后傳統水準網平差的權陣確立帶來了一定困難[2]。之后提出的新中視法是以現代電子水準儀重復測量數據離散性小為基礎的單程觀測方式[3]。相比中視法其觀測效率顯著提升，但同樣存在相鄰點高差相關的問題。矩形法閉合環內的高差按照“后—前—前—后”或“前—后—后—前”的順序觀測，可以對CPⅢ點進行重復觀測，符合我國水準測量習慣的同時也保證了觀測高差彼此獨立，但觀測效率仍然不高。X形法和Z形法以及矩形法改進型(新矩形法、單程矩形法、雙程矩形法)均通過有效縮短司尺員移動距離來提高觀測效率，是對矩形法的進一步改進[4-6]。

但上述的不同類網形對現有軟件的適用性提出新的要求，且以高差為觀測值的傳統CPⅢ水準網平差模型(以下簡稱“傳統模型”)處理中視法這類網形時，忽略觀測值的相關性，理論上并不嚴密。因此提出一種CPⅢ水準網平差通用模型(以下簡稱通用模型)，該模型觀測值為水準尺讀數，徹底消除了觀測值相關的可能性，突破了觀測網形的限制，適用性較強。

1 CPⅢ水準網平差通用模型

1.1 函數模型

一般在CPⅢ水準網觀測中，儀器在兩對CPⅢ點構成的矩形環中心位置附近不挪動，直至觀測完該測站所有點，則儀器高(設為b)和儀器架設點的地面高程(設為Hz)在一個測站中始終不變。若某個CPⅢ點的水準尺讀數為a，該點高程未知，用H代替，理想水平視線下有下式成立

H+a=Hz+b

(1)

然而在實際觀測中受到大氣折光、地球曲率以及儀器i角誤差等系統性偏差的影響，導致觀測時視線總會偏離水平位置。如圖1所示：由儀器i角誤差引起的偏差為δh1，大氣垂直折光和地球曲率共同引起的偏差為δh2，考慮到系統誤差則有下式成立

H+a=Hz+b+δh1-δh2

(2)

圖1 系統偏差影響下的視線示意

高鐵CPⅢ水準網施測等級為精密水準，電子水準儀觀測時要求前后視距差不超過2 m，那么可以近似認為一個測站δh1，δh2均為固定的系統性偏差。考慮到平差時只需求得未知CPⅢ點高程，對其余未知量可以統一用參數λ進行合并，即令

λ=Hz+b+δh1-δh2

(3)

式(2)可化簡為

a=λ-H

(4)

進一步誤差方程可寫為

V=λ-H-a

(5)

上式為CPⅢ點觀測值誤差方程，對應已知點觀測值誤差方程為

V=λ-(H0+a)

(6)

其中，H0為已知點高程。

由于觀測值為水準尺讀數，一副水準尺的零點之差在一個測段中無法消除，但一副合格的因瓦水準標尺， 其零點之差允許值為0.1 mm[7]，其影響可以忽略不計。

1.2 隨機模型

觀測值向量a=(a1，a2，…，an)T的協方差陣為

7)

根據CPⅢ平面構網特點，選擇30 m視距下的水準尺讀數為單位權觀測值，又考慮到觀測值相互獨立，則權陣為對角陣如下

8)

其中，d代表觀測值的視距。

1.3 現有網形下的多余觀測

目前，學者提出的諸多CPⅢ水準網形，按每測站觀測的CPⅢ點個數，大致可歸納為兩類。第一類以中視法為代表，除首個測站外，單程每測站觀測CPⅢ點個數為3。網形如圖2所示，單程觀測時有n個測站，(2n+2)個CPⅢ點，(3n+1)個觀測值，n個值。往返觀測，值與觀測值的個數為單程觀測的2倍，多余觀測數r=2×(3n+1)-(2n+2+2n)=2n。

圖2 第一類網形單程觀測示意

第二類以矩形法為代表，每測站觀測4個CPⅢ點。如圖3所示，n個測站下，CPⅢ點、值個數分別為2n+2和n，觀測值個數為4n(同測站同一個CPⅢ點有多個水準尺讀數時取均值作為一個觀測值，下同)。多余觀測數r=4n-(2n+2+n)=n-2，因此至少需要3個測站來確保網形有多余觀測。而CPⅢ水準網，測站數遠多于3，極易滿足要求。

圖3 第二類網形觀測示意

《規范》要求與已知點聯測方式通常為往返水準。在轉點個數未知的情況下假設其個數為k，對于往返水準路線，如圖4所示，共有(4k+4)個觀測值，(2k+2)個值，k個未知高程點(CPⅢ點在上述網形中已作為未知點，這里不再重復考慮)，多余觀測數為r=k+2。綜合考慮，附合到線路水準基點的CPⅢ水準網采用平差通用模型解算，多余觀測充足，誤差方程系數矩陣列滿秩，法方程解唯一。

圖4 往返水準觀測示意

1.4 平差計算及精度評定

根據式(5)、式(6)和式(8)可構建誤差方程的系數矩陣B、常數項l和權陣P，解法方程得

9)

進一步可求得觀測值改正值

10)

單位權中誤差為

11)

12)

相鄰CPⅢ點間的高差平差值為

13)

由協因數傳播率得

14)

則高差中誤差為

15)

2 高差精度預估與閉合差限差推定

根據文獻[3]統計的數據，在視距30 m的前提下，重復觀測50次，電子水準儀讀數平均誤差θ=0.08 mm，由式(16)計算得單次觀測水準尺讀數中誤差σ≈0.1 mm。

16)

設a1為后尺讀數，a2為前尺讀數，任意相鄰點的高差h=a1-a2，使用誤差傳播定律得

17)

忽略一副水準尺的制造差異，在視距大致等于30 m的情況下，可以認為a1、a2誤差均相等，均為σ。由式(17)得任意相鄰點的高差中誤差為

18)

每個CPⅢ點在單次觀測的情況下，利用水準尺讀數估算的相鄰CPⅢ點間高差中誤差約0.14 mm，滿足《規范》不大于0.5 mm的要求。由誤差傳播律得相鄰4個CPⅢ點構成的環閉合差中誤差σW=2σh=0.28 mm，取3倍中誤差為限差，其值不超過0.84 mm，小于《規范》規定的1 mm閉合差限差。

3 數據驗證與分析

選取某客運專線2個分段的CPⅢ水準網原始觀測數據對通用模型進行驗證，觀測網形均為單程矩形閉合環，聯測水準基點的方式為往返觀測。每個閉合環觀測4段高差，便于在觀測時進行閉合環閉合差檢核。水準網具體信息見表1。

表1 水準網信息

其中，第一段水準網待求點中CPⅢ點為228個，另外4個為聯測的高程未知的CPⅡ點。

3.1 計算流程

根據上面推導的數學模型，本文用Matlab編寫平差通用模型程序。計算流程如下。

(1)讀取原始觀測數據，生成一個平差文件，該文件包含觀測點名、水準尺讀數、視距、測點的測站編號等信息。

(2)導入已知點高程數據，并對平差文件中的已知點高程進行賦值。

(3)進行測站觀測限差、環閉合差、附合路線閉合差的檢查，并計算每公里高差偶然中誤差和全中誤差判斷是否超限。

(4)由平差文件組建法方程，解算高程及參數的平差值和精度。

(5)按測站搜索相鄰的CPⅢ點，然后進行高差平差值以及其精度的計算。

(6)計算成果輸出，繪制精度統計圖。

3.2 計算結果對比分析

經檢核，兩段水準網附合水準路線閉合差、CPⅢ環閉合差及每千米水準測量偶然中誤差和全中誤差均滿足精密水準測量要求后進行了平差解算。為檢驗通用模型解算成果的可靠性，本文以基于傳統模型的 FSDI-GDPAS(中鐵一院通用地面測量工程控制網數據處理自動化軟件)平差成果作為實驗的對比值。圖5、圖6分別顯示程序解算的高程和高差與對應軟件解算值的較差絕對值分布情況。高程和高差較差絕對值大部分集中在0～0.2 mm內，只有個別值分別落在0.3～0.5 mm和0.3～0.4 mm區間。通用模型解算的高程以及高差值已經非常接近軟件解算成果。

圖5 高程較差絕對值分布

圖6 高差較差絕對值分布

通用模型解算的CPⅢ點高程中誤差(也包含了第1段的4個CPⅡ點)與軟件解算對比見圖7。經統計，高程精度比軟件計算平均約高0.04 mm。

圖7 兩種模型解算的CPⅢ高程精度對比

通過高程平差值協方差計算的相鄰點間高差中誤差與軟件解算的中誤差見圖8，中誤差均滿足規范規定≯0.5 mm的要求，且精度不低于軟件解算。說明通用模型計算結果是可靠的。

圖8 兩種模型解算的高差精度對比

現用自編程序從原始觀測數據中隨機抽取CPⅢ點一次的水準尺觀測讀數組成新的觀測數據，用來模擬CPⅢ點單次觀測的情形。依然使用原始實測數據的高程、高差軟件解算值與單次觀測下通用模型對應的解算結果作對比。圖9、圖10分別為通用模型解算的高程與高差和軟件解算值的較差絕對值分布圖。可以看出，高程較差絕對值大于0.2 mm的只有少數部分，均占其總體不到11%，同時高差較差絕對值大于0.2 mm的部分均不超過其總體的3%。

圖9 單次觀測下高程較差絕對值分布

圖10 單次觀測下高差較差絕對值分布

為檢驗單次觀測下通用模型解算后的相鄰CPⅢ點位高程相對關系是否可靠，從上述兩段水準網高差平差值中提取相鄰CPⅢ點間高差(第1段340個，第2段475個)與軟件解算值進行對比。CPⅢ點間高差較差絕對值最大值及平均值如表2所示。兩段水準網中相鄰CPⅢ點間高差較差絕對值最大為0.34 mm，說明通用模型解算的相鄰CPⅢ點間高差準確，不改變CPⅢ點位高程相對關系。

表2 單次觀測下相鄰CPⅢ點間高差較差絕對值比較

表3顯示通用模型解算的兩段單次觀測水準網相鄰CPⅢ點間的高差中誤差，顯然滿足規范≯0.5 mm的精度要求。綜合考慮，通用模型解算單次觀測的CPⅢ水準網是可行的。

表3 單次觀測下通用模型解算的相鄰高差中誤差

4 結論

本文提出的CPⅢ水準網平差通用模型，完全避免了觀測值相關的可能性，可適用于目前各類CPⅢ水準網形。經過實測數據檢驗，該模型解算的高程、高差值均可靠，且在精度上略高于傳統CPⅢ水準網平差模型。

CPⅢ水準網平差通用模型算法流程簡單，直接提取原始觀測文件中的水準尺讀數開列誤差方程，而傳統模型平差前需要對高差進行預處理，如搜索同名高差并取均值然后重新定權等過程。另一方面，計算一個高差需要2把水準尺的讀數，相比以高差為觀測值的傳統平差模型，通用模型數據利用率高。

精度估算和數據驗證均表明，在現代電子水準儀單次測量可靠性高的前提下，用CPⅢ水準網平差通用模型處理單次觀測的CPⅢ水準網時，解算值是可靠的。這解決了以往傳統CPⅢ水準網平差時要求高差觀測值獨立，CPⅢ點需要重復觀測的問題，可降低對觀測數據量的要求，提高現場實測效率。